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12 已知$x_1$、$x_2$是一元二次方程$x^2 -5x -2=0$的两个根，不解方程，求下列各式的值：
(1) $x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$；
(2) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$。
(1) $x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$；
(2) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$。
答案
12.（1）由题意可知,$x_1+x_2=5, x_1x_2=-2$。$x_1^2x_2+x_1x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2)=-2×5=-10$。
（2）$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{5}{-2}=-\dfrac{5}{2}$。
（2）$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{5}{-2}=-\dfrac{5}{2}$。
解析
【分析】
本题要求不解方程求代数式的值，解题核心是利用一元二次方程根与系数的关系。首先，先根据给定的一元二次方程的系数，算出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$；接下来分别对两个待求的代数式做恒等变形：第一问的多项式提取公因式即可转化为含$x_1x_2$和$x_1+x_2$的形式，第二问的分式通分后也可转化为用两根和、两根积表示的形式；最后将算出的两根和、两根积代入变形后的式子计算即可。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 -5x -2=0$，$a=1$，$b=-5$，$c=-2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=5$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-2$。
(1) 对$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$提取公因式因式分解：
$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1x_2(x_1+x_2)$
将$x_1+x_2=5$，$x_1x_2=-2$代入得：
原式$=-2×5=-10$
(2) 对$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$通分化简：
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}$
将$x_1+x_2=5$，$x_1x_2=-2$代入得：
原式$=\frac{5}{-2}=-\frac{5}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-10}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{5}{2}}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 因式分解
3. 分式化简
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型基础应用，解题关键是掌握代数式的恒等变形技巧，将所求式子转化为仅含两根之和、两根之积的形式，无需解方程即可快速求得结果，是该知识点的常考题型。
【难度系数】
0.8
本题要求不解方程求代数式的值，解题核心是利用一元二次方程根与系数的关系。首先，先根据给定的一元二次方程的系数，算出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$；接下来分别对两个待求的代数式做恒等变形：第一问的多项式提取公因式即可转化为含$x_1x_2$和$x_1+x_2$的形式，第二问的分式通分后也可转化为用两根和、两根积表示的形式；最后将算出的两根和、两根积代入变形后的式子计算即可。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 -5x -2=0$，$a=1$，$b=-5$，$c=-2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=5$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-2$。
(1) 对$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$提取公因式因式分解：
$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1x_2(x_1+x_2)$
将$x_1+x_2=5$，$x_1x_2=-2$代入得：
原式$=-2×5=-10$
(2) 对$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$通分化简：
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}$
将$x_1+x_2=5$，$x_1x_2=-2$代入得：
原式$=\frac{5}{-2}=-\frac{5}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-10}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{5}{2}}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 因式分解
3. 分式化简
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型基础应用，解题关键是掌握代数式的恒等变形技巧，将所求式子转化为仅含两根之和、两根之积的形式，无需解方程即可快速求得结果，是该知识点的常考题型。
【难度系数】
0.8
13 已知关于x的一元二次方程$x^2 +6x + (2m +1)=0$有实数根。
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根分别为$x_1$、$x_2$，且满足$2x_1x_2 -x_1 -x_2 ≥8$，求m的取值范围。
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根分别为$x_1$、$x_2$，且满足$2x_1x_2 -x_1 -x_2 ≥8$，求m的取值范围。
答案
13.（1）因为方程有实数根,所以$\Delta=36-4(2m+1)=36-8m-4=32-8m≥0$,解得$m≤4$。
（2）因为$x_1$、$x_2$是方程$x^2+6x+(2m+1)=0$的两个实数根,所以$x_1+x_2=-6, x_1· x_2=2m+1$。因为$2x_1x_2 -x_1 -x_2 ≥8$,所以$2(2m+1)+6≥8$,解得$m≥0$。所以$0≤ m≤4$。
（2）因为$x_1$、$x_2$是方程$x^2+6x+(2m+1)=0$的两个实数根,所以$x_1+x_2=-6, x_1· x_2=2m+1$。因为$2x_1x_2 -x_1 -x_2 ≥8$,所以$2(2m+1)+6≥8$,解得$m≥0$。所以$0≤ m≤4$。
解析
【分析】
（1）已知一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根的情况和判别式的关系，当Δ≥0时方程有实数根，我们先写出该方程判别式的表达式，列不等式求解就能得到m的取值范围。
（2）题目给出两根满足的不等式，涉及两根之和与两根之积，优先用一元二次方程根与系数的关系求出x₁+x₂和x₁x₂的表达式，代入不等式解出m的范围，再结合（1）中方程有实根的前提，取两个范围的交集就是最终m的取值范围。
【解析】
（1）
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 +6x + (2m +1)=0$有实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，其中$a=1，b=6，c=2m+1$，
代入得：$\Delta = 6^2 - 4×1×(2m+1) = 36 - 8m -4 = 32-8m ≥ 0$，
解不等式得：$m ≤ 4$。
（2）
∵ $x_1$、$x_2$是方程$x^2 +6x + (2m +1)=0$的两个实数根，
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2 = -\frac{b}{a}=-6$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=2m+1$，
已知$2x_1x_2 -x_1 -x_2 ≥8$，将式子变形为$2x_1x_2 - (x_1+x_2) ≥8$，
代入得：$2(2m+1) - (-6) ≥8$，
化简得：$4m + 2 +6 ≥8$，即$4m≥0$，解得$m≥0$，
结合（1）中$m≤4$的限制，可得m的取值范围为$0≤ m≤4$。
【答案】
（1）$m≤4$；（2）$0≤ m≤4$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 一元一次不等式解法
【点评】
本题是一元二次方程性质的基础综合题，解题时要注意第二问的取值范围必须同时满足方程有实根的前提，不要遗漏第一问的限制条件，避免范围扩大出错。
【难度系数】
0.7
（1）已知一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根的情况和判别式的关系，当Δ≥0时方程有实数根，我们先写出该方程判别式的表达式，列不等式求解就能得到m的取值范围。
（2）题目给出两根满足的不等式，涉及两根之和与两根之积，优先用一元二次方程根与系数的关系求出x₁+x₂和x₁x₂的表达式，代入不等式解出m的范围，再结合（1）中方程有实根的前提，取两个范围的交集就是最终m的取值范围。
【解析】
（1）
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 +6x + (2m +1)=0$有实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，其中$a=1，b=6，c=2m+1$，
代入得：$\Delta = 6^2 - 4×1×(2m+1) = 36 - 8m -4 = 32-8m ≥ 0$，
解不等式得：$m ≤ 4$。
（2）
∵ $x_1$、$x_2$是方程$x^2 +6x + (2m +1)=0$的两个实数根，
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2 = -\frac{b}{a}=-6$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=2m+1$，
已知$2x_1x_2 -x_1 -x_2 ≥8$，将式子变形为$2x_1x_2 - (x_1+x_2) ≥8$，
代入得：$2(2m+1) - (-6) ≥8$，
化简得：$4m + 2 +6 ≥8$，即$4m≥0$，解得$m≥0$，
结合（1）中$m≤4$的限制，可得m的取值范围为$0≤ m≤4$。
【答案】
（1）$m≤4$；（2）$0≤ m≤4$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 一元一次不等式解法
【点评】
本题是一元二次方程性质的基础综合题，解题时要注意第二问的取值范围必须同时满足方程有实根的前提，不要遗漏第一问的限制条件，避免范围扩大出错。
【难度系数】
0.7
14 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + (2m + 1)x + m^2 - 2 = 0 $。
(1) 若该方程有两个实数根，求 $ m $ 的最小整数值；
(2) 若方程的两个实数根分别为 $ x_1 $、$ x_2 $，且 $ (x_1 - x_2)^2 + m^2 = 21 $，求 $ m $ 的值。
(1) 若该方程有两个实数根，求 $ m $ 的最小整数值；
(2) 若方程的两个实数根分别为 $ x_1 $、$ x_2 $，且 $ (x_1 - x_2)^2 + m^2 = 21 $，求 $ m $ 的值。
答案
14.（1）根据题意,得$\Delta=(2m+1)^2-4(m^2-2)≥0$,解得$m≥-\dfrac{9}{4}$。所以$m$的最小整数值为$-2$。
（2）根据题意,得$x_1+x_2=-(2m+1), x_1x_2=m^2-2$。因为$(x_1-x_2)^2+m^2=21$,所以$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2+m^2=21$,所以$[-(2m+1)]^2-4(m^2-2)+m^2=21$。整理得$m^2+4m-12=0$,解得$m_1=2, m_2=-6$。因为$m≥-\dfrac{9}{4}$,所以$m=2$。
（2）根据题意,得$x_1+x_2=-(2m+1), x_1x_2=m^2-2$。因为$(x_1-x_2)^2+m^2=21$,所以$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2+m^2=21$,所以$[-(2m+1)]^2-4(m^2-2)+m^2=21$。整理得$m^2+4m-12=0$,解得$m_1=2, m_2=-6$。因为$m≥-\dfrac{9}{4}$,所以$m=2$。
解析
【分析】
（1）要求方程有两个实数根时m的最小整数值，首先根据一元二次方程有两个实数根的判定条件，可知根的判别式Δ≥0，先列出Δ关于m的表达式，解不等式得到m的取值范围，再在取值范围内找出最小整数即可。
（2）已知等式中出现两根差的平方，可先将$(x_1-x_2)^2$变形为$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，再根据根与系数的关系，写出$x_1+x_2$和$x_1x_2$关于m的表达式，代入等式得到关于m的方程，解方程后结合第（1）问得到的m的取值范围，舍去不符合条件的解，即可得到m的正确值。
【解析】
（1）
∵ 方程有两个实数根
∴ 判别式$\Delta=(2m+1)^2-4×1×(m^2-2)≥0$
展开得：$4m^2+4m+1-4m^2+8≥0$
化简得：$4m+9≥0$
解得$m≥-\dfrac{9}{4}$
大于等于$-\dfrac{9}{4}$的最小整数是-2，即m的最小整数值为-2。
（2）根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-(2m+1)$，$x_1x_2=m^2-2$
已知$(x_1-x_2)^2+m^2=21$，将$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$代入得：
$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2+m^2=21$
把$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式代入上式：
$[-(2m+1)]^2-4(m^2-2)+m^2=21$
展开整理：$4m^2+4m+1-4m^2+8+m^2=21$
即$m^2+4m-12=0$
因式分解得$(m+6)(m-2)=0$
解得$m_1=2$，$m_2=-6$
由（1）知$m≥-\dfrac{9}{4}$，故$m=-6$不符合条件，舍去
∴ $m=2$
【答案】
（1）$m$的最小整数值为$-2$；（2）$m$的值为$2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题综合考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系的应用，解题时要注意根的判别式对参数取值范围的限制，避免产生增根。
【难度系数】
0.7
（1）要求方程有两个实数根时m的最小整数值，首先根据一元二次方程有两个实数根的判定条件，可知根的判别式Δ≥0，先列出Δ关于m的表达式，解不等式得到m的取值范围，再在取值范围内找出最小整数即可。
（2）已知等式中出现两根差的平方，可先将$(x_1-x_2)^2$变形为$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，再根据根与系数的关系，写出$x_1+x_2$和$x_1x_2$关于m的表达式，代入等式得到关于m的方程，解方程后结合第（1）问得到的m的取值范围，舍去不符合条件的解，即可得到m的正确值。
【解析】
（1）
∵ 方程有两个实数根
∴ 判别式$\Delta=(2m+1)^2-4×1×(m^2-2)≥0$
展开得：$4m^2+4m+1-4m^2+8≥0$
化简得：$4m+9≥0$
解得$m≥-\dfrac{9}{4}$
大于等于$-\dfrac{9}{4}$的最小整数是-2，即m的最小整数值为-2。
（2）根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-(2m+1)$，$x_1x_2=m^2-2$
已知$(x_1-x_2)^2+m^2=21$，将$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$代入得：
$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2+m^2=21$
把$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式代入上式：
$[-(2m+1)]^2-4(m^2-2)+m^2=21$
展开整理：$4m^2+4m+1-4m^2+8+m^2=21$
即$m^2+4m-12=0$
因式分解得$(m+6)(m-2)=0$
解得$m_1=2$，$m_2=-6$
由（1）知$m≥-\dfrac{9}{4}$，故$m=-6$不符合条件，舍去
∴ $m=2$
【答案】
（1）$m$的最小整数值为$-2$；（2）$m$的值为$2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题综合考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系的应用，解题时要注意根的判别式对参数取值范围的限制，避免产生增根。
【难度系数】
0.7
