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8. 学科特色 易错题 「2025四川广元中考，★☆」若关于x的一元二次方程$(a-1)x^2 + (a-1)x - \frac{1}{2}=0$有两个相等的实数根，则$a=$
-1
。答案
$\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $(a-1)x^2+(a-1)x-\frac{1}{2}=0$ 有两个相等的实数根,$\therefore \Delta=(a-1)^2-4×(a-1)×(-\frac{1}{2})=0$,解得 $a_1=1,a_2=-1$,$\because$ 原方程是关于 $x$ 的一元二次方程,$\therefore a-1≠0$,$\therefore a≠1$,$\therefore a=-1$.
解析
【分析】
解这道题需要结合一元二次方程的两个核心性质思考：首先，一元二次方程的二次项系数不能为0，否则方程就不是二次方程；其次，一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式$\Delta=0$。解题时先根据$\Delta=0$列出关于$a$的方程，求出$a$的所有可能值，再结合二次项系数不为0的隐含条件排除不符合要求的解，就能得到最终正确结果。
【解析】
$\because$ 关于$x$的一元二次方程 $(a-1)x^2+(a-1)x-\frac{1}{2}=0$ 有两个相等的实数根，
$\therefore$ 根的判别式$\Delta=(a-1)^2-4×(a-1)×(-\frac{1}{2})=0$，
整理得$(a-1)^2+2(a-1)=0$，提取公因式得$(a-1)(a+1)=0$，
解得 $a_1=1,a_2=-1$，
$\because$ 原方程是关于$x$的一元二次方程，
$\therefore$ 二次项系数$a-1≠0$，即$a≠1$，
$\therefore a=-1$。
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义 2. 根的判别式的应用
【点评】
本题是典型易错题，很多同学解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，误把$a=1$也当作正确答案。求解此类问题时要先明确方程类型对应的限制条件，再结合根的情况列式计算，避免漏看条件出错。
【难度系数】
0.6
解这道题需要结合一元二次方程的两个核心性质思考：首先，一元二次方程的二次项系数不能为0，否则方程就不是二次方程；其次，一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式$\Delta=0$。解题时先根据$\Delta=0$列出关于$a$的方程，求出$a$的所有可能值，再结合二次项系数不为0的隐含条件排除不符合要求的解，就能得到最终正确结果。
【解析】
$\because$ 关于$x$的一元二次方程 $(a-1)x^2+(a-1)x-\frac{1}{2}=0$ 有两个相等的实数根，
$\therefore$ 根的判别式$\Delta=(a-1)^2-4×(a-1)×(-\frac{1}{2})=0$，
整理得$(a-1)^2+2(a-1)=0$，提取公因式得$(a-1)(a+1)=0$，
解得 $a_1=1,a_2=-1$，
$\because$ 原方程是关于$x$的一元二次方程，
$\therefore$ 二次项系数$a-1≠0$，即$a≠1$，
$\therefore a=-1$。
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义 2. 根的判别式的应用
【点评】
本题是典型易错题，很多同学解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，误把$a=1$也当作正确答案。求解此类问题时要先明确方程类型对应的限制条件，再结合根的情况列式计算，避免漏看条件出错。
【难度系数】
0.6
9.「2026河南洛阳期中，★☆」已知关于$x$的一元二次方程$(x-2)(x-5)-m^2=0$.
(1)求证:对于任意实数$m$,方程总有两个不相等的实数根.
(2)若方程的一个根是$1$,求$m$的值及方程的另一个根.
(1)求证:对于任意实数$m$,方程总有两个不相等的实数根.
(2)若方程的一个根是$1$,求$m$的值及方程的另一个根.
答案
(1)证明:原方程化为一般形式,
得 $x^2-7x+10-m^2=0$,则 $a=1,b=-7,c=10-m^2$,
$\therefore \Delta=(-7)^2-4×(10-m^2)=9+4m^2≥9$,
$\therefore$ 方程总有两个不相等的实数根.
(2)$\because$ 方程的一个根是 1,
$\therefore (1-2)×(1-5)-m^2=0$,
$\therefore m^2=4$,解得 $m=\pm2$,
$\therefore$ 原方程为 $x^2-7x+6=0$,
$\therefore \Delta=9+4×4=25$,
$\therefore x=\frac{-(-7)\pm\sqrt{25}}{2×1}=\frac{7\pm5}{2}$,
解得 $x_1=1,x_2=6$.
综上可知,$m$ 的值为$\pm2$,方程的另一个根是 6.
得 $x^2-7x+10-m^2=0$,则 $a=1,b=-7,c=10-m^2$,
$\therefore \Delta=(-7)^2-4×(10-m^2)=9+4m^2≥9$,
$\therefore$ 方程总有两个不相等的实数根.
(2)$\because$ 方程的一个根是 1,
$\therefore (1-2)×(1-5)-m^2=0$,
$\therefore m^2=4$,解得 $m=\pm2$,
$\therefore$ 原方程为 $x^2-7x+6=0$,
$\therefore \Delta=9+4×4=25$,
$\therefore x=\frac{-(-7)\pm\sqrt{25}}{2×1}=\frac{7\pm5}{2}$,
解得 $x_1=1,x_2=6$.
综上可知,$m$ 的值为$\pm2$,方程的另一个根是 6.
解析
【分析】
(1) 要证明对任意实数m方程总有两个不相等的实数根，需用到一元二次方程根的判别式的性质：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根。解题时先将原方程整理为一般形式，确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再计算判别式，结合平方的非负性证明Δ恒大于0即可。
(2) 已知方程的一个根是1，根据方程的根的定义，将x=1代入原方程即可求出m的值；再将m的值代入原方程，用公式法解一元二次方程就能得到另一个根，也可通过根与系数的关系快速求出另一个根。
【解析】
(1) 证明：原方程化为一般形式，得 $x^2-7x+10-m^2=0$，
则 $a=1,b=-7,c=10-m^2$，
$\therefore \Delta=(-7)^2-4×1×(10-m^2)=9+4m^2$，
$\because$ 对任意实数m，$m^2≥0$，
$\therefore 9+4m^2≥9＞0$，
$\therefore$ 对于任意实数$m$,方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：$\because$ 方程的一个根是1，
$\therefore$ 将x=1代入原方程，得 $(1-2)×(1-5)-m^2=0$，
解得 $m^2=4$，即 $m=\pm2$，
将$m^2=4$代入一般式，得原方程为 $x^2-7x+6=0$，
此时$\Delta=9+4×4=25$，
$\therefore x=\frac{-(-7)\pm\sqrt{25}}{2×1}=\frac{7\pm5}{2}$，
解得 $x_1=1,x_2=6$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $m$的值为$\pm2$，方程的另一个根是$6$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程基础题型，核心考查判别式的应用、方程根的定义和解一元二次方程的方法，掌握相关基础知识点就能顺利解题。
【难度系数】
0.85
(1) 要证明对任意实数m方程总有两个不相等的实数根，需用到一元二次方程根的判别式的性质：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根。解题时先将原方程整理为一般形式，确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再计算判别式，结合平方的非负性证明Δ恒大于0即可。
(2) 已知方程的一个根是1，根据方程的根的定义，将x=1代入原方程即可求出m的值；再将m的值代入原方程，用公式法解一元二次方程就能得到另一个根，也可通过根与系数的关系快速求出另一个根。
【解析】
(1) 证明：原方程化为一般形式，得 $x^2-7x+10-m^2=0$，
则 $a=1,b=-7,c=10-m^2$，
$\therefore \Delta=(-7)^2-4×1×(10-m^2)=9+4m^2$，
$\because$ 对任意实数m，$m^2≥0$，
$\therefore 9+4m^2≥9＞0$，
$\therefore$ 对于任意实数$m$,方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：$\because$ 方程的一个根是1，
$\therefore$ 将x=1代入原方程，得 $(1-2)×(1-5)-m^2=0$，
解得 $m^2=4$，即 $m=\pm2$，
将$m^2=4$代入一般式，得原方程为 $x^2-7x+6=0$，
此时$\Delta=9+4×4=25$，
$\therefore x=\frac{-(-7)\pm\sqrt{25}}{2×1}=\frac{7\pm5}{2}$，
解得 $x_1=1,x_2=6$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $m$的值为$\pm2$，方程的另一个根是$6$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程基础题型，核心考查判别式的应用、方程根的定义和解一元二次方程的方法，掌握相关基础知识点就能顺利解题。
【难度系数】
0.85
10.「2026江苏宿迁期中，★☆」我们规定:对于任意实数$a,b,c,d$有$[a,b]*[c,d]=ac-bd$，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如:$[3,2]*[5,1]=3×5-2×1=13$.
(1)求$[-4,3]*[2,-6]$的值.
(2)已知关于$x$的一元二次方程$[x,2x-1]*[mx+1,m]=0$有两个实数根，求$m$的取值范围.
(1)求$[-4,3]*[2,-6]$的值.
(2)已知关于$x$的一元二次方程$[x,2x-1]*[mx+1,m]=0$有两个实数根，求$m$的取值范围.
答案
(1)$[-4,3]*[2,-6]=-4×2-3×(-6)=10$.
(2)根据题意,得 $x(mx+1)-m(2x-1)=0$,
整理得 $mx^2+(1-2m)x+m=0$,
$\because$ 原方程有两个实数根,
$\therefore \Delta=(1-2m)^2-4m· m≥0$,且 $m≠0$,
解得 $m≤\frac{1}{4}$且 $m≠0$.
(2)根据题意,得 $x(mx+1)-m(2x-1)=0$,
整理得 $mx^2+(1-2m)x+m=0$,
$\because$ 原方程有两个实数根,
$\therefore \Delta=(1-2m)^2-4m· m≥0$,且 $m≠0$,
解得 $m≤\frac{1}{4}$且 $m≠0$.
解析
【分析】
（1）第一问是新定义运算的直接应用，解题时先明确运算规则$[a,b]*[c,d]=ac-bd$，只需将对应位置的数值代入公式，按照常规四则运算计算即可，注意负数运算的符号处理。
（2）第二问是新定义与一元二次方程性质的结合，第一步先按新定义规则展开运算，整理为一元二次方程的标准形式；第二步结合“一元二次方程有两个实数根”的条件，需同时满足两个要求：一是二次项系数不为0（保证方程是一元二次方程），二是根的判别式$\Delta≥0$（保证有两个实数根），最后解不等式得到$m$的取值范围。
【解析】
(1) 根据新定义运算规则，代入$a=-4,b=3,c=2,d=-6$：
$[-4,3]*[2,-6]=(-4)×2 - 3×(-6) = -8 + 18 = 10$
(2) 按照新定义展开运算得：
$x(mx+1) - m(2x-1) = 0$
整理为标准一元二次方程形式：$mx^2 + (1-2m)x + m = 0$
$\because$ 原方程是一元二次方程且有两个实数根
$\therefore$ 二次项系数$m≠0$，且根的判别式$\Delta=(1-2m)^2 - 4m· m≥0$
化简判别式：$\Delta=1-4m+4m^2-4m^2=1-4m≥0$，解得$m≤\frac{1}{4}$
综上可得$m$的取值范围。
【答案】
(1) $\boxed{10}$
(2) $\boxed{m≤ \dfrac{1}{4}且m≠ 0}$
【知识点】
新定义运算、一元二次方程的定义、根的判别式
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的相关知识，核心是准确理解新定义规则，将陌生运算转化为常规代数式运算，求解参数范围时注意不要遗漏一元二次方程二次项系数不为0的限制条件，避免多解错误。
【难度系数】
0.7
（1）第一问是新定义运算的直接应用，解题时先明确运算规则$[a,b]*[c,d]=ac-bd$，只需将对应位置的数值代入公式，按照常规四则运算计算即可，注意负数运算的符号处理。
（2）第二问是新定义与一元二次方程性质的结合，第一步先按新定义规则展开运算，整理为一元二次方程的标准形式；第二步结合“一元二次方程有两个实数根”的条件，需同时满足两个要求：一是二次项系数不为0（保证方程是一元二次方程），二是根的判别式$\Delta≥0$（保证有两个实数根），最后解不等式得到$m$的取值范围。
【解析】
(1) 根据新定义运算规则，代入$a=-4,b=3,c=2,d=-6$：
$[-4,3]*[2,-6]=(-4)×2 - 3×(-6) = -8 + 18 = 10$
(2) 按照新定义展开运算得：
$x(mx+1) - m(2x-1) = 0$
整理为标准一元二次方程形式：$mx^2 + (1-2m)x + m = 0$
$\because$ 原方程是一元二次方程且有两个实数根
$\therefore$ 二次项系数$m≠0$，且根的判别式$\Delta=(1-2m)^2 - 4m· m≥0$
化简判别式：$\Delta=1-4m+4m^2-4m^2=1-4m≥0$，解得$m≤\frac{1}{4}$
综上可得$m$的取值范围。
【答案】
(1) $\boxed{10}$
(2) $\boxed{m≤ \dfrac{1}{4}且m≠ 0}$
【知识点】
新定义运算、一元二次方程的定义、根的判别式
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的相关知识，核心是准确理解新定义规则，将陌生运算转化为常规代数式运算，求解参数范围时注意不要遗漏一元二次方程二次项系数不为0的限制条件，避免多解错误。
【难度系数】
0.7
11.核心
素养
运算能力 如果关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有两个实数根$x_1,x_2$，且$|x_1-x_2|=1$，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如：一元二次方程$x^2-x=0$的两个根是$x_1=0,x_2=1$，$|0-1|=1$，则方程$x^2-x=0$是“邻近根方程”。
(1) 判断方程$2x^2-6\sqrt{3}x+13=0$是不是“邻近根方程”。
(2) 若关于$x$的方程$3x^2+(m-2)x-m-1=0$是“邻近根方程”，求$m$的值。
素养
运算能力 如果关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有两个实数根$x_1,x_2$，且$|x_1-x_2|=1$，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如：一元二次方程$x^2-x=0$的两个根是$x_1=0,x_2=1$，$|0-1|=1$，则方程$x^2-x=0$是“邻近根方程”。
(1) 判断方程$2x^2-6\sqrt{3}x+13=0$是不是“邻近根方程”。
(2) 若关于$x$的方程$3x^2+(m-2)x-m-1=0$是“邻近根方程”，求$m$的值。
答案
(1)$\because a=2,b=-6\sqrt{3},c=13$,
$\therefore b^2-4ac=(-6\sqrt{3})^2-4×2×13=4＞0$,
$\therefore x=\frac{-(-6\sqrt{3})\pm\sqrt{4}}{2×2}=\frac{6\sqrt{3}\pm2}{4}$,
$\therefore x_1=\frac{3\sqrt{3}+1}{2},x_2=\frac{3\sqrt{3}-1}{2}$,
$\therefore |x_1-x_2|=\left|\frac{3\sqrt{3}+1}{2}-\frac{3\sqrt{3}-1}{2}\right|=1$,
$\therefore$ 方程 $2x^2-6\sqrt{3}x+13=0$ 是“邻近根方程”.
(2)$\because a=3,b=m-2,c=-m-1$,
$\therefore b^2-4ac=(m-2)^2-4×3×(-m-1)=(m+4)^2≥0$,
$\therefore x=\frac{2-m\pm\sqrt{(m+4)^2}}{2×3}=\frac{2-m\pm(m+4)}{6}$,
$\therefore x_1=1,x_2=-\frac{m+1}{3}$,
$\because$ 关于 $x$ 的方程 $3x^2+(m-2)x-m-1=0$ 是“邻近根方程”,$\therefore \left|1+\frac{m+1}{3}\right|=1$,
$\therefore 1+\frac{m+1}{3}=1$ 或 $1+\frac{m+1}{3}=-1$,
解得 $m=-1$ 或 $m=-7$,
即 $m$ 的值为$-1$ 或$-7$.
$\therefore b^2-4ac=(-6\sqrt{3})^2-4×2×13=4＞0$,
$\therefore x=\frac{-(-6\sqrt{3})\pm\sqrt{4}}{2×2}=\frac{6\sqrt{3}\pm2}{4}$,
$\therefore x_1=\frac{3\sqrt{3}+1}{2},x_2=\frac{3\sqrt{3}-1}{2}$,
$\therefore |x_1-x_2|=\left|\frac{3\sqrt{3}+1}{2}-\frac{3\sqrt{3}-1}{2}\right|=1$,
$\therefore$ 方程 $2x^2-6\sqrt{3}x+13=0$ 是“邻近根方程”.
(2)$\because a=3,b=m-2,c=-m-1$,
$\therefore b^2-4ac=(m-2)^2-4×3×(-m-1)=(m+4)^2≥0$,
$\therefore x=\frac{2-m\pm\sqrt{(m+4)^2}}{2×3}=\frac{2-m\pm(m+4)}{6}$,
$\therefore x_1=1,x_2=-\frac{m+1}{3}$,
$\because$ 关于 $x$ 的方程 $3x^2+(m-2)x-m-1=0$ 是“邻近根方程”,$\therefore \left|1+\frac{m+1}{3}\right|=1$,
$\therefore 1+\frac{m+1}{3}=1$ 或 $1+\frac{m+1}{3}=-1$,
解得 $m=-1$ 或 $m=-7$,
即 $m$ 的值为$-1$ 或$-7$.
解析
【分析】
本题为新定义类一元二次方程运算题，解题核心是准确理解“邻近根方程”的定义：一元二次方程有两个实数根，且两根差的绝对值为1。
(1) 解题思路：先确定方程中a、b、c的取值，计算根的判别式判断方程是否有两个实根，若有实根则用公式法求出两个根，计算两根差的绝对值，判断是否等于1即可。
(2) 解题思路：先确定含参方程的a、b、c，计算判别式确认方程总有实根，再用公式法求出含参数m的两个根，根据“邻近根方程”的定义列绝对值方程，分两种情况求解即可得到m的值。
【解析】
(1) 对于方程$2x^2-6\sqrt{3}x+13=0$，
$\because a=2,b=-6\sqrt{3},c=13$,
$\therefore b^2-4ac=(-6\sqrt{3})^2-4×2×13=108-104=4＞0$,
$\therefore x=\frac{-(-6\sqrt{3})\pm\sqrt{4}}{2×2}=\frac{6\sqrt{3}\pm2}{4}$,
$\therefore x_1=\frac{3\sqrt{3}+1}{2},x_2=\frac{3\sqrt{3}-1}{2}$,
$\therefore |x_1-x_2|=\left|\frac{3\sqrt{3}+1}{2}-\frac{3\sqrt{3}-1}{2}\right|=1$,
$\therefore$ 方程 $2x^2-6\sqrt{3}x+13=0$ 是“邻近根方程”。
(2) 对于方程$3x^2+(m-2)x-m-1=0$，
$\because a=3,b=m-2,c=-m-1$,
$\therefore b^2-4ac=(m-2)^2-4×3×(-m-1)=m^2-4m+4+12m+12=m^2+8m+16=(m+4)^2≥0$,
$\therefore x=\frac{2-m\pm\sqrt{(m+4)^2}}{2×3}=\frac{2-m\pm(m+4)}{6}$,
$\therefore x_1=\frac{2-m+m+4}{6}=1,x_2=\frac{2-m-m-4}{6}=-\frac{m+1}{3}$,
$\because$ 该方程是“邻近根方程”，$\therefore \left|1+\frac{m+1}{3}\right|=1$,
$\therefore 1+\frac{m+1}{3}=1$ 或 $1+\frac{m+1}{3}=-1$,
解得 $m=-1$ 或 $m=-7$。
【答案】
(1) 是“邻近根方程”；(2) $m$的值为$-1$或$-7$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 公式法解一元二次方程 3. 绝对值方程求解
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的相关运算，解题的关键是读懂“邻近根方程”的含义，结合已学的判别式、求根公式知识作答，求解绝对值方程时注意分两种情况讨论，避免漏解，同时要注意计算的准确性。
【难度系数】
0.7
本题为新定义类一元二次方程运算题，解题核心是准确理解“邻近根方程”的定义：一元二次方程有两个实数根，且两根差的绝对值为1。
(1) 解题思路：先确定方程中a、b、c的取值，计算根的判别式判断方程是否有两个实根，若有实根则用公式法求出两个根，计算两根差的绝对值，判断是否等于1即可。
(2) 解题思路：先确定含参方程的a、b、c，计算判别式确认方程总有实根，再用公式法求出含参数m的两个根，根据“邻近根方程”的定义列绝对值方程，分两种情况求解即可得到m的值。
【解析】
(1) 对于方程$2x^2-6\sqrt{3}x+13=0$，
$\because a=2,b=-6\sqrt{3},c=13$,
$\therefore b^2-4ac=(-6\sqrt{3})^2-4×2×13=108-104=4＞0$,
$\therefore x=\frac{-(-6\sqrt{3})\pm\sqrt{4}}{2×2}=\frac{6\sqrt{3}\pm2}{4}$,
$\therefore x_1=\frac{3\sqrt{3}+1}{2},x_2=\frac{3\sqrt{3}-1}{2}$,
$\therefore |x_1-x_2|=\left|\frac{3\sqrt{3}+1}{2}-\frac{3\sqrt{3}-1}{2}\right|=1$,
$\therefore$ 方程 $2x^2-6\sqrt{3}x+13=0$ 是“邻近根方程”。
(2) 对于方程$3x^2+(m-2)x-m-1=0$，
$\because a=3,b=m-2,c=-m-1$,
$\therefore b^2-4ac=(m-2)^2-4×3×(-m-1)=m^2-4m+4+12m+12=m^2+8m+16=(m+4)^2≥0$,
$\therefore x=\frac{2-m\pm\sqrt{(m+4)^2}}{2×3}=\frac{2-m\pm(m+4)}{6}$,
$\therefore x_1=\frac{2-m+m+4}{6}=1,x_2=\frac{2-m-m-4}{6}=-\frac{m+1}{3}$,
$\because$ 该方程是“邻近根方程”，$\therefore \left|1+\frac{m+1}{3}\right|=1$,
$\therefore 1+\frac{m+1}{3}=1$ 或 $1+\frac{m+1}{3}=-1$,
解得 $m=-1$ 或 $m=-7$。
【答案】
(1) 是“邻近根方程”；(2) $m$的值为$-1$或$-7$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 公式法解一元二次方程 3. 绝对值方程求解
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的相关运算，解题的关键是读懂“邻近根方程”的含义，结合已学的判别式、求根公式知识作答，求解绝对值方程时注意分两种情况讨论，避免漏解，同时要注意计算的准确性。
【难度系数】
0.7
