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12 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + (2k + 1)x + k^2 + 1 = 0$有两个不相等的实数根$x_1$、$x_2$。
(1) 求$k$的取值范围；
(2) 若$x_1x_2 = 5$，求$k$的值。
(1) 求$k$的取值范围；
(2) 若$x_1x_2 = 5$，求$k$的值。
答案
12.(1) 由$\Delta=(2k+1)^2-4(k^2+1)＞0$,可得$k＞\dfrac{3}{4}$。
(2) 根据根与系数的关系,得$x_1x_2=k^2+1$。因为$x_1x_2=5$,所以$k^2+1=5$,解得$k=\pm2$。因为$k＞\dfrac{3}{4}$,所以$k=2$。
(2) 根据根与系数的关系,得$x_1x_2=k^2+1$。因为$x_1x_2=5$,所以$k^2+1=5$,解得$k=\pm2$。因为$k＞\dfrac{3}{4}$,所以$k=2$。
解析
【分析】
(1) 一元二次方程有两个不相等的实数根的核心条件是判别式$\Delta＞0$，首先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，代入$\Delta=b^2-4ac$列出关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围；(2) 已知两根的乘积，可直接用根与系数的关系，对一元二次方程$ax^2+bx+c=0$来说，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入系数得到关于$k$的方程，求解后结合第(1)问得出的$k$的取值范围，舍去不符合要求的解即可。
【解析】
(1) 已知方程$x^2 + (2k + 1)x + k^2 + 1 = 0$有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta＞0$。
其中$a=1$，$b=2k+1$，$c=k^2+1$，代入判别式得：
$\begin{aligned}\Delta&=(2k+1)^2 - 4×1×(k^2+1)\\&=4k^2+4k+1 - 4k^2 -4\\&=4k - 3\end{aligned}$
令$\Delta＞0$，即$4k-3＞0$，解得$k＞\dfrac{3}{4}$。
(2) 根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积$x_1x_2=\dfrac{c}{a}=k^2+1$。
已知$x_1x_2=5$，因此列方程：
$k^2+1=5$
解得$k^2=4$，即$k=2$或$k=-2$。
结合(1)中$k＞\dfrac{3}{4}$的取值范围，$k=-2$不符合要求，舍去，因此$k=2$。
【答案】
(1) $k＞\dfrac{3}{4}$；(2) $k=2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 根与系数的关系 3. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于一元二次方程的常规基础题，解题的易错点是第二问求解出$k$的两个取值后，容易忽略第一问得出的参数范围，未舍去不符合条件的解，解题时要养成求出参数后检验是否符合根的前提条件的习惯。
【难度系数】
0.7
(1) 一元二次方程有两个不相等的实数根的核心条件是判别式$\Delta＞0$，首先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，代入$\Delta=b^2-4ac$列出关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围；(2) 已知两根的乘积，可直接用根与系数的关系，对一元二次方程$ax^2+bx+c=0$来说，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入系数得到关于$k$的方程，求解后结合第(1)问得出的$k$的取值范围，舍去不符合要求的解即可。
【解析】
(1) 已知方程$x^2 + (2k + 1)x + k^2 + 1 = 0$有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta＞0$。
其中$a=1$，$b=2k+1$，$c=k^2+1$，代入判别式得：
$\begin{aligned}\Delta&=(2k+1)^2 - 4×1×(k^2+1)\\&=4k^2+4k+1 - 4k^2 -4\\&=4k - 3\end{aligned}$
令$\Delta＞0$，即$4k-3＞0$，解得$k＞\dfrac{3}{4}$。
(2) 根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积$x_1x_2=\dfrac{c}{a}=k^2+1$。
已知$x_1x_2=5$，因此列方程：
$k^2+1=5$
解得$k^2=4$，即$k=2$或$k=-2$。
结合(1)中$k＞\dfrac{3}{4}$的取值范围，$k=-2$不符合要求，舍去，因此$k=2$。
【答案】
(1) $k＞\dfrac{3}{4}$；(2) $k=2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 根与系数的关系 3. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于一元二次方程的常规基础题，解题的易错点是第二问求解出$k$的两个取值后，容易忽略第一问得出的参数范围，未舍去不符合条件的解，解题时要养成求出参数后检验是否符合根的前提条件的习惯。
【难度系数】
0.7
13 已知关于 x 的一元二次方程$x^2 -4x -m^2=0$的两实根$x_1$、$x_2$满足$x_1 +2x_2=9$，求 m的值。
答案
13.$\Delta=16+4m^2＞0$,所以$m$可取任何实数。因为$x_1+x_2=4$,$x_1+2x_2=9$,所以$x_1=-1$,$x_2=5$。又因为$x_1x_2=-m^2$,所以$m^2=5$,解得$m=\pm\sqrt{5}$。
解析
【分析】
本题可结合一元二次方程根与系数的关系求解，解题思路如下：①先计算方程的判别式，判断方程根的情况，确认存在两个实根；②根据韦达定理得到两根之和的表达式，与题干给出的$x_1+2x_2=9$联立，解出两个实根的具体值；③再利用韦达定理中两根之积的关系，代入根的值计算得到$m^2$，进而求出$m$的取值。
【解析】
解：首先计算方程的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×1×(-m^2) = 16 + 4m^2$
$\because m^2≥0$，$\therefore 16+4m^2＞0$，即方程总有两个不相等的实数根。
根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 4$ ①
已知$x_1 + 2x_2 = 9$ ②
用②式减去①式，得：
$(x_1 + 2x_2) - (x_1 + x_2) = 9 - 4$
解得$x_2=5$
将$x_2=5$代入①式，得$x_1 = 4 - 5 = -1$
再根据根与系数的关系，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -m^2$
代入$x_1=-1$、$x_2=5$，得：
$(-1)×5 = -m^2$
即$-5 = -m^2$，$\therefore m^2=5$
解得$m=\pm\sqrt{5}$
【答案】
$m=\pm\sqrt{5}$
【知识点】
1. 根的判别式 2. 根与系数的关系 3. 平方根运算
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题，解题核心是熟练运用韦达定理得到两根和、两根积的表达式，结合已知条件求出方程的根，进而求解参数，计算过程简单，思路清晰。
【难度系数】
0.7
本题可结合一元二次方程根与系数的关系求解，解题思路如下：①先计算方程的判别式，判断方程根的情况，确认存在两个实根；②根据韦达定理得到两根之和的表达式，与题干给出的$x_1+2x_2=9$联立，解出两个实根的具体值；③再利用韦达定理中两根之积的关系，代入根的值计算得到$m^2$，进而求出$m$的取值。
【解析】
解：首先计算方程的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×1×(-m^2) = 16 + 4m^2$
$\because m^2≥0$，$\therefore 16+4m^2＞0$，即方程总有两个不相等的实数根。
根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 4$ ①
已知$x_1 + 2x_2 = 9$ ②
用②式减去①式，得：
$(x_1 + 2x_2) - (x_1 + x_2) = 9 - 4$
解得$x_2=5$
将$x_2=5$代入①式，得$x_1 = 4 - 5 = -1$
再根据根与系数的关系，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -m^2$
代入$x_1=-1$、$x_2=5$，得：
$(-1)×5 = -m^2$
即$-5 = -m^2$，$\therefore m^2=5$
解得$m=\pm\sqrt{5}$
【答案】
$m=\pm\sqrt{5}$
【知识点】
1. 根的判别式 2. 根与系数的关系 3. 平方根运算
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题，解题核心是熟练运用韦达定理得到两根和、两根积的表达式，结合已知条件求出方程的根，进而求解参数，计算过程简单，思路清晰。
【难度系数】
0.7
14 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 5mx + 3m^2 = 0 $。
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程两个实数根的差的绝对值为 2，求 $ m $ 的值。
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程两个实数根的差的绝对值为 2，求 $ m $ 的值。
答案
14.(1) 证明: $\Delta=(-5m)^2-4×3m^2=25m^2-12m^2=13m^2$,因为$m^2≥0$,所以$\Delta≥0$,所以无论$m$为何值,该方程总有两个实数根。
(2) 设$x_1$、$x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2-5mx+3m^2=0$的两个实数根,所以$x_1+x_2=-\dfrac{-5m}{1}=5m$,$x_1· x_2=\dfrac{3m^2}{1}=3m^2$。因为$|x_1-x_2|=2$,所以$(x_1-x_2)^2=4$,所以$x_1^2+x_2^2-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=4$,即$(5m)^2-4×3m^2=4$,所以$m^2=\dfrac{4}{13}$,解得$m=\pm\dfrac{2\sqrt{13}}{13}$。所以$m$的值为$\dfrac{2\sqrt{13}}{13}$或$-\dfrac{2\sqrt{13}}{13}$。
(2) 设$x_1$、$x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2-5mx+3m^2=0$的两个实数根,所以$x_1+x_2=-\dfrac{-5m}{1}=5m$,$x_1· x_2=\dfrac{3m^2}{1}=3m^2$。因为$|x_1-x_2|=2$,所以$(x_1-x_2)^2=4$,所以$x_1^2+x_2^2-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=4$,即$(5m)^2-4×3m^2=4$,所以$m^2=\dfrac{4}{13}$,解得$m=\pm\dfrac{2\sqrt{13}}{13}$。所以$m$的值为$\dfrac{2\sqrt{13}}{13}$或$-\dfrac{2\sqrt{13}}{13}$。
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程总有两个实数根，核心思路是计算根的判别式$\Delta$，只要证明$\Delta≥0$即可，因为对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，$\Delta≥0$等价于方程有两个实数根。只需代入方程系数计算$\Delta$，再利用平方的非负性判断$\Delta$的取值范围即可。
（2）已知两根差的绝对值为2，若直接解方程求根计算差会很繁琐，可利用一元二次方程根与系数的关系，先得到两根之和、两根之积的表达式，再将$|x_1-x_2|=2$两边平方，通过完全平方公式变形$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，代入两根和与积的表达式，即可得到关于$m$的方程，求解得到$m$的值。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2 - 5mx + 3m^2 = 0$，其中$a=1$，$b=-5m$，$c=3m^2$，
根的判别式$\Delta = b^2-4ac = (-5m)^2 - 4×1×3m^2 = 25m^2 - 12m^2 = 13m^2$，
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$m^2≥0$，
∴ $\Delta=13m^2≥0$，
∴ 无论$m$取何值，该方程总有两个实数根。
（2）解：设方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，
根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=5m$，$x_1· x_2=\frac{c}{a}=3m^2$，
∵ $|x_1-x_2|=2$，
将等式两边同时平方得：$(x_1-x_2)^2=4$，
由完全平方公式变形可得：$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=4$，
将$x_1+x_2=5m$、$x_1x_2=3m^2$代入上式得：
$(5m)^2 - 4×3m^2=4$，
整理得：$13m^2=4$，即$m^2=\frac{4}{13}$，
解得$m=\pm\frac{2\sqrt{13}}{13}$。
【答案】
（1）该方程总有两个实数根，证明见上述解析；
（2）$m$的值为$\frac{2\sqrt{13}}{13}$或$-\frac{2\sqrt{13}}{13}$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，核心考查根的判别式、根与系数关系的应用，解题的关键是掌握判别式与根的个数的对应关系，以及灵活运用完全平方公式对两根差的条件进行变形转化，可大幅简化计算。
【难度系数】
0.7
（1）要证明一元二次方程总有两个实数根，核心思路是计算根的判别式$\Delta$，只要证明$\Delta≥0$即可，因为对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，$\Delta≥0$等价于方程有两个实数根。只需代入方程系数计算$\Delta$，再利用平方的非负性判断$\Delta$的取值范围即可。
（2）已知两根差的绝对值为2，若直接解方程求根计算差会很繁琐，可利用一元二次方程根与系数的关系，先得到两根之和、两根之积的表达式，再将$|x_1-x_2|=2$两边平方，通过完全平方公式变形$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，代入两根和与积的表达式，即可得到关于$m$的方程，求解得到$m$的值。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2 - 5mx + 3m^2 = 0$，其中$a=1$，$b=-5m$，$c=3m^2$，
根的判别式$\Delta = b^2-4ac = (-5m)^2 - 4×1×3m^2 = 25m^2 - 12m^2 = 13m^2$，
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$m^2≥0$，
∴ $\Delta=13m^2≥0$，
∴ 无论$m$取何值，该方程总有两个实数根。
（2）解：设方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，
根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=5m$，$x_1· x_2=\frac{c}{a}=3m^2$，
∵ $|x_1-x_2|=2$，
将等式两边同时平方得：$(x_1-x_2)^2=4$，
由完全平方公式变形可得：$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=4$，
将$x_1+x_2=5m$、$x_1x_2=3m^2$代入上式得：
$(5m)^2 - 4×3m^2=4$，
整理得：$13m^2=4$，即$m^2=\frac{4}{13}$，
解得$m=\pm\frac{2\sqrt{13}}{13}$。
【答案】
（1）该方程总有两个实数根，证明见上述解析；
（2）$m$的值为$\frac{2\sqrt{13}}{13}$或$-\frac{2\sqrt{13}}{13}$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，核心考查根的判别式、根与系数关系的应用，解题的关键是掌握判别式与根的个数的对应关系，以及灵活运用完全平方公式对两根差的条件进行变形转化，可大幅简化计算。
【难度系数】
0.7
