登录
1 若$a$、$b$是方程$x^2 + x - 2025 = 0$的两个实数根，则$a^2 + 2a + b$的值是（
A.2023
B.2024
C.2025
D.2026
B
）。A.2023
B.2024
C.2025
D.2026
答案
1.B
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，利用一元二次方程根的定义，将根a代入原方程，求出a²+a的值；第二步，观察所求代数式a²+2a+b的结构，将其拆分为(a²+a)+(a+b)的形式，转化为已知量和两根之和的组合；第三步，根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和a+b，最后整体代入计算即可得到结果，无需直接求解方程得到a、b的具体值，简化计算。
【解析】
解：
∵a是方程$x^2 + x - 2025 = 0$的实数根，
∴将x=a代入方程得：$a^2 + a - 2025 = 0$，即$a^2 + a = 2025$。
又
∵a、b是方程$x^2 + x - 2025 = 0$的两个实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$a + b = -\frac{1}{1} = -1$。
对所求代数式变形得：
$a^2 + 2a + b = (a^2 + a) + (a + b)$
将$a^2 + a = 2025$，$a + b = -1$代入上式得：
原式$= 2025 + (-1) = 2024$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，解题核心是对所求代数式进行合理拆分，结合方程根的性质和韦达定理整体代入计算，避免了直接求解方程的繁琐，体现了整体代换的数学思想。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：第一步，利用一元二次方程根的定义，将根a代入原方程，求出a²+a的值；第二步，观察所求代数式a²+2a+b的结构，将其拆分为(a²+a)+(a+b)的形式，转化为已知量和两根之和的组合；第三步，根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和a+b，最后整体代入计算即可得到结果，无需直接求解方程得到a、b的具体值，简化计算。
【解析】
解：
∵a是方程$x^2 + x - 2025 = 0$的实数根，
∴将x=a代入方程得：$a^2 + a - 2025 = 0$，即$a^2 + a = 2025$。
又
∵a、b是方程$x^2 + x - 2025 = 0$的两个实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$a + b = -\frac{1}{1} = -1$。
对所求代数式变形得：
$a^2 + 2a + b = (a^2 + a) + (a + b)$
将$a^2 + a = 2025$，$a + b = -1$代入上式得：
原式$= 2025 + (-1) = 2024$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，解题核心是对所求代数式进行合理拆分，结合方程根的性质和韦达定理整体代入计算，避免了直接求解方程的繁琐，体现了整体代换的数学思想。
【难度系数】
0.8
2 已知$x_1$、$x_2$是方程$2x^2+\sqrt{5}x-2=0$的两个实数根，则$x_1^2+x_2^2$的值是（
A.$-\dfrac{3}{4}$
B.$1$
C.$\dfrac{13}{4}$
D.$9$
C
）。A.$-\dfrac{3}{4}$
B.$1$
C.$\dfrac{13}{4}$
D.$9$
答案
2.C
解析
【分析】
本题要求一元二次方程两根的平方和，无需直接求解方程的根，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），结合完全平方公式的变形求解。首先确定方程各项系数，求出两根之和与两根之积，再将待求式$x_1^2+x_2^2$变形为含两根和、两根积的形式，最后代入数值计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2+\sqrt{5}x-2=0$，可知二次项系数$a=2$，一次项系数$b=\sqrt{5}$，常数项$c=-2$。
根据根与系数的关系，方程的两个实数根$x_1$、$x_2$满足：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-2}{2}=-1$。
由完全平方公式变形可得：$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$。
将$x_1+x_2=-\frac{\sqrt{5}}{2}$、$x_1x_2=-1$代入上式：
$x_1^2+x_2^2=(-\frac{\sqrt{5}}{2})^2 - 2×(-1)=\frac{5}{4}+2=\frac{13}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型应用题型，通过代数式变形避免了复杂的求根计算，能有效考查学生对韦达定理的掌握程度和代数式变形的能力。
【难度系数】
0.7
本题要求一元二次方程两根的平方和，无需直接求解方程的根，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），结合完全平方公式的变形求解。首先确定方程各项系数，求出两根之和与两根之积，再将待求式$x_1^2+x_2^2$变形为含两根和、两根积的形式，最后代入数值计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2+\sqrt{5}x-2=0$，可知二次项系数$a=2$，一次项系数$b=\sqrt{5}$，常数项$c=-2$。
根据根与系数的关系，方程的两个实数根$x_1$、$x_2$满足：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-2}{2}=-1$。
由完全平方公式变形可得：$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$。
将$x_1+x_2=-\frac{\sqrt{5}}{2}$、$x_1x_2=-1$代入上式：
$x_1^2+x_2^2=(-\frac{\sqrt{5}}{2})^2 - 2×(-1)=\frac{5}{4}+2=\frac{13}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型应用题型，通过代数式变形避免了复杂的求根计算，能有效考查学生对韦达定理的掌握程度和代数式变形的能力。
【难度系数】
0.7
3 已知a、b是方程$x^2 - 3x - 2 = 0$的两根，则$\frac{a}{a - b} · (a - \frac{b^2}{a})$的值为（
A.3
B.−3
C.2
D.−2
A
）。A.3
B.−3
C.2
D.−2
答案
3.A
解析
【分析】
本题若直接求解一元二次方程的根再代入计算会非常繁琐，因此优先考虑先化简所求代数式，再结合一元二次方程根与系数的关系求值。第一步先通分计算括号内的分式减法，再利用平方差公式对分子因式分解，随后和前面的分式约分即可得到最简结果，最后代入韦达定理的结论即可算出答案。
【解析】
先对代数式进行化简：
$\begin{aligned}\frac{a}{a - b} · (a - \frac{b^2}{a})&=\frac{a}{a - b} · (\frac{a^2}{a} - \frac{b^2}{a})\\&=\frac{a}{a - b} · \frac{a^2 - b^2}{a}\\&=\frac{a}{a - b} · \frac{(a - b)(a + b)}{a}\\&=a + b\end{aligned}$
已知$a$、$b$是方程$x^2 - 3x - 2 = 0$的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$a + b = 3$，因此原式的值为3。
【答案】
A
【知识点】
分式化简运算、平方差公式、一元二次方程根与系数关系
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查代数式先化简再求值的思路，避免直接求根的繁琐计算，是根与系数关系应用的典型考法。
【难度系数】
0.7
本题若直接求解一元二次方程的根再代入计算会非常繁琐，因此优先考虑先化简所求代数式，再结合一元二次方程根与系数的关系求值。第一步先通分计算括号内的分式减法，再利用平方差公式对分子因式分解，随后和前面的分式约分即可得到最简结果，最后代入韦达定理的结论即可算出答案。
【解析】
先对代数式进行化简：
$\begin{aligned}\frac{a}{a - b} · (a - \frac{b^2}{a})&=\frac{a}{a - b} · (\frac{a^2}{a} - \frac{b^2}{a})\\&=\frac{a}{a - b} · \frac{a^2 - b^2}{a}\\&=\frac{a}{a - b} · \frac{(a - b)(a + b)}{a}\\&=a + b\end{aligned}$
已知$a$、$b$是方程$x^2 - 3x - 2 = 0$的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$a + b = 3$，因此原式的值为3。
【答案】
A
【知识点】
分式化简运算、平方差公式、一元二次方程根与系数关系
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查代数式先化简再求值的思路，避免直接求根的繁琐计算，是根与系数关系应用的典型考法。
【难度系数】
0.7
4 已知关于x的一元二次方程$x^2 + (2k + 3)x + k^2 = 0$有两个不相等的实数根$x_1$、$x_2$。若$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = -1$，则k的值为
3
。答案
4.3
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步，由一元二次方程有两个不相等的实数根，可推出根的判别式$\Delta＞0$，先求出$k$的取值范围；第二步，将$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分变形为$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$，再根据根与系数的关系（韦达定理），用含$k$的式子表示$x_1+x_2$和$x_1x_2$，代入$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-1$得到关于$k$的方程；第三步，解方程得到$k$的候选值，再结合第一步的$k$的取值范围舍去不符合的解，得到最终结果。
【解析】
解：
∵ 一元二次方程$x^2 + (2k + 3)x + k^2 = 0$有两个不相等的实数根
∴ 判别式$\Delta=(2k+3)^2 - 4×1× k^2＞0$
化简得：$4k^2+12k+9-4k^2＞0$，即$12k+9＞0$
解得：$k＞-\frac{3}{4}$
根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-(2k+3)$，$x_1x_2=k^2$
对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分得：$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
代入$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-1$得：
$\frac{-(2k+3)}{k^2}=-1$
两边同乘$k^2$（$k≠0$，否则分式无意义）得：
$-(2k+3)=-k^2$
整理为：$k^2-2k-3=0$
因式分解得：$(k-3)(k+1)=0$
解得：$k_1=3$，$k_2=-1$
结合$k＞-\frac{3}{4}$的限制，$k=-1$不符合要求，舍去，因此$k=3$。
【答案】
3
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.根与系数的关系（韦达定理）
3.一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程的综合应用题，易错点是容易忽略判别式对参数取值的限制，直接解方程得到两个解而忘记验证，解题时要先确定参数的取值范围，最后对解进行取舍，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
解题思路分三步：第一步，由一元二次方程有两个不相等的实数根，可推出根的判别式$\Delta＞0$，先求出$k$的取值范围；第二步，将$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分变形为$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$，再根据根与系数的关系（韦达定理），用含$k$的式子表示$x_1+x_2$和$x_1x_2$，代入$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-1$得到关于$k$的方程；第三步，解方程得到$k$的候选值，再结合第一步的$k$的取值范围舍去不符合的解，得到最终结果。
【解析】
解：
∵ 一元二次方程$x^2 + (2k + 3)x + k^2 = 0$有两个不相等的实数根
∴ 判别式$\Delta=(2k+3)^2 - 4×1× k^2＞0$
化简得：$4k^2+12k+9-4k^2＞0$，即$12k+9＞0$
解得：$k＞-\frac{3}{4}$
根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-(2k+3)$，$x_1x_2=k^2$
对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分得：$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
代入$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-1$得：
$\frac{-(2k+3)}{k^2}=-1$
两边同乘$k^2$（$k≠0$，否则分式无意义）得：
$-(2k+3)=-k^2$
整理为：$k^2-2k-3=0$
因式分解得：$(k-3)(k+1)=0$
解得：$k_1=3$，$k_2=-1$
结合$k＞-\frac{3}{4}$的限制，$k=-1$不符合要求，舍去，因此$k=3$。
【答案】
3
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.根与系数的关系（韦达定理）
3.一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程的综合应用题，易错点是容易忽略判别式对参数取值的限制，直接解方程得到两个解而忘记验证，解题时要先确定参数的取值范围，最后对解进行取舍，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
5 若$ x_1 $、$ x_2 $是一元二次方程$ x^2 - 3x + 1 = 0 $的两个实数根，则$ x_1^2 + x_2^2 - 2 $的值为
5
。答案
5.5
6 若α、β是关于x的方程$x^2 - x + k - 1 = 0$的两个实数根，且$α^2 - 2α - β = 4$，则k的值为
-4
。答案
6.-4
解析
【分析】
解题时首先从已知条件出发：①α是方程的实数根，代入方程可将α的二次项转化为一次式，实现降次；②根据一元二次方程根与系数的关系，可直接得到两根之和α+β的值。接下来将待求等式中的$α^2 - 2α - β$拆分为$(α^2 - α) - (α+β)$的形式，再把前面得到的两个结论整体代入，即可建立关于k的一元一次方程，求解后再用判别式验证根的存在性，排除增根即可得到正确的k值。
【解析】
解：
∵α、β是方程$x^2 - x + k - 1 = 0$的两个实数根，
∴根据方程根的定义，将α代入方程得：
$α^2 - α + k - 1 = 0$，即$α^2 - α = 1 - k$ ①，
根据根与系数的关系，得$α + β = 1$ ②，
已知$α^2 - 2α - β = 4$，将左边变形得：
$α^2 - α - (α + β) = 4$，
把①②代入上式得：
$(1 - k) - 1 = 4$，
化简得：$-k = 4$，解得$k = -4$。
检验判别式：$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(k - 1) = 1 - 4(k - 1)$，
当$k=-4$时，$\Delta = 1 - 4×(-5) = 21 ＞ 0$，符合方程有两个实数根的条件。
【答案】
-4
【知识点】
一元二次方程根的定义、根与系数的关系、代数式变形求值
【点评】
本题属于一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，解题核心是通过根的定义完成降次，再结合韦达定理整体代入简化计算，最后通过判别式验证结果的合理性，避免忽略实根条件出现增根。
【难度系数】
0.6
解题时首先从已知条件出发：①α是方程的实数根，代入方程可将α的二次项转化为一次式，实现降次；②根据一元二次方程根与系数的关系，可直接得到两根之和α+β的值。接下来将待求等式中的$α^2 - 2α - β$拆分为$(α^2 - α) - (α+β)$的形式，再把前面得到的两个结论整体代入，即可建立关于k的一元一次方程，求解后再用判别式验证根的存在性，排除增根即可得到正确的k值。
【解析】
解：
∵α、β是方程$x^2 - x + k - 1 = 0$的两个实数根，
∴根据方程根的定义，将α代入方程得：
$α^2 - α + k - 1 = 0$，即$α^2 - α = 1 - k$ ①，
根据根与系数的关系，得$α + β = 1$ ②，
已知$α^2 - 2α - β = 4$，将左边变形得：
$α^2 - α - (α + β) = 4$，
把①②代入上式得：
$(1 - k) - 1 = 4$，
化简得：$-k = 4$，解得$k = -4$。
检验判别式：$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(k - 1) = 1 - 4(k - 1)$，
当$k=-4$时，$\Delta = 1 - 4×(-5) = 21 ＞ 0$，符合方程有两个实数根的条件。
【答案】
-4
【知识点】
一元二次方程根的定义、根与系数的关系、代数式变形求值
【点评】
本题属于一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，解题核心是通过根的定义完成降次，再结合韦达定理整体代入简化计算，最后通过判别式验证结果的合理性，避免忽略实根条件出现增根。
【难度系数】
0.6
7 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -101x +k=0$的一个根是另一个根的3倍少7，则$k=$
1998
。答案
7.1998
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先设出方程的两个根，根据题目给出的两根数量关系，结合两根之和的公式先求出两个根的具体数值，再通过两根之积的公式计算k的值即可。解题步骤如下：第一步设两根分别为未知数，根据题意写出两根的等量关系；第二步代入两根之和的韦达定理公式，解一元一次方程得到其中一个根；第三步求出另一个根，再用两根之积求出k。
【解析】
设方程$x^2 -101x +k=0$的两个根分别为$m$、$n$，不妨令$n=3m-7$。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
两根之和：$m+n=101$，
两根之积：$mn=k$。
将$n=3m-7$代入$m+n=101$，得：
$m + 3m -7 = 101$
合并同类项得：$4m=108$
解得：$m=27$
将$m=27$代入$n=3m-7$，得$n=3×27 -7=74$
所以$k=mn=27×74=1998$
【答案】
1998
【知识点】
一元二次方程根与系数关系；一元一次方程的求解
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握韦达定理的内容，结合题干给出的两根关系列方程求解即可，计算量较小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先设出方程的两个根，根据题目给出的两根数量关系，结合两根之和的公式先求出两个根的具体数值，再通过两根之积的公式计算k的值即可。解题步骤如下：第一步设两根分别为未知数，根据题意写出两根的等量关系；第二步代入两根之和的韦达定理公式，解一元一次方程得到其中一个根；第三步求出另一个根，再用两根之积求出k。
【解析】
设方程$x^2 -101x +k=0$的两个根分别为$m$、$n$，不妨令$n=3m-7$。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
两根之和：$m+n=101$，
两根之积：$mn=k$。
将$n=3m-7$代入$m+n=101$，得：
$m + 3m -7 = 101$
合并同类项得：$4m=108$
解得：$m=27$
将$m=27$代入$n=3m-7$，得$n=3×27 -7=74$
所以$k=mn=27×74=1998$
【答案】
1998
【知识点】
一元二次方程根与系数关系；一元一次方程的求解
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握韦达定理的内容，结合题干给出的两根关系列方程求解即可，计算量较小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
⑧ 已知关于 x 的一元二次方程 $x^2 - (a - 1)x + a = 0$ 的两根比为 2:3，则方程的两根是
$x_1=2, x_2=3$ 或 $x_1=-\dfrac{1}{3}, x_2=-\dfrac{1}{2}$
。答案
8. $x_1=2, x_2=3$ 或 $x_1=-\dfrac{1}{3}, x_2=-\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
已知一元二次方程两根的比为2:3，我们可以采用参数法设两根分别为2k和3k（k≠0，若k=0两根均为0，不符合2:3的比例关系），再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），分别列出两根之和、两根之积与方程系数的关系式，联立两个关系式消去参数a，得到关于k的一元二次方程，求解k后代回即可得到原方程的两根。
【解析】
设方程的两根分别为$2k$、$3k$（$k≠0$）。
对于一元二次方程$x^2 - (a - 1)x + a = 0$，根据根与系数的关系可得：
1. 两根之和：$2k + 3k = a - 1$，化简得$5k = a - 1$，即$a = 5k + 1$；
2. 两根之积：$2k · 3k = a$，化简得$6k^2 = a$。
将$a = 5k + 1$代入$6k^2 = a$，可得：
$6k^2 = 5k + 1$
整理为标准一元二次方程形式：$6k^2 - 5k - 1 = 0$
因式分解得：$(6k + 1)(k - 1) = 0$
解得：$k_1 = 1$，$k_2 = -\frac{1}{6}$。
分两种情况计算两根：
① 当$k = 1$时，两根为$2×1=2$，$3×1=3$；
② 当$k = -\frac{1}{6}$时，两根为$2×(-\frac{1}{6})=-\frac{1}{3}$，$3×(-\frac{1}{6})=-\frac{1}{2}$。
经检验，两种情况下原方程的判别式均大于0，两根均有效。
【答案】
$x_1=2, x_2=3$ 或 $x_1=-\dfrac{1}{3}, x_2=-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数关系
2. 参数法解题
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用类题目，通过设比例参数简化两根关系，联立方程求解即可，解题时需注意参数的多解性，避免漏解。
【难度系数】
0.7
已知一元二次方程两根的比为2:3，我们可以采用参数法设两根分别为2k和3k（k≠0，若k=0两根均为0，不符合2:3的比例关系），再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），分别列出两根之和、两根之积与方程系数的关系式，联立两个关系式消去参数a，得到关于k的一元二次方程，求解k后代回即可得到原方程的两根。
【解析】
设方程的两根分别为$2k$、$3k$（$k≠0$）。
对于一元二次方程$x^2 - (a - 1)x + a = 0$，根据根与系数的关系可得：
1. 两根之和：$2k + 3k = a - 1$，化简得$5k = a - 1$，即$a = 5k + 1$；
2. 两根之积：$2k · 3k = a$，化简得$6k^2 = a$。
将$a = 5k + 1$代入$6k^2 = a$，可得：
$6k^2 = 5k + 1$
整理为标准一元二次方程形式：$6k^2 - 5k - 1 = 0$
因式分解得：$(6k + 1)(k - 1) = 0$
解得：$k_1 = 1$，$k_2 = -\frac{1}{6}$。
分两种情况计算两根：
① 当$k = 1$时，两根为$2×1=2$，$3×1=3$；
② 当$k = -\frac{1}{6}$时，两根为$2×(-\frac{1}{6})=-\frac{1}{3}$，$3×(-\frac{1}{6})=-\frac{1}{2}$。
经检验，两种情况下原方程的判别式均大于0，两根均有效。
【答案】
$x_1=2, x_2=3$ 或 $x_1=-\dfrac{1}{3}, x_2=-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数关系
2. 参数法解题
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用类题目，通过设比例参数简化两根关系，联立方程求解即可，解题时需注意参数的多解性，避免漏解。
【难度系数】
0.7
9 已知关于$x$的一元二次方程$2x^2 - 2tx + t = 0$的两个根为$x_1$、$x_2$，且满足$(x_1 - 1)(x_2 - 1) = 2$，则$\dfrac{t^4 - 1}{t - 1}$的值是
-5
。答案
9.-5
解析
【分析】
解题思路如下：1. 利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），写出两根之和与两根之积关于参数t的表达式；2. 将给出的等式$(x_1-1)(x_2-1)=2$展开，代入两根和、两根积的表达式，求解得到t的初步值；3. 结合一元二次方程有实根的判别式要求，验证t值是否符合题意；4. 对所求分式利用平方差公式因式分解化简后，代入符合条件的t值计算结果。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 - 2tx + t = 0$，其中$a=2$，$b=-2t$，$c=t$：
1. 根据韦达定理可得：
$x_1+x_2 = \frac{2t}{2}=t$，$x_1x_2=\frac{t}{2}$。
2. 展开已知等式$(x_1-1)(x_2-1)=2$：
左边$=x_1x_2 - (x_1+x_2) +1$，代入韦达结论得：
$\frac{t}{2} - t + 1 = 2$
化简得：$-\frac{t}{2}=1$，解得$t=-2$。
3. 验证判别式：$\Delta = b^2-4ac=(-2t)^2 -4×2× t=4t^2-8t$，代入$t=-2$得$\Delta=4×(-2)^2 -8×(-2)=32＞0$，符合方程有两个实根的要求。
4. 化简所求代数式：
$\frac{t^4-1}{t-1}=\frac{(t^2-1)(t^2+1)}{t-1}=\frac{(t-1)(t+1)(t^2+1)}{t-1}=(t+1)(t^2+1)$（$t≠1$，此处$t=-2$满足要求）
代入$t=-2$得：原式$=(-2+1)×[(-2)^2+1]=(-1)×5=-5$。
【答案】
-5
【知识点】
根与系数关系，因式分解，一元二次方程判别式
【点评】
本题属于一元二次方程根与系数关系的常规应用题型，解题时要注意养成验证方程根的存在性的习惯，避免求出的参数不符合方程有实根的前提，同时熟练掌握平方差公式的因式分解能简化计算。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），写出两根之和与两根之积关于参数t的表达式；2. 将给出的等式$(x_1-1)(x_2-1)=2$展开，代入两根和、两根积的表达式，求解得到t的初步值；3. 结合一元二次方程有实根的判别式要求，验证t值是否符合题意；4. 对所求分式利用平方差公式因式分解化简后，代入符合条件的t值计算结果。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 - 2tx + t = 0$，其中$a=2$，$b=-2t$，$c=t$：
1. 根据韦达定理可得：
$x_1+x_2 = \frac{2t}{2}=t$，$x_1x_2=\frac{t}{2}$。
2. 展开已知等式$(x_1-1)(x_2-1)=2$：
左边$=x_1x_2 - (x_1+x_2) +1$，代入韦达结论得：
$\frac{t}{2} - t + 1 = 2$
化简得：$-\frac{t}{2}=1$，解得$t=-2$。
3. 验证判别式：$\Delta = b^2-4ac=(-2t)^2 -4×2× t=4t^2-8t$，代入$t=-2$得$\Delta=4×(-2)^2 -8×(-2)=32＞0$，符合方程有两个实根的要求。
4. 化简所求代数式：
$\frac{t^4-1}{t-1}=\frac{(t^2-1)(t^2+1)}{t-1}=\frac{(t-1)(t+1)(t^2+1)}{t-1}=(t+1)(t^2+1)$（$t≠1$，此处$t=-2$满足要求）
代入$t=-2$得：原式$=(-2+1)×[(-2)^2+1]=(-1)×5=-5$。
【答案】
-5
【知识点】
根与系数关系，因式分解，一元二次方程判别式
【点评】
本题属于一元二次方程根与系数关系的常规应用题型，解题时要注意养成验证方程根的存在性的习惯，避免求出的参数不符合方程有实根的前提，同时熟练掌握平方差公式的因式分解能简化计算。
【难度系数】
0.7
⑩ 已知$x_1$、$x_2$是关于$x$的方程$x^2+(3k+1)x+2k^2+1=0$的两个不相等的实数根，且满足$(x_1 - 1)(x_2 - 1)=8k^2$，则$k$的值为
1
。答案
10.1 [提示:因为$x_1$、$x_2$是关于$x$的方程$x^2+(3k+1)x+2k^2+1=0$的两个实数根,所以$x_1+x_2=-(3k+1), x_1x_2=2k^2+1$。因为$(x_1-1)(x_2-1)=8k^2$,即$x_1x_2-(x_1+x_2)+1=8k^2$,所以$2k^2+1+3k+1+1=8k^2$,解得$k_1=-\dfrac{1}{2}, k_2=1$。因为关于$x$的方程$x^2+(3k+1)x+2k^2+1=0$有两个不相等的实数根,且$\Delta=(3k+1)^2-4×1×(2k^2+1)$。当$k=1$时,$\Delta＞0$;当$k=-\dfrac{1}{2}$时,$\Delta＜0$,所以$k=1$。]
解析
【分析】
解题时首先结合题目给出的一元二次方程及两个不相等实根的条件，优先利用根与系数的关系（韦达定理）写出两根之和、两根之积的表达式；再将已知的$(x_1 - 1)(x_2 - 1)=8k^2$展开整理，代入两根和、两根积的表达式，得到关于k的一元二次方程并求解；最后结合“两个不相等实数根”的要求，用根的判别式$\Delta＞0$验证求出的k值，舍去不符合条件的增根，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵$x_1$、$x_2$是方程$x^2+(3k+1)x+2k^2+1=0$的两个实数根
∴根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-(3k+1)$，$x_1x_2=2k^2+1$
将$(x_1 - 1)(x_2 - 1)=8k^2$展开得：
$x_1x_2 - (x_1+x_2) + 1 = 8k^2$
把$x_1+x_2$和$x_1x_2$代入上式：
$2k^2+1 + 3k+1 + 1 = 8k^2$
整理化简得：$2k^2 - k -1 = 0$
因式分解得：$(2k+1)(k-1)=0$
解得：$k_1=-\dfrac{1}{2}$，$k_2=1$
∵方程有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta＞0$
$\Delta=(3k+1)^2 - 4×1×(2k^2+1)=k^2+6k-3$
分别代入验证：
当$k=1$时，$\Delta=1+6-3=4＞0$，符合条件；
当$k=-\dfrac{1}{2}$时，$\Delta=\dfrac{1}{4}-3-3=-\dfrac{23}{4}＜0$，不符合条件，舍去。
【答案】
1
【知识点】
1. 根与系数的关系
2. 根的判别式
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，易错点为求解出k的取值后，忽略题目中“两个不相等的实数根”的限制条件，未通过判别式验证舍去增根，导致出现多解错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合题目给出的一元二次方程及两个不相等实根的条件，优先利用根与系数的关系（韦达定理）写出两根之和、两根之积的表达式；再将已知的$(x_1 - 1)(x_2 - 1)=8k^2$展开整理，代入两根和、两根积的表达式，得到关于k的一元二次方程并求解；最后结合“两个不相等实数根”的要求，用根的判别式$\Delta＞0$验证求出的k值，舍去不符合条件的增根，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵$x_1$、$x_2$是方程$x^2+(3k+1)x+2k^2+1=0$的两个实数根
∴根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-(3k+1)$，$x_1x_2=2k^2+1$
将$(x_1 - 1)(x_2 - 1)=8k^2$展开得：
$x_1x_2 - (x_1+x_2) + 1 = 8k^2$
把$x_1+x_2$和$x_1x_2$代入上式：
$2k^2+1 + 3k+1 + 1 = 8k^2$
整理化简得：$2k^2 - k -1 = 0$
因式分解得：$(2k+1)(k-1)=0$
解得：$k_1=-\dfrac{1}{2}$，$k_2=1$
∵方程有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta＞0$
$\Delta=(3k+1)^2 - 4×1×(2k^2+1)=k^2+6k-3$
分别代入验证：
当$k=1$时，$\Delta=1+6-3=4＞0$，符合条件；
当$k=-\dfrac{1}{2}$时，$\Delta=\dfrac{1}{4}-3-3=-\dfrac{23}{4}＜0$，不符合条件，舍去。
【答案】
1
【知识点】
1. 根与系数的关系
2. 根的判别式
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，易错点为求解出k的取值后，忽略题目中“两个不相等的实数根”的限制条件，未通过判别式验证舍去增根，导致出现多解错误。
【难度系数】
0.6
11 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + (2m + 1)x + 2m = 0$。
（1）求证：无论实数$m$取何值，此方程一定有两个实数根；
（2）若此方程的两个实数根分别为$x_1$、$x_2$，且$x_1^2 + x_2^2 = 13$，求$m$的值。
（1）求证：无论实数$m$取何值，此方程一定有两个实数根；
（2）若此方程的两个实数根分别为$x_1$、$x_2$，且$x_1^2 + x_2^2 = 13$，求$m$的值。
答案
11.（1）证明:因为$\Delta=(2m+1)^2-4×1×2m=(2m-1)^2≥0$,所以不论实数$m$取何值,此方程一定有两个实数根。
（2）因为该方程的两个实数根分别为$x_1$、$x_2$,所以$x_1+x_2=-2m-1, x_1x_2=2m$。因为$x_1^2+x_2^2=13$,所以$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=13$,即$(-2m-1)^2-2×2m=13$,整理得$m^2=3$,解得$m=-\sqrt{3}$或$m=\sqrt{3}$。所以$m$的值为$-\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$。
（2）因为该方程的两个实数根分别为$x_1$、$x_2$,所以$x_1+x_2=-2m-1, x_1x_2=2m$。因为$x_1^2+x_2^2=13$,所以$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=13$,即$(-2m-1)^2-2×2m=13$,整理得$m^2=3$,解得$m=-\sqrt{3}$或$m=\sqrt{3}$。所以$m$的值为$-\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$。
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程总有两个实数根，只需证明判别式$\Delta≥0$即可。先根据一元二次方程的一般式写出$\Delta$的表达式，再化简整理，利用完全平方的非负性即可证明结论；（2）已知两根平方和，可利用完全平方公式将其变形为两根之和与两根之积的形式，再根据一元二次方程根与系数的关系，用含$m$的代数式表示出两根之和与两根之积，代入变形后的等式得到关于$m$的方程，解方程即可求出$m$的值。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2 + (2m + 1)x + 2m = 0$，其判别式
$\Delta=(2m+1)^2-4×1×2m$
$=4m^2+4m+1-8m$
$=4m^2-4m+1$
$=(2m-1)^2$
∵ 任何实数的平方都是非负数，即$(2m-1)^2≥0$
∴ 无论实数$m$取何值，此方程一定有两个实数根。
（2）解：根据一元二次方程根与系数的关系，方程的两根$x_1$、$x_2$满足：
$x_1+x_2=-(2m+1)=-2m-1$，$x_1x_2=2m$
已知$x_1^2+x_2^2=13$，由完全平方公式变形可得：
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
将上述两根和、两根积的表达式代入得：
$(-2m-1)^2-2×2m=13$
展开整理得$4m^2=12$，即$m^2=3$
解得$m=\sqrt{3}$或$m=-\sqrt{3}$，两个取值均满足$\Delta≥0$，符合题意。
【答案】
（1）证明成立；（2）$m$的值为$\sqrt{3}$或$-\sqrt{3}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合题，核心考查了用根的判别式判定方程根的情况的方法，以及根与系数关系结合代数式变形求参数的应用，是高频基础考点，需要熟练掌握判别式计算、韦达定理内容以及常见代数式变形技巧。
【难度系数】
0.75
（1）要证明一元二次方程总有两个实数根，只需证明判别式$\Delta≥0$即可。先根据一元二次方程的一般式写出$\Delta$的表达式，再化简整理，利用完全平方的非负性即可证明结论；（2）已知两根平方和，可利用完全平方公式将其变形为两根之和与两根之积的形式，再根据一元二次方程根与系数的关系，用含$m$的代数式表示出两根之和与两根之积，代入变形后的等式得到关于$m$的方程，解方程即可求出$m$的值。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2 + (2m + 1)x + 2m = 0$，其判别式
$\Delta=(2m+1)^2-4×1×2m$
$=4m^2+4m+1-8m$
$=4m^2-4m+1$
$=(2m-1)^2$
∵ 任何实数的平方都是非负数，即$(2m-1)^2≥0$
∴ 无论实数$m$取何值，此方程一定有两个实数根。
（2）解：根据一元二次方程根与系数的关系，方程的两根$x_1$、$x_2$满足：
$x_1+x_2=-(2m+1)=-2m-1$，$x_1x_2=2m$
已知$x_1^2+x_2^2=13$，由完全平方公式变形可得：
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
将上述两根和、两根积的表达式代入得：
$(-2m-1)^2-2×2m=13$
展开整理得$4m^2=12$，即$m^2=3$
解得$m=\sqrt{3}$或$m=-\sqrt{3}$，两个取值均满足$\Delta≥0$，符合题意。
【答案】
（1）证明成立；（2）$m$的值为$\sqrt{3}$或$-\sqrt{3}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合题，核心考查了用根的判别式判定方程根的情况的方法，以及根与系数关系结合代数式变形求参数的应用，是高频基础考点，需要熟练掌握判别式计算、韦达定理内容以及常见代数式变形技巧。
【难度系数】
0.75
