1[2026福建龙岩质检]如图,AB是$\odot O$的弦,P是AB延长线上一点.
(1)过点P作$\odot O$的切线PC,切点C在直线AB的下方;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,连接AC,BC.求证:$∠ PCB=∠ BAC$.

1.(1)【解】如图,直线 PC 即为所求.
(2)【证明】如图,作直径 CH,连接 BH. 由作图可知 $CH ⊥ CP,\therefore ∠ PCB+∠ HCB=90°.$ $\because CH$ 是直径, $\therefore ∠ H+∠ BCH=90°, \therefore ∠ PCB=∠ H.$
$\because ∠ BAC=∠ H,\therefore ∠ PCB=∠ BAC.$

2[2026广东深圳质检]如图，AB是$\odot O$的直径，点C为$\odot O$外一点，CA，CD是$\odot O$的切线，A，D为切点，连接BD，AD。若$∠ ACD=48°$，则$∠ DBA$的大小是（）

A.$32°$
B.$48°$
C.$60°$
D.$66°$
（第2题图）
（第3题图）

2. D 【解析】$\because CA,CD$ 是 $\odot O$ 的切线, $\therefore CA ⊥ AB$,
$CA=CD. \because ∠ ACD=48°, \therefore ∠ CAD=∠ CDA=66°. \because CA ⊥ AB,AB$ 是直径, $\therefore ∠ ADB=∠ CAB=90°, \therefore ∠ DBA+∠ DAB=90°, ∠ CAD+∠ DAB=90°,\therefore ∠ DBA=∠ CAD=66°$, 故选 D.

3[2026河北秦皇岛期末]如图,在四边形ABCD中,AB//CD,AD⊥AB,以D为圆心,AD为半径的弧恰好与BC相切,切点为E,若AB=1,BC=3,则阴影部分的面积是（）

A.$4\sqrt{5}-\frac{5}{4}π$
B.$2\sqrt{5}-\frac{3}{4}π$
C.$2\sqrt{5}-\frac{5}{4}π$
D.$3\sqrt{5}-\frac{5}{4}π$

3. C 【解析】如图,连接 DB,DE. $\because AD ⊥ AB$, 以 D 为圆心,AD 为半径的弧恰好与 BC 相切, $\therefore AB$,BC 是该弧所在圆的切线, $\therefore AB=BE=1$,
$∠ ABD=∠ EBD,DE ⊥ BC,\therefore EC=BC-BE=3-1=2. \because AB // CD, \therefore ∠ ABD=∠ BDC, \therefore ∠ EBD=∠ BDC,\therefore DC=BC=3$. 在 $\mathrm{Rt}△ DEC$ 中, $DE=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5},\therefore AD=DE=\sqrt{5},\therefore$ 阴影部分的面积为 $\frac{1}{2}×(1+3)×\sqrt{5}-\frac{1}{4}π×(\sqrt{5})^2=2\sqrt{5}-\frac{5}{4}π$. 故选 C.

4[2026四川德阳期末]如图，EB,EC是$\odot O$的两条切线，B,C是切点，A,D是$\odot O$上两点，连接AB,BC,CD,DA.若$∠ E = 46°$, $∠ DCF = 32°$,则$∠ A$的度数是度.

（第4题图）
（第5题图）

4. 99 【解析】$\because EB,EC$ 是 $\odot O$ 的切线, $\therefore EB=EC$. 又 $\because ∠ E=46°, \therefore ∠ ECB=∠ EBC=67°$,
$\therefore ∠ BCD=180°-(∠ BCE+∠ DCF)=180°-(67°+32°)=81°. \because$ 四边形 $ADCB$ 内接于 $\odot O$,
$\therefore ∠ A+∠ BCD=180°,\therefore ∠ A=180°-81°=99°$,
故答案为 99.

5[2026 四川绵阳期末]如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ C=90°,AC=BC=6$,以点 $C$ 为圆心,2 为半径作 $\odot C$,过 $AB$ 上的动点 $P$ 作 $\odot C$ 的切线 $PD,PE$,过劣弧 $DE$ 上一点 $Q$ 作 $\odot C$ 的另一条切线分别交 $PD,PE$ 于点 $M,N$,则 $△ PMN$ 周长的最小值为.

5. $2\sqrt{14}$ 【解析】$\because PD,PE,MN$ 是 $\odot C$ 的切线,
$\therefore PD=PE,MD=MQ,NQ=NE,\therefore △ PMN$ 的周长为 $PM+MN+PN=PM+MD+PN+NE=PD+PE=2PE$. 连接 $PC,CE$,如图, 则 $∠ CEP=90°$,
$\therefore PE=\sqrt{PC^2-CE^2}$.
$\because \odot C$ 的半径不变, 即 $CE$ 长不变, $\therefore PE$ 随着 $PC$ 长的变化而变化, 即当 $PC$ 长最小时, $PE$ 长最小, 则 $△ PMN$ 的周长最小. $\because$ 当 $PC ⊥ AB$ 时, $PC$ 长最小, 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°,AC=BC=6,\therefore$ 由勾股定理得 $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$, 点 $P$ 是 $AB$ 的中点, 则 $PC=\frac{1}{2}AB=3\sqrt{2}, \therefore PE=\sqrt{PC^2-CE^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2-2^2}=\sqrt{14},\therefore △ PMN$ 周长的最小值为 $2\sqrt{14}$, 故答案为 $2\sqrt{14}$.

思路分析
利用切线长定理,可以将求$△ PMN$ 的周长转化为求$2PE$ 的长,在$\mathrm{Rt}△ PCE$ 中,由勾股定理得 $PE=\sqrt{PC^2-CE^2}$,$CE$ 长是定值,所以当 $PC$ 长最小时,$PE$ 长最小,利用垂线段最短求出$PC$ 长的最小值,即可解决问题.

6[2026山东日照期中]如图,在以点O为圆心的两个同心圆中,AB经过圆心O,且与小圆相交于A,与大圆相交于B,小圆的切线AC与大圆相交于D,CO平分∠ACB.
(1)证明:直线BC是小圆的切线;
(2)证明:AC+AD=BC;
(3)若AB=8 cm,BC=10 cm,求大圆与小圆形成的圆环的面积.

6.(1)【证明】如图,作 $OE ⊥ BC$ 于 $E$. $\because CA$ 是小圆的切线, $\therefore OA ⊥ CA. \because CO$ 平分 $∠ ACB, \therefore OE=OA. \because A$ 在小圆上, $\therefore E$ 也在小圆上, 即 $OE$ 是小圆的半径, $\therefore BC$ 是小圆的切线.
(2)【证明】如图,连接 $OD$. $\because AC,BC$ 是小圆的切线, $\therefore AC=CE$. 在 $\mathrm{Rt}△ AOD$ 与 $\mathrm{Rt}△ EOB$ 中,
$\because \begin{cases} OD=OB, \\ OA=OE, \end{cases} \therefore \mathrm{Rt}△ AOD ≌ \mathrm{Rt}△ EOB \ (\mathrm{HL})$,
$\therefore AD=BE,\therefore BC=CE+BE=AC+AD$.
(3)【解】由(2)可得 $BE=AD=BC-\sqrt{BC^2-AB^2}=10-6=4(\mathrm{cm}),\therefore S_{\mathrm{圆环}}=S_{\mathrm{大圆}}-S_{\mathrm{小圆}}=π(OB^2-OE^2)=π · BE^2=16π \ \mathrm{cm}^2$.