1[2026江苏南京期中,中]如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB=AC,AD//BC.
(1)求证:AD为⊙O的切线;
(2)若AB=4√5,BC=8,求⊙O的半径.

1.(1)【证明】如图,连接 AO 并延长交 BC 于点 H,连接 OB,OC.
∵ AB = AC, OB = OC,
∴ AH 垂直平分 BC,
∴ ∠AHB = 90°.
∵ AD//BC,
∴ ∠DAO = ∠AHB = 90°,
∴ AO ⊥ AD.
∵ OA 是⊙O 的半径,
∴ AD 是⊙O 的切线.
(2)【解】由(1)得 BH = 1/2 BC = 4. 在 Rt△ABH 中,由勾股定理得 AH = √((4√5)² - 4²) = 8. 设⊙O 的半径为 r,则 AO = r, OH = 8 - r. 在 Rt△BOH 中,由勾股定理得 r² = (8 - r)² + 4², 解得 r = 5, 即⊙O 的半径为5.

2[2026河北邯郸期中,中]如图(1),在$△ ABC$中,点P在边AB上,$∠ ABC:∠ BAC:∠ BPC=1:2:3$,$\odot O$是$△ BCP$的外接圆.
(1)求证:AC是$\odot O$的切线;
(2)当BP是$\odot O$的直径时,如图(2),求$∠ ACP$的度数.

思路分析
(1) 连接 CO 并延长交⊙O 于点 Q,则 CQ 为⊙O 的直径,连接 PQ,证明 CQ ⊥ AC,根据切线的判定即可得出结论;
(2) 证明∠BCP = 90°,再根据已知条件求出∠ABC 的度数,即可求解.
2.(1)【证明】连接 CO 并延长交⊙O 于点 Q,则 CQ 为⊙O 的直径,连接 PQ,如图所示.
∵ ∠ABC : ∠BAC : ∠BPC = 1 : 2 : 3, ∠BPC = ∠ACP + ∠BAC,
∴ ∠ABC = ∠ACP.
∵ CQ 为⊙O 的直径,
∴ ∠CPQ = 90°,
∴ ∠PCQ = 90° - ∠CQP.
∵ ∠CQP = ∠CBP,
∴ ∠CQP = ∠ABC = ∠ACP,
∴ ∠PCQ = 90° - ∠CQP = 90° - ∠ACP, 即∠PCQ + ∠ACP = 90°,
∴ ∠ACQ = 90°,
∴ CQ ⊥ AC. 又
∵ OC 是⊙O 的半径,
∴ AC 是⊙O 的切线.
(2)【解】
∵ BP 是⊙O 的直径,
∴ ∠BCP = 90°,
∴ ∠BPC + ∠CBP = 90°.
∵ ∠ABC : ∠BAC : ∠BPC = 1 : 2 : 3,
∴ 4∠ABC = 90°,
∴ ∠ABC = 22.5°. 由(1)知∠ABC = ∠ACP,
∴ ∠ACP = 22.5°.

3[2026广东肇庆期末,中]如图,∠B=∠D=90°,∠1=∠2,AB与CD交于点O,以O为圆心,OB长为半径作圆.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)已知BC=3,AB=4,求OC的长.

3.(1)【证明】如图,过 O 点作 OE ⊥ AC,垂足为点 E,
∴ ∠OEC = ∠OEA = 90°.
∵ ∠B = 90°,
∴ ∠B = ∠OEC.
在△BOC 和△EOC 中,
{∠B = ∠OEC,
∠2 = ∠1,
OC = OC,
∴ △BOC ≅ △EOC(AAS),
∴ OB = OE.
∵ OB 为半径,
∴ OE 为半径. 又
∵ OE ⊥ AC,
∴ AC 是⊙O 的切线.
(2)【解】如图. 在 Rt△ABC 中,由勾股定理得 AC = √(BC² + AB²) = √(3² + 4²) = 5. 设⊙O 的半径为 r,则 OB = OE = r,
∴ OA = AB - OB = 4 - r. 由(1)得△BOC ≅ △EOC,
∴ CE = BC = 3,
∴ AE = AC - CE = 5 - 3 = 2.
在 Rt△OAE 中,由勾股定理得 OE² + AE² = OA²,
即 r² + 2² = (4 - r)², 解得 r = 3/2. 在 Rt△OBC 中,由勾股定理得 OC² = BC² + OB² = 3² + (3/2)² = 45/4,
∴ OC = 3√5/2.

4[2026浙江杭州校级期末,中]如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB边的中点,点O在BC边上,⊙O经过点C且与AB边相切于点E,∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ADC.
(1)求证:BF是⊙O的切线;
(2)若AC=6,BC=8,求⊙O的半径及OD的长.

关键点拨
(1) 作 OH ⊥ FB,垂足为点 H,连接 OE,证明 BC 是∠FBA 的平分线,再由⊙O 与 AB 边相切于点 E,可推得 OH 是⊙O 的半径,即可求证;
(2) 由勾股定理及切线长定理计算即可.
4.(1)【证明】如图,作 OH ⊥ FB,垂足为点 H,连接 OE.
∵ ∠ACB = 90°, D 是 AB 的中点,
∴ CD = BD = 1/2 AB,
∴ ∠CBD = ∠BCD,
∴ ∠ADC = ∠CBD + ∠BCD = 2∠CBD. 又
∵ ∠FBC = 1/2 ∠ADC,
∴ ∠FBC = ∠CBD, 即 BC 是∠FBA 的平分线.
∵ 点 O 在 BC 上, ⊙O 与 AB 相切于点 E,
∴ OE ⊥ AB, 且 OE 是⊙O 的半径,
∴ OH = OE,
∴ OH 是⊙O 的半径. 又
∵ OH ⊥ FB,
∴ BF 是⊙O 的切线.
(2)【解】如图,在△ABC 中, ∠ACB = 90°, AC = 6, BC = 8,
∴ AB = √(AC² + BC²) = 10.
∵ AC ⊥ CO, CO 是⊙O 的半径,
∴ AC 是⊙O 的切线. 由题意知 AE 是⊙O 的切线,
∴ AC = AE = 6,
∴ BE = 10 - 6 = 4. 设⊙O 的半径为 r,则 OC = OE = r, OB = 8 - r. 在 Rt△OEB 中,由勾股定理得 OE² + BE² = OB²,
∴ r² + 4² = (8 - r)²,
∴ r = 3,
∴ ⊙O 的半径长为 3.
∵ BD = 1/2 AB = 5,
∴ DE = BD - BE = 1,
∴ OD = √(3² + 1²) = √10.