登录
8.「2026广西南宁四十七中期中，★☆」对于实数$a,b$，定义运算“※”如下：$a※b=a^2 - ab$，例如：$5※3=5^2 -5×3=10$.若$(x+1)※(3x-2)=3$，则$x$的值为（
A.0
B.$-0.5$
C.0或$-0.5$
D.0或$0.5$
D
）A.0
B.$-0.5$
C.0或$-0.5$
D.0或$0.5$
答案
由题意得,$(x+1)※(3x-2)=(x+1)^2-(x+1)(3x-2)=3$,即$2x^2-x=0$,解得$x_1=0,x_2=0.5$.故选D.
解析
【分析】
首先明确新定义运算“※”的规则：$a※b=a^2-ab$，解题时先将$a=x+1$、$b=3x-2$代入运算规则，把新定义运算转化为常规代数方程，再通过整式化简、因式分解法解一元二次方程，即可得到$x$的取值。
【解析】
根据新定义运算规则可得：
$(x+1)※(3x-2)=(x+1)^2 - (x+1)(3x-2) = 3$
展开并整理方程：
左边展开：$(x^2+2x+1) - (3x^2 + x - 2) = 3$
去括号：$x^2 + 2x + 1 - 3x^2 - x + 2 = 3$
合并同类项：$-2x^2 + x + 3 = 3$
移项化简得：$2x^2 - x = 0$
因式分解得：$x(2x - 1) = 0$
解得：$x_1=0$，$x_2=0.5$
【答案】D
【知识点】新定义运算，因式分解法解方程，整式化简
【点评】本题属于新定义类基础题，解题核心是准确理解新运算规则，将其转化为常规方程求解，计算时需注意去括号的符号变化，避免运算失误。
【难度系数】0.8
首先明确新定义运算“※”的规则：$a※b=a^2-ab$，解题时先将$a=x+1$、$b=3x-2$代入运算规则，把新定义运算转化为常规代数方程，再通过整式化简、因式分解法解一元二次方程，即可得到$x$的取值。
【解析】
根据新定义运算规则可得：
$(x+1)※(3x-2)=(x+1)^2 - (x+1)(3x-2) = 3$
展开并整理方程：
左边展开：$(x^2+2x+1) - (3x^2 + x - 2) = 3$
去括号：$x^2 + 2x + 1 - 3x^2 - x + 2 = 3$
合并同类项：$-2x^2 + x + 3 = 3$
移项化简得：$2x^2 - x = 0$
因式分解得：$x(2x - 1) = 0$
解得：$x_1=0$，$x_2=0.5$
【答案】D
【知识点】新定义运算，因式分解法解方程，整式化简
【点评】本题属于新定义类基础题，解题核心是准确理解新运算规则，将其转化为常规方程求解，计算时需注意去括号的符号变化，避免运算失误。
【难度系数】0.8
9. 学科$\frac{特色}{多解法}$「2026河南郑州月考改编，★☆」用因式分解法解方程$x^2+px-6=0$，若将左边分解后有一个因式是$x-6$，则$p$的值是
-5
。答案
【解法一】设另一个因式为$x+a$,则$(x+a)(x-6)=x^2+(a-6)x-6a=x^2+px-6$,$\therefore a-6=p,-6a=-6$,$\therefore a=1$,$\therefore p=a-6=-5$.
【解法二】$\because x-6$是该方程左边分解后的一个因式,
$\therefore$原方程可转化的两个方程之一为$x-6=0$,
$\therefore x=6$是原方程的一个根,把$x=6$代入原方程,得$6^2+6p-6=0$,
$\therefore p=-5$.
【解法二】$\because x-6$是该方程左边分解后的一个因式,
$\therefore$原方程可转化的两个方程之一为$x-6=0$,
$\therefore x=6$是原方程的一个根,把$x=6$代入原方程,得$6^2+6p-6=0$,
$\therefore p=-5$.
解析
【分析】
本题可从两个常用思路解题：
思路1：二次三项式$x^2+px-6$的二次项系数为1，已知一个因式是$x-6$，则另一个因式一定是$x+a$（a为常数）的形式，将两个因式相乘展开后，和原式对应项系数相等，列方程即可求p。
思路2：根据因式分解法解方程的原理，若多项式含有因式$x-6$，说明$x=6$是原方程的根，将根代入原方程即可直接求出p的值。
【解析】
解法一：设另一个因式为$x+a$，
则$(x+a)(x-6)=x^2+(a-6)x-6a$，
由题意得$x^2+(a-6)x-6a = x^2+px-6$，
根据多项式恒等对应系数相等，可得：
$\begin{cases}a-6=p\\-6a=-6\end{cases}$
解得$a=1$，代入得$p=1-6=-5$。
解法二：
∵$x-6$是$x^2+px-6$的一个因式，
∴$x=6$是方程$x^2+px-6=0$的一个根，
将$x=6$代入原方程得：$6^2 + 6p -6 = 0$，
整理得$30+6p=0$，
解得$p=-5$。
【答案】
$-5$
【知识点】
因式分解定义、一元二次方程的根、因式分解法解方程
【点评】
本题是因式分解与一元二次方程结合的基础题型，两种解题思路均为代数常用方法，既可以利用多项式恒等的系数对应关系求解，也可以利用方程根的性质求解，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
本题可从两个常用思路解题：
思路1：二次三项式$x^2+px-6$的二次项系数为1，已知一个因式是$x-6$，则另一个因式一定是$x+a$（a为常数）的形式，将两个因式相乘展开后，和原式对应项系数相等，列方程即可求p。
思路2：根据因式分解法解方程的原理，若多项式含有因式$x-6$，说明$x=6$是原方程的根，将根代入原方程即可直接求出p的值。
【解析】
解法一：设另一个因式为$x+a$，
则$(x+a)(x-6)=x^2+(a-6)x-6a$，
由题意得$x^2+(a-6)x-6a = x^2+px-6$，
根据多项式恒等对应系数相等，可得：
$\begin{cases}a-6=p\\-6a=-6\end{cases}$
解得$a=1$，代入得$p=1-6=-5$。
解法二：
∵$x-6$是$x^2+px-6$的一个因式，
∴$x=6$是方程$x^2+px-6=0$的一个根，
将$x=6$代入原方程得：$6^2 + 6p -6 = 0$，
整理得$30+6p=0$，
解得$p=-5$。
【答案】
$-5$
【知识点】
因式分解定义、一元二次方程的根、因式分解法解方程
【点评】
本题是因式分解与一元二次方程结合的基础题型，两种解题思路均为代数常用方法，既可以利用多项式恒等的系数对应关系求解，也可以利用方程根的性质求解，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
10.「★☆」已知关于$x$的一元二次方程$2x^2 - (k + 2)x + k = 0$.
(1)求证:无论$k$为何值,方程总有实数根.
(2) 学科特色多解法 若方程的两根分别为$x_1, x_2$,且$x_1 = 2x_2$,求$k$的值.
(1)求证:无论$k$为何值,方程总有实数根.
(2) 学科特色多解法 若方程的两根分别为$x_1, x_2$,且$x_1 = 2x_2$,求$k$的值.
答案
(1)证明:$\because b^2-4ac=[-(k+2)]^2-4×2× k=k^2+4k+4-8k=k^2-4k+4=(k-2)^2≥0$,$\therefore$无论$k$为何值,方程总有实数根.
(2)【解法一】因式分解法：
将方程因式分解可得$(2x-k)(x-1)=0$,解得$x=1$或$x=\frac{k}{2}$.
当$x_1=\frac{k}{2},x_2=1$时,$\frac{k}{2}=2$,解得$k=4$;当$x_1=1,x_2=\frac{k}{2}$时,$1=2×\frac{k}{2}$,解得$k=1$.综上所述,$k=1$或$k=4$.
【解法二】公式法：
$\because b^2-4ac=(k-2)^2$,
$\therefore x=\frac{(k+2)\pm(k-2)}{2×2}$,
$\therefore x=\frac{k+2+k-2}{2×2}=\frac{k}{2}$或$x=\frac{k+2-k+2}{2×2}=1$.
当$x_1=\frac{k}{2},x_2=1$时,$\frac{k}{2}=2$,解得$k=4$;
当$x_1=1,x_2=\frac{k}{2}$时,$1=2×\frac{k}{2}$,解得$k=1$.
综上所述,$k=1$或$k=4$.
(2)【解法一】因式分解法：
将方程因式分解可得$(2x-k)(x-1)=0$,解得$x=1$或$x=\frac{k}{2}$.
当$x_1=\frac{k}{2},x_2=1$时,$\frac{k}{2}=2$,解得$k=4$;当$x_1=1,x_2=\frac{k}{2}$时,$1=2×\frac{k}{2}$,解得$k=1$.综上所述,$k=1$或$k=4$.
【解法二】公式法：
$\because b^2-4ac=(k-2)^2$,
$\therefore x=\frac{(k+2)\pm(k-2)}{2×2}$,
$\therefore x=\frac{k+2+k-2}{2×2}=\frac{k}{2}$或$x=\frac{k+2-k+2}{2×2}=1$.
当$x_1=\frac{k}{2},x_2=1$时,$\frac{k}{2}=2$,解得$k=4$;
当$x_1=1,x_2=\frac{k}{2}$时,$1=2×\frac{k}{2}$,解得$k=1$.
综上所述,$k=1$或$k=4$.
解析
【分析】
(1) 要证明无论k取何值，一元二次方程总有实数根，只需证明方程的判别式$\Delta = b^2-4ac$恒大于等于0即可。先确定方程中a、b、c的取值，代入判别式化简后判断其取值范围即可得证。
(2) 已知两根满足$x_1=2x_2$，可先通过因式分解法或公式法求出方程的两个根，再分两种情况讨论两根的对应关系：①$x_1$为含k的根、$x_2=1$；②$x_1=1$、$x_2$为含k的根，分别代入$x_1=2x_2$求解k即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 证明：在一元二次方程$2x^2 - (k + 2)x + k = 0$中，$a=2$，$b=-(k+2)$，$c=k$，
∴判别式$\Delta = b^2-4ac=[-(k+2)]^2-4×2× k=k^2+4k+4-8k=k^2-4k+4=(k-2)^2$，
∵任意实数的平方均为非负数，即$(k-2)^2≥0$，
∴无论k为何值，方程总有实数根。
(2) 解法一：因式分解法
将方程左边因式分解得：$2x^2 - (k+2)x + k=(2x - k)(x - 1)=0$，
解得方程的两根为$x=1$或$x=\frac{k}{2}$。
分两种情况讨论：
①当$x_1=\frac{k}{2}$，$x_2=1$时，代入$x_1=2x_2$得$\frac{k}{2}=2×1$，解得$k=4$；
②当$x_1=1$，$x_2=\frac{k}{2}$时，代入$x_1=2x_2$得$1=2×\frac{k}{2}$，解得$k=1$。
解法二：公式法
由(1)可知$\Delta=(k-2)^2$，代入求根公式得：
$x=\frac{(k+2)\pm\sqrt{(k-2)^2}}{2×2}=\frac{(k+2)\pm(k-2)}{4}$，
∴$x=\frac{k+2+k-2}{4}=\frac{k}{2}$或$x=\frac{k+2-(k-2)}{4}=1$。
分两种情况讨论：
①当$x_1=\frac{k}{2}$，$x_2=1$时，$\frac{k}{2}=2×1$，解得$k=4$；
②当$x_1=1$，$x_2=\frac{k}{2}$时，$1=2×\frac{k}{2}$，解得$k=1$。
综上所述，k的值为1或4。
【答案】
(1) 无论k为何值，方程总有实数根，得证；
(2) $k=1$或$k=4$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 因式分解法解一元二次方程
3. 公式法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，第一问核心考查用判别式判断方程根的情况，第二问需要熟练掌握解一元二次方程的常用方法，解题时需注意分类讨论两根的对应关系，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明无论k取何值，一元二次方程总有实数根，只需证明方程的判别式$\Delta = b^2-4ac$恒大于等于0即可。先确定方程中a、b、c的取值，代入判别式化简后判断其取值范围即可得证。
(2) 已知两根满足$x_1=2x_2$，可先通过因式分解法或公式法求出方程的两个根，再分两种情况讨论两根的对应关系：①$x_1$为含k的根、$x_2=1$；②$x_1=1$、$x_2$为含k的根，分别代入$x_1=2x_2$求解k即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 证明：在一元二次方程$2x^2 - (k + 2)x + k = 0$中，$a=2$，$b=-(k+2)$，$c=k$，
∴判别式$\Delta = b^2-4ac=[-(k+2)]^2-4×2× k=k^2+4k+4-8k=k^2-4k+4=(k-2)^2$，
∵任意实数的平方均为非负数，即$(k-2)^2≥0$，
∴无论k为何值，方程总有实数根。
(2) 解法一：因式分解法
将方程左边因式分解得：$2x^2 - (k+2)x + k=(2x - k)(x - 1)=0$，
解得方程的两根为$x=1$或$x=\frac{k}{2}$。
分两种情况讨论：
①当$x_1=\frac{k}{2}$，$x_2=1$时，代入$x_1=2x_2$得$\frac{k}{2}=2×1$，解得$k=4$；
②当$x_1=1$，$x_2=\frac{k}{2}$时，代入$x_1=2x_2$得$1=2×\frac{k}{2}$，解得$k=1$。
解法二：公式法
由(1)可知$\Delta=(k-2)^2$，代入求根公式得：
$x=\frac{(k+2)\pm\sqrt{(k-2)^2}}{2×2}=\frac{(k+2)\pm(k-2)}{4}$，
∴$x=\frac{k+2+k-2}{4}=\frac{k}{2}$或$x=\frac{k+2-(k-2)}{4}=1$。
分两种情况讨论：
①当$x_1=\frac{k}{2}$，$x_2=1$时，$\frac{k}{2}=2×1$，解得$k=4$；
②当$x_1=1$，$x_2=\frac{k}{2}$时，$1=2×\frac{k}{2}$，解得$k=1$。
综上所述，k的值为1或4。
【答案】
(1) 无论k为何值，方程总有实数根，得证；
(2) $k=1$或$k=4$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 因式分解法解一元二次方程
3. 公式法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，第一问核心考查用判别式判断方程根的情况，第二问需要熟练掌握解一元二次方程的常用方法，解题时需注意分类讨论两根的对应关系，避免漏解。
【难度系数】
0.7
11. 核心素养 运算能力「2026江苏扬州期中」换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.如：解方程$x^4 - x^2 -6=0$，可将方程变形为$(x^2)^2 -x^2 -6=0$，设$x^2=y$，则原方程可化为$y^2 - y -6=0$，解得$y_1=-2,y_2=3$.$\because y=x^2≥0,\therefore y=3$，即$x^2=3$，解得$x=\pm\sqrt{3}$，$\therefore$原方程的解为$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$.
利用以上学习到的方法解决下列问题：
(1)解方程：$x^4 -4x^2 -12=0$.
(2)已知实数$x,y$满足$(2x^2+2y^2+3)(2x^2+2y^2 -5)=-7$，求$x^2+y^2$的值.
利用以上学习到的方法解决下列问题：
(1)解方程：$x^4 -4x^2 -12=0$.
(2)已知实数$x,y$满足$(2x^2+2y^2+3)(2x^2+2y^2 -5)=-7$，求$x^2+y^2$的值.
答案
(1)设$x^2=y$,
$\therefore$原方程可整理为$y^2-4y-12=0$,
移项、配方,得$y^2-4y+4=16$,即$(y-2)^2=16$,
$\therefore y-2=\pm4$,
解得$y_1=6,y_2=-2$,
$\because y=x^2≥0,\therefore x^2=6$,
$\therefore x_1=\sqrt{6},x_2=-\sqrt{6}$.
(2)设$m=2x^2+2y^2$,
$\therefore$原方程可化为$(m+3)(m-5)=-7$,
整理,得$m^2-2m-8=0$,
配方,得$(m-1)^2=9$,
解得$m_1=4,m_2=-2$,
$\because 2x^2+2y^2≥0,\therefore m=4$,
$\therefore 2x^2+2y^2=4$,
$\therefore x^2+y^2=2$.
$\therefore$原方程可整理为$y^2-4y-12=0$,
移项、配方,得$y^2-4y+4=16$,即$(y-2)^2=16$,
$\therefore y-2=\pm4$,
解得$y_1=6,y_2=-2$,
$\because y=x^2≥0,\therefore x^2=6$,
$\therefore x_1=\sqrt{6},x_2=-\sqrt{6}$.
(2)设$m=2x^2+2y^2$,
$\therefore$原方程可化为$(m+3)(m-5)=-7$,
整理,得$m^2-2m-8=0$,
配方,得$(m-1)^2=9$,
解得$m_1=4,m_2=-2$,
$\because 2x^2+2y^2≥0,\therefore m=4$,
$\therefore 2x^2+2y^2=4$,
$\therefore x^2+y^2=2$.
解析
【分析】
本题两小问均适用换元法求解：(1)所给方程是关于x的四次方程，观察到方程中仅含$x^4$和$x^2$项，可将$x^2$看作一个整体设为新元y，将原四次方程转化为熟悉的关于y的一元二次方程求解，最后结合平方的非负性筛选符合要求的y值，再反求x即可；(2)观察方程可知$2x^2+2y^2$重复出现，可将其设为新元m，将原方程转化为关于m的一元二次方程求解，结合平方和的非负性筛选符合要求的m值，再整理即可求出$x^2+y^2$的值。
【解析】
(1)设$x^2=y$，
∴原方程可整理为$y^2-4y-12=0$，
移项、配方，得$y^2-4y+4=16$，即$(y-2)^2=16$，
∴$y-2=\pm4$，
解得$y_1=6,y_2=-2$，
∵$y=x^2≥0$，
∴$x^2=6$，
∴$x_1=\sqrt{6},x_2=-\sqrt{6}$。
(2)设$m=2x^2+2y^2$，
∴原方程可化为$(m+3)(m-5)=-7$，
整理，得$m^2-2m-8=0$，
配方，得$(m-1)^2=9$，
解得$m_1=4,m_2=-2$，
∵$2x^2+2y^2≥0$，
∴$m=4$，
∴$2x^2+2y^2=4$，
∴$x^2+y^2=2$。
【答案】
(1)$x_1=\sqrt{6},x_2=-\sqrt{6}$；(2)$2$
【知识点】
换元法、解一元二次方程、平方的非负性
【点评】
本题是换元法解方程的典型应用，核心是将结构中重复出现的复杂部分视为整体换元，将陌生的高次方程或复杂方程转化为已学的一元二次方程求解，解题时要注意结合换元部分的取值范围对根进行筛选，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
本题两小问均适用换元法求解：(1)所给方程是关于x的四次方程，观察到方程中仅含$x^4$和$x^2$项，可将$x^2$看作一个整体设为新元y，将原四次方程转化为熟悉的关于y的一元二次方程求解，最后结合平方的非负性筛选符合要求的y值，再反求x即可；(2)观察方程可知$2x^2+2y^2$重复出现，可将其设为新元m，将原方程转化为关于m的一元二次方程求解，结合平方和的非负性筛选符合要求的m值，再整理即可求出$x^2+y^2$的值。
【解析】
(1)设$x^2=y$，
∴原方程可整理为$y^2-4y-12=0$，
移项、配方，得$y^2-4y+4=16$，即$(y-2)^2=16$，
∴$y-2=\pm4$，
解得$y_1=6,y_2=-2$，
∵$y=x^2≥0$，
∴$x^2=6$，
∴$x_1=\sqrt{6},x_2=-\sqrt{6}$。
(2)设$m=2x^2+2y^2$，
∴原方程可化为$(m+3)(m-5)=-7$，
整理，得$m^2-2m-8=0$，
配方，得$(m-1)^2=9$，
解得$m_1=4,m_2=-2$，
∵$2x^2+2y^2≥0$，
∴$m=4$，
∴$2x^2+2y^2=4$，
∴$x^2+y^2=2$。
【答案】
(1)$x_1=\sqrt{6},x_2=-\sqrt{6}$；(2)$2$
【知识点】
换元法、解一元二次方程、平方的非负性
【点评】
本题是换元法解方程的典型应用，核心是将结构中重复出现的复杂部分视为整体换元，将陌生的高次方程或复杂方程转化为已学的一元二次方程求解，解题时要注意结合换元部分的取值范围对根进行筛选，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
1.以下是解一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一种方法:将$a$分解成$a_1a_2$,$c$分解成$c_1c_2$,再把$a_1$,$a_2$,$c_1$,$c_2$排列为
,然后按斜线交叉相乘,再相加,得到$a_1c_2+a_2c_1$,若此时满足$a_1c_2+a_2c_1=b$,那么$ax^2+bx+c=0(a≠0)$就可以因式分解为$(a_1x+c_1)(a_2x+c_2)=0$,这种方法叫作"十字相乘法".
那么$x^2-5x-6=0$按照"十字相乘法"可因式分解为 (
A.$(x+2)(x-3)=0$
B.$(x+3)(x-2)=0$
C.$(x+6)(x-1)=0$
D.$(x+1)(x-6)=0$
,然后按斜线交叉相乘,再相加,得到$a_1c_2+a_2c_1$,若此时满足$a_1c_2+a_2c_1=b$,那么$ax^2+bx+c=0(a≠0)$就可以因式分解为$(a_1x+c_1)(a_2x+c_2)=0$,这种方法叫作"十字相乘法".那么$x^2-5x-6=0$按照"十字相乘法"可因式分解为 (
D
)A.$(x+2)(x-3)=0$
B.$(x+3)(x-2)=0$
C.$(x+6)(x-1)=0$
D.$(x+1)(x-6)=0$
答案
根据“十字相乘法”,得
$\therefore x^2-5x-6=(x+1)(x-6)=0$.
故选D.
解析
【分析】
首先明确十字相乘法的使用规则：对于形如$ax^2+bx+c=0$的一元二次方程，需将二次项系数$a$拆分为$a_1· a_2$，常数项$c$拆分为$c_1· c_2$，若交叉相乘求和$a_1c_2+a_2c_1$刚好等于一次项系数$b$，即可因式分解为$(a_1x+c_1)(a_2x+c_2)=0$。本题中二次项系数为1，只需拆分常数项，找到乘积为$-6$、和为$-5$的两个数，即可完成分解。
【解析】
对于方程$x^2-5x-6=0$：
1. 拆分二次项系数：$1=1×1$；
2. 尝试拆分常数项$-6$，需满足交叉相乘求和等于一次项系数$-5$：将$-6$拆分为$1×(-6)$，计算交叉乘积和：$1×(-6)+1×1=-5$，符合要求；
3. 因此方程可因式分解为$(x+1)(x-6)=0$，对应选项D。
【答案】
根据“十字相乘法”,得
$\therefore x^2-5x-6=(x+1)(x-6)=0$.
故选D.
【知识点】
十字相乘法，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是十字相乘法的基础应用题型，解题关键是正确拆分二次项系数和常数项，验证交叉乘积和与一次项系数一致即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
首先明确十字相乘法的使用规则：对于形如$ax^2+bx+c=0$的一元二次方程，需将二次项系数$a$拆分为$a_1· a_2$，常数项$c$拆分为$c_1· c_2$，若交叉相乘求和$a_1c_2+a_2c_1$刚好等于一次项系数$b$，即可因式分解为$(a_1x+c_1)(a_2x+c_2)=0$。本题中二次项系数为1，只需拆分常数项，找到乘积为$-6$、和为$-5$的两个数，即可完成分解。
【解析】
对于方程$x^2-5x-6=0$：
1. 拆分二次项系数：$1=1×1$；
2. 尝试拆分常数项$-6$，需满足交叉相乘求和等于一次项系数$-5$：将$-6$拆分为$1×(-6)$，计算交叉乘积和：$1×(-6)+1×1=-5$，符合要求；
3. 因此方程可因式分解为$(x+1)(x-6)=0$，对应选项D。
【答案】
根据“十字相乘法”,得
$\therefore x^2-5x-6=(x+1)(x-6)=0$.
故选D.
【知识点】
十字相乘法，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是十字相乘法的基础应用题型，解题关键是正确拆分二次项系数和常数项，验证交叉乘积和与一次项系数一致即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
2.「2026安徽合肥期末」一元
次方程$2x^2 -3x=-1$的解为
次方程$2x^2 -3x=-1$的解为$x_1=\frac{1}{2},x_2=1$
。答案
移项,得$2x^2-3x+1=0$,
因式分解,得$(2x-1)(x-1)=0$,
$\therefore 2x-1=0$或$x-1=0$,
解得$x_1=\frac{1}{2},x_2=1$.
因式分解,得$(2x-1)(x-1)=0$,
$\therefore 2x-1=0$或$x-1=0$,
解得$x_1=\frac{1}{2},x_2=1$.
解析
【分析】
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是先将方程整理为右侧为0的一般形式，再把左侧的二次三项式分解为两个一次因式的乘积，根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解。
【解析】
首先对原方程移项，将右侧的-1移到左侧，得：
$2x^2 - 3x + 1 = 0$
对左侧二次三项式用十字相乘法因式分解，得：
$(2x - 1)(x - 1) = 0$
根据乘积为0的性质，可得：
$2x - 1 = 0$ 或 $x - 1 = 0$
分别解两个一元一次方程：
当$2x - 1 = 0$时，解得$x = \frac{1}{2}$；
当$x - 1 = 0$时，解得$x = 1$。
【答案】
$x_1=\frac{1}{2},x_2=1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、十字相乘法因式分解
【点评】
本题属于解一元二次方程的基础题，重点考查因式分解法的应用，解题关键是先把方程化为标准形式，再正确对二次三项式进行因式分解，整体计算量小。
【难度系数】
0.8
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是先将方程整理为右侧为0的一般形式，再把左侧的二次三项式分解为两个一次因式的乘积，根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解。
【解析】
首先对原方程移项，将右侧的-1移到左侧，得：
$2x^2 - 3x + 1 = 0$
对左侧二次三项式用十字相乘法因式分解，得：
$(2x - 1)(x - 1) = 0$
根据乘积为0的性质，可得：
$2x - 1 = 0$ 或 $x - 1 = 0$
分别解两个一元一次方程：
当$2x - 1 = 0$时，解得$x = \frac{1}{2}$；
当$x - 1 = 0$时，解得$x = 1$。
【答案】
$x_1=\frac{1}{2},x_2=1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、十字相乘法因式分解
【点评】
本题属于解一元二次方程的基础题，重点考查因式分解法的应用，解题关键是先把方程化为标准形式，再正确对二次三项式进行因式分解，整体计算量小。
【难度系数】
0.8
3.已知$a^2 + ab -6b^2=0$,则$\frac{a - b}{a + b}$的值为
$2或\frac{1}{3}$
.答案
$\because a^2+ab-6b^2=0$,
$\therefore (a+3b)(a-2b)=0$,
$\therefore a+3b=0$或$a-2b=0$,
$\therefore a=-3b$或$a=2b$,
当$a=-3b$时,原式$=\frac{-3b-b}{-3b+b}=2$;
当$a=2b$时,原式$=\frac{2b-b}{2b+b}=\frac{1}{3}$.
故答案为2或$\frac{1}{3}$.
$\therefore (a+3b)(a-2b)=0$,
$\therefore a+3b=0$或$a-2b=0$,
$\therefore a=-3b$或$a=2b$,
当$a=-3b$时,原式$=\frac{-3b-b}{-3b+b}=2$;
当$a=2b$时,原式$=\frac{2b-b}{2b+b}=\frac{1}{3}$.
故答案为2或$\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
已知等式是关于a、b的二次齐次式，首先可通过十字相乘法对等式左边因式分解，得到两个一次因式乘积为0的形式，由此推出a与b的数量关系；再分两种情况将a用含b的式子代入所求分式化简，过程中注意验证分式分母不为0的隐含条件，排除无意义的情况即可。
【解析】
解：$\because a^2 + ab -6b^2=0$，
对左边用十字相乘法因式分解可得：$(a+3b)(a-2b)=0$，
$\therefore a+3b=0$或$a-2b=0$，即$a=-3b$或$a=2b$，
由分式$\frac{a-b}{a+b}$有意义可知$a+b≠0$：
①当$a=-3b$时，$a+b=-3b+b=-2b≠0$（若$b=0$则$a=0$，分母为0无意义，故$b≠0$），
原式$=\frac{-3b - b}{-3b + b}=\frac{-4b}{-2b}=2$；
②当$a=2b$时，$a+b=2b + b=3b≠0$，
原式$=\frac{2b - b}{2b + b}=\frac{b}{3b}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$2$或$\frac{1}{3}$
【知识点】
十字相乘法因式分解；分式化简求值；因式分解法解方程
【点评】
本题核心是通过因式分解建立a和b的等量关系，解题时需运用分类讨论思想，同时要注意分式有意义的隐含条件，避免漏验证导致错解。
【难度系数】
0.7
已知等式是关于a、b的二次齐次式，首先可通过十字相乘法对等式左边因式分解，得到两个一次因式乘积为0的形式，由此推出a与b的数量关系；再分两种情况将a用含b的式子代入所求分式化简，过程中注意验证分式分母不为0的隐含条件，排除无意义的情况即可。
【解析】
解：$\because a^2 + ab -6b^2=0$，
对左边用十字相乘法因式分解可得：$(a+3b)(a-2b)=0$，
$\therefore a+3b=0$或$a-2b=0$，即$a=-3b$或$a=2b$，
由分式$\frac{a-b}{a+b}$有意义可知$a+b≠0$：
①当$a=-3b$时，$a+b=-3b+b=-2b≠0$（若$b=0$则$a=0$，分母为0无意义，故$b≠0$），
原式$=\frac{-3b - b}{-3b + b}=\frac{-4b}{-2b}=2$；
②当$a=2b$时，$a+b=2b + b=3b≠0$，
原式$=\frac{2b - b}{2b + b}=\frac{b}{3b}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$2$或$\frac{1}{3}$
【知识点】
十字相乘法因式分解；分式化简求值；因式分解法解方程
【点评】
本题核心是通过因式分解建立a和b的等量关系，解题时需运用分类讨论思想，同时要注意分式有意义的隐含条件，避免漏验证导致错解。
【难度系数】
0.7
