1 [2025 广安]下列各式运算结果为$a^6$的是（）

A.$a^3 · a^3$
B.$(a^2)^4$
C.$a^3 + a^3$
D.$a^{10} ÷ a^3$

A

【分析】
这道题考查整式的幂运算及同类项合并的相关知识，解题时需要逐一分析每个选项，根据对应的运算法则计算出结果，再选出运算结果为$a^6$的选项。解题前先回忆相关法则：1.同底数幂相乘，底数不变，指数相加；2.幂的乘方，底数不变，指数相乘；3.合并同类项时，同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；4.同底数幂相除，底数不变，指数相减，将每个选项按对应法则计算即可判断。
【解析】
我们逐个计算各选项的结果：
A选项：根据同底数幂的乘法法则，$a^3 · a^3 = a^{3+3} = a^6$，符合要求；
B选项：根据幂的乘方法则，$(a^2)^4 = a^{2×4} = a^8$，不符合要求；
C选项：$a^3 + a^3$是合并同类项，系数相加得$2a^3$，不符合要求；
D选项：根据同底数幂的除法法则，$a^{10} ÷ a^3 = a^{10-3} = a^7$，不符合要求。
综上，只有A选项运算结果为$a^6$。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；同底数幂的除法
【点评】
本题属于基础题，主要考查幂运算的基本运算法则，解题的关键是熟练区分不同幂运算的指数运算规则，避免将各类法则混淆，同时注意合并同类项和幂运算的区别。
【难度系数】
0.8

2 计算$(-\dfrac{1}{2}x^2y)^3$的结果为（）

A.$-\dfrac{1}{6}x^6y^3$
B.$-\dfrac{1}{8}x^2y^3$
C.$-\dfrac{1}{8}x^6y^3$
D.$-\dfrac{3}{2}x^5y^4$

C

【分析】
本题考查整式乘方的运算，解题思路如下：首先明确该式属于积的乘方运算，需运用积的乘方法则：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；其中对含字母的幂进行乘方时，需用到幂的乘方法则：底数不变，指数相乘。运算时要注意负数乘方的符号，以及指数的运算规则，不要把指数相乘误算为指数相加。
【解析】
根据积的乘方运算法则展开计算：
$\begin{aligned}(-\dfrac{1}{2}x^2y)^3&=(-\dfrac{1}{2})^3 · (x^2)^3 · y^3\\&=-\dfrac{1}{8} · x^{2×3} · y^3\\&=-\dfrac{1}{8}x^6y^3\end{aligned}$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
积的乘方、幂的乘方
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查乘方运算的基本法则，解题时需注意负数乘方的符号判断，同时要区分幂的乘方（指数相乘）和同底数幂乘法（指数相加）的运算规则，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.8

3 若$a^2 - 2a - 2 = 3$，则$3a(a - 2)$的值为（）

A.3
B.5
C.9
D.15

D

【分析】
解题时先观察已知等式和待求代数式的关联，首先对已知等式变形求出$a^2-2a$的值，再将待求的$3a(a-2)$展开整理，发现其可以转化为含$a^2-2a$的形式，最后用整体代入法计算即可得到结果，不需要求解$a$的具体值，能简化计算过程。
【解析】
1. 整理已知等式：
已知$a^2 - 2a - 2 = 3$，移项计算得：
$a^2 - 2a = 3 + 2 = 5$
2. 化简待求代数式：
将$3a(a - 2)$展开提取公因式得：
$3a(a - 2) = 3a^2 - 6a = 3(a^2 - 2a)$
3. 整体代入求值：
把$a^2 - 2a = 5$代入上式，得：
$3×5 = 15$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
代数式求值、整体代入思想、整式乘法运算
【点评】
本题属于代数式求值的基础题型，核心是通过变形找到已知条件和待求式之间的共同部分，运用整体代入的方法避免求解未知数的具体值，大幅简化运算过程，该方法是代数式求值类问题的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8

4 已知$A=2x$，$B$是多项式，在计算$B÷A$时，小强同学把$B÷A$误看成了$B+A$，结果得到$2x^2 - x$，则$B÷A$正确的结果是（）

A.$2x^2 + x$
B.$2x^2 - 3x$
C.$x + \frac{1}{2}$
D.$x - \frac{3}{2}$

D

【分析】
这是一道错中求解类的整式运算题，解题思路分为两步：第一步先根据错误的运算关系求出多项式B，题目中误把B÷A看成B+A，得到结果为$2x^2 - x$，已知$A=2x$，因此用错误运算的结果减去A即可得到B的表达式；第二步将求出的B和已知的A代入正确的运算$B÷A$，按照多项式除以单项式的运算法则计算，就能得到正确结果。
【解析】
首先根据错误的运算关系求多项式B：
∵ 小强误算$B+A$的结果为$2x^2 - x$，且$A=2x$
∴ $B = (2x^2 -x) - A = 2x^2 -x - 2x = 2x^2 - 3x$
接下来计算正确的$B÷A$：
$B÷A = (2x^2 - 3x) ÷ 2x = 2x^2÷2x - 3x÷2x = x - \frac{3}{2}$
因此正确结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
整式的加减运算，多项式除以单项式
【点评】
本题解题核心是先通过错误的运算关系求出未知多项式B，再代入正确运算求解，侧重考察整式运算规则的灵活运用，整体逻辑清晰，只要掌握基础整式运算就能顺利解答。
【难度系数】
0.7

5 下列四个整式中，不能表示如图所示的阴影部分面积的是（）

A.$(x+6)(x+4)-6x$
B.$x(x+4)+24$
C.$4(x+6)+x^2$
D.$x^2+24$

D

【分析】
要判断哪个整式不能表示阴影部分面积，我们可以先计算出阴影面积的正确表达式，再逐一比对选项：首先明确大长方形的长为$(x+6)$，宽为$(x+4)$，空白部分是长为6、宽为$x$的长方形，阴影面积既可以用“大长方形面积减去空白部分面积”计算，也可以用分割法求和，再将各选项化简后和正确阴影面积对比即可。
【解析】
先计算阴影部分的正确面积：
大长方形面积为：$(x+6)(x+4)=x^2+10x+24$
空白长方形面积为：$6× x=6x$
因此阴影面积为：$(x^2+10x+24)-6x=x^2+4x+24$
逐一验证选项：
A选项：$(x+6)(x+4)-6x=x^2+10x+24-6x=x^2+4x+24$，与阴影面积相等，不符合题意；
B选项：$x(x+4)+24=x^2+4x+24$，与阴影面积相等，不符合题意；
C选项：$4(x+6)+x^2=4x+24+x^2=x^2+4x+24$，与阴影面积相等，不符合题意；
D选项：$x^2+24$，比阴影面积少了$4x$，与阴影面积不相等，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
列代数式、整式的加减、割补法求面积
【点评】
本题考查图形面积的不同表示方法，既可以直接计算阴影面积比对选项，也可以分析每个选项对应的面积分割思路是否正确，掌握割补法求不规则图形面积是解题的关键。
【难度系数】
0.7

6 若$a,b$是正整数，且满足$\underbrace{2^a + 2^a + \dots + 2^a}_{8个2^a相加} = \underbrace{2^b × 2^b × \dots × 2^b}_{8个2^b相乘}$，则$a$与$b$的关系正确的是（）

A.$a + 3 = 8b$
B.$3a = 8b$
C.$a + 3 = b^8$
D.$3a = 8 + b$

A 【解析】由题意,得$8×2^a=(2^b)^8$,$\therefore 2^3×2^a=2^{8b}$,即$2^{3+a}=2^{8b}$.$\therefore 3+a=8b$.

【分析】
解题时先分别化简等式左右两边的式子：第一步，左边是8个相同的加数$2^a$相加，可转化为乘法运算，再将常数8改写为底数为2的幂，方便后续统一底数计算；第二步，右边是8个相同的因式$2^b$相乘，可转化为幂的乘方运算，利用幂的乘方法则化简为底数为2的幂；第三步，因为等式两边是底数相同的幂，根据“同底数幂相等时，指数相等”的性质，即可建立a和b的数量关系，对应选出正确选项。
【解析】
解：由题意可得：
左边：8个$2^a$相加 = $8 × 2^a$，
因为$8=2^3$，根据同底数幂的乘法法则“底数不变，指数相加”，可得左边化简为$2^3 × 2^a = 2^{a+3}$；
右边：8个$2^b$相乘 = $(2^b)^8$，
根据幂的乘方法则“底数不变，指数相乘”，可得右边化简为$2^{8b}$；
因此等式可化为$2^{a+3}=2^{8b}$，
由于底数相同的两个幂相等时指数相等，因此$a+3=8b$。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂乘法，幂的乘方，乘方的意义
【点评】
本题考查幂的相关运算法则的综合应用，解题的核心是将等式两侧的运算先转化为同底数幂的形式，再利用同底数幂相等的性质建立等量关系，熟练掌握幂的各类运算法则是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8

7当$(2x - 5)^0$有意义时，x的取值范围是

$x≠\dfrac{5}{2}$

【分析】
要确定零指数幂有意义时x的取值范围，首先回忆零指数幂的规定：任何不等于0的数的0次幂都等于1，也就是说零指数幂的底数不能为0，否则无意义。因此我们只需要让题目中零指数幂的底数$2x-5$不等于0，解这个不等式就能得到x的取值范围。
【解析】
根据零指数幂有意义的条件：底数不为0，可得：
$2x - 5 ≠ 0$
移项得：$2x ≠ 5$
两边同时除以2得：$x ≠ \frac{5}{2}$
【答案】
$x≠\dfrac{5}{2}$
【知识点】
零指数幂的意义，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记零指数幂成立的前提是底数不为0，易错点是忽略底数为0的情况，直接认为所有x都满足条件导致错误。
【难度系数】
0.8

8 如果$2^m × 4^m = 2^{15}$，那么$m=$.

$5$

【分析】
要计算m的值，首先需要把等式两边的幂统一为同底数幂，先将4^m转化为以2为底的幂，再利用同底数幂的乘法法则化简等式左边，最后根据同底数幂相等时指数相等的性质列方程求解即可。
【解析】
解：第一步，将4^m变形为以2为底的幂：
因为4=2²，根据幂的乘方法则（底数不变，指数相乘），可得$4^m=(2^2)^m=2^{2m}$。
第二步，化简等式左边：
根据同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加），可得$2^m×4^m=2^m×2^{2m}=2^{m+2m}=2^{3m}$。
第三步，列方程求解：
已知$2^{3m}=2^{15}$，同底数幂相等则指数相等，因此$3m=15$，解得$m=5$。
【答案】
$5$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方运算；一元一次方程的解法
【点评】
本题是幂运算相关的基础题型，解题核心是熟练掌握幂的运算法则，将不同底数的幂统一为同底数幂后建立方程求解，是幂运算单元的高频考查题。
【难度系数】
0.8

9 若一个长方形的面积为$a^2bc$，长为$\frac{1}{5}ac$，则它的宽为。

$5ab$

【分析】
要解决这道题，首先回忆长方形的面积计算公式：长方形面积=长×宽，因此求宽可转化为面积除以长的运算。接下来代入题目给出的面积和长的代数式，得到单项式除以单项式的式子，再按照单项式除法法则计算即可：系数相除作为结果的系数，同底数幂分别相减，仅在被除式中出现的字母连同指数直接保留为结果的因式。
【解析】
根据长方形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，推导得：
$\mathrm{宽}=\mathrm{面积}÷\mathrm{长}$
将面积$a^2bc$、长$\frac{1}{5}ac$代入上式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{宽}&=a^2bc÷\frac{1}{5}ac\\&=(1÷\frac{1}{5})×(a^2÷ a)× b×(c÷ c)\\&=5× a^{2-1}× b×1\\&=5ab\end{aligned}$
【答案】
$5ab$
【知识点】
长方形面积公式；单项式除以单项式
【点评】
本题属于整式运算的基础应用题，结合几何图形的面积公式考察单项式除法的运算规则，只要熟练掌握相关公式和运算法则就能顺利求解。
【难度系数】
0.8

10 若$a^2 + a + 1 = 2$，则$(1 - 2a)(2a + 3)=$

$-1$

【分析】
首先观察已知等式和所求代数式的特点，直接求解a的数值运算较复杂，因此考虑整体代入的方法：先从已知等式整理得到$a^2+a$的取值，再将所求的多项式乘积展开、合并同类项，变形为含有$a^2+a$的代数式，最后整体代入数值计算即可。
【解析】
第一步，整理已知条件：
由$a^2 + a + 1 = 2$，移项得$a^2 + a = 2 - 1 = 1$。
第二步，展开并化简所求代数式：
根据多项式乘多项式法则展开$(1 - 2a)(2a + 3)$：
$\begin{aligned}(1 - 2a)(2a + 3)&=1×2a + 1×3 + (-2a)×2a + (-2a)×3\\&=2a + 3 - 4a^2 - 6a\\&=-4a^2 -4a + 3\\&=-4(a^2 + a) + 3\end{aligned}$
第三步，整体代入计算：
把$a^2 + a = 1$代入上式，得：
$-4×1 + 3 = -4 + 3 = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
多项式乘多项式；整体代入求值
【点评】
本题侧重考查整体代入思想的应用，解题时无需计算a的具体值，先将已知条件变形得到所需的整体代数式的值，再代入化简后的所求式运算，可大幅简化计算过程，避免不必要的复杂运算。
【难度系数】
0.7

11 小明家的住房装修三年后，地砖出现破损，破损部分的图形如图所示。现有A，B，C三种地砖可供选择，则需要A砖块，B砖块，C砖块。（第11题）

$0\quad8\quad2$

【分析】
要确定三种地砖的需要数量，可按以下思路推导：第一步先根据长方形面积公式计算出破损区域的总面积，第二步分别计算A、B、C三种地砖的单块面积，第三步将破损区域的面积展开为多项式，多项式中对应项的系数就是对应地砖的需要数量。
【解析】
1. 计算破损部分的总面积：
破损区域是长为$4a+b$、宽为$2b$的长方形，根据长方形面积公式$S=长×宽$可得：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{破损}}&=(4a+b)×2b\\&=4a×2b + b×2b\\&=8ab + 2b^2\end{aligned}$
2. 计算三种地砖的单块面积：
A砖是边长为$a$的正方形，面积$S_A=a× a=a^2$；
B砖是长为$b$、宽为$a$的长方形，面积$S_B=a× b=ab$；
C砖是边长为$b$的正方形，面积$S_C=b× b=b^2$。
3. 对比多项式各项确定地砖数量：
破损面积展开式为$8ab + 2b^2$，不含$a^2$项，因此A砖需要0块；$ab$项系数为8，因此B砖需要8块；$b^2$项系数为2，因此C砖需要2块。
【答案】
$0\quad8\quad2$
【知识点】
整式的乘法，面积计算，多项式的项与系数
【点评】
本题结合生活实际考查整式运算的应用，将面积计算和整式乘法相结合，通过对比多项式的项与不同地砖的面积即可求解，侧重考查基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8

三、解答题
12 计算：
(1) $(-4xy^3) · (-2x)^2$；
(2) $(1.5 × 10^9) ÷ (-5 × 10^6)$；
(3) $(36x^4y^3 - 24x^3y^2 + 3x^2y^2) ÷ (-6x^2y^2)$。

(1) $-16x^3y^3$ (2) $-3×10^2$ (3) $-6x^2y+4x-\dfrac{1}{2}$

【分析】
这三道题均为整式乘除相关的基础运算题，解题思路清晰：第(1)题先根据积的乘方法则计算$(-2x)^2$，再按照单项式乘单项式的规则，将系数、同底数幂分别相乘即可得到结果；第(2)题是科学记数法的除法运算，将系数和10的幂部分分别相除，再将两个结果合并，最后整理为规范的科学记数法形式；第(3)题是多项式除以单项式，遵循“多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加”的法则计算，需格外注意每一项的符号不要出错。
【解析】
(1) 先计算乘方，再计算单项式乘法：
$\begin{aligned}(-4xy^3) · (-2x)^2&=(-4xy^3)·4x^2\\&=(-4×4)·(x·x^2)·y^3\\&=-16x^3y^3\end{aligned}$
(2) 拆分系数和幂部分分别计算：
$\begin{aligned}(1.5 × 10^9) ÷ (-5 × 10^6)&=(1.5÷(-5))×(10^9÷10^6)\\&=-0.3×10^3\\&=-3×10^2\end{aligned}$
(3) 多项式每一项分别除以除式，再求和：
$\begin{aligned}&(36x^4y^3 - 24x^3y^2 + 3x^2y^2) ÷ (-6x^2y^2)\\=&36x^4y^3÷(-6x^2y^2) -24x^3y^2÷(-6x^2y^2) +3x^2y^2÷(-6x^2y^2)\\=&-6x^2y +4x -\frac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-16x^3y^3$ (2) $-3×10^2$ (3) $-6x^2y+4x-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
幂的运算，整式乘除，科学记数法运算
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，核心考察幂的运算法则和整式乘除的运算规则，计算时需注意运算顺序、符号处理以及结果的规范性，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.8