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13 下列计算中,正确的是 （
A.$(3x^2 + x) ÷ x = 3x$
B.$(-10ab^2 + 5ab) ÷ (-5ab) = 2b - 1$
C.$(9m^5 - 6m^2n^3) ÷ (-3m^2) = 3m^3 - 2n^3$
D.$(2y^2 - y) ÷ (2y) = y - 2$
B
）A.$(3x^2 + x) ÷ x = 3x$
B.$(-10ab^2 + 5ab) ÷ (-5ab) = 2b - 1$
C.$(9m^5 - 6m^2n^3) ÷ (-3m^2) = 3m^3 - 2n^3$
D.$(2y^2 - y) ÷ (2y) = y - 2$
答案
13. B
解析
【分析】
本题考查多项式除以单项式的运算，解题思路是：先回顾多项式除以单项式的运算法则，即把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，运算时要格外注意符号规则（同号得正，异号得负），最后逐个计算四个选项，判断正误即可。
【解析】
根据多项式除以单项式的运算法则逐一计算：
A选项：$(3x^2 + x) ÷ x = 3x^2÷x + x÷x = 3x + 1 ≠ 3x$，故A错误；
B选项：$(-10ab^2 + 5ab) ÷ (-5ab) = (-10ab^2)÷(-5ab) + 5ab÷(-5ab) = 2b - 1$，故B正确；
C选项：$(9m^5 - 6m^2n^3) ÷ (-3m^2) = 9m^5÷(-3m^2) + (-6m^2n^3)÷(-3m^2) = -3m^3 + 2n^3 ≠ 3m^3 - 2n^3$，故C错误；
D选项：$(2y^2 - y) ÷ (2y) = 2y^2÷2y + (-y)÷2y = y - \frac{1}{2} ≠ y - 2$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
多项式除以单项式、单项式除以单项式
【点评】
本题属于整式除法的基础运算题，核心考查对多项式除以单项式法则的掌握程度，运算时容易出现符号错误、漏除某一项的问题，熟练掌握运算法则、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
本题考查多项式除以单项式的运算，解题思路是：先回顾多项式除以单项式的运算法则，即把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，运算时要格外注意符号规则（同号得正，异号得负），最后逐个计算四个选项，判断正误即可。
【解析】
根据多项式除以单项式的运算法则逐一计算：
A选项：$(3x^2 + x) ÷ x = 3x^2÷x + x÷x = 3x + 1 ≠ 3x$，故A错误；
B选项：$(-10ab^2 + 5ab) ÷ (-5ab) = (-10ab^2)÷(-5ab) + 5ab÷(-5ab) = 2b - 1$，故B正确；
C选项：$(9m^5 - 6m^2n^3) ÷ (-3m^2) = 9m^5÷(-3m^2) + (-6m^2n^3)÷(-3m^2) = -3m^3 + 2n^3 ≠ 3m^3 - 2n^3$，故C错误；
D选项：$(2y^2 - y) ÷ (2y) = 2y^2÷2y + (-y)÷2y = y - \frac{1}{2} ≠ y - 2$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
多项式除以单项式、单项式除以单项式
【点评】
本题属于整式除法的基础运算题，核心考查对多项式除以单项式法则的掌握程度，运算时容易出现符号错误、漏除某一项的问题，熟练掌握运算法则、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
14 分类讨论思想 若$x$满足$(x-2)^{x+1}=1$，则整数$x$的值为
$-1或3或1$
。答案
14. $-1或3或1$ 【解析】由题意,得① $x+1=0$,且$x-2≠0$,解得$x=-1$;② $x-2=1$,解得$x=3$;③ $x-2=-1$,$x+1$为偶数,解得$x=1$.$\therefore$ 整数$x$的值为$-1$或$3$或$1$.
解析
【分析】
要使幂的运算结果为1，通常有三类情况需要分类讨论：①非零数的0次幂等于1，此时需满足指数为0，且底数不为0；②1的任意次幂都等于1，此时只需底数为1即可；③-1的偶次幂等于1，此时需满足底数为-1，且指数为偶数。我们分别对三类情况求解，再验证结果是否符合要求，即可得到所有符合条件的整数x。
【解析】
分三种情况讨论：
① 当指数为0且底数不为0时：
$\begin{cases}x+1=0 \\ x-2≠0\end{cases}$
解得$x=-1$，符合要求；
② 当底数为1时：
$x-2=1$，解得$x=3$，代入原式得$(3-2)^{3+1}=1^4=1$，符合要求；
③ 当底数为-1且指数为偶数时：
$\begin{cases}x-2=-1 \\ x+1\mathrm{为偶数}\end{cases}$
解得$x=1$，此时指数$1+1=2$是偶数，代入原式得$(-1)^2=1$，符合要求。
综上，整数x的值为-1或3或1。
【答案】
$-1$或$3$或$1$
【知识点】
零指数幂的性质、有理数的乘方、分类讨论思想
【点评】
本题核心考查幂的值为1的所有可能情况，需要学生全面分类，避免漏解，尤其要注意零指数幂中底数不能为0的隐含限制，以及-1的偶次幂为1的特殊情况。
【难度系数】
0.6
要使幂的运算结果为1，通常有三类情况需要分类讨论：①非零数的0次幂等于1，此时需满足指数为0，且底数不为0；②1的任意次幂都等于1，此时只需底数为1即可；③-1的偶次幂等于1，此时需满足底数为-1，且指数为偶数。我们分别对三类情况求解，再验证结果是否符合要求，即可得到所有符合条件的整数x。
【解析】
分三种情况讨论：
① 当指数为0且底数不为0时：
$\begin{cases}x+1=0 \\ x-2≠0\end{cases}$
解得$x=-1$，符合要求；
② 当底数为1时：
$x-2=1$，解得$x=3$，代入原式得$(3-2)^{3+1}=1^4=1$，符合要求；
③ 当底数为-1且指数为偶数时：
$\begin{cases}x-2=-1 \\ x+1\mathrm{为偶数}\end{cases}$
解得$x=1$，此时指数$1+1=2$是偶数，代入原式得$(-1)^2=1$，符合要求。
综上，整数x的值为-1或3或1。
【答案】
$-1$或$3$或$1$
【知识点】
零指数幂的性质、有理数的乘方、分类讨论思想
【点评】
本题核心考查幂的值为1的所有可能情况，需要学生全面分类，避免漏解，尤其要注意零指数幂中底数不能为0的隐含限制，以及-1的偶次幂为1的特殊情况。
【难度系数】
0.6
15 教材P110习题T4变式 计算：
(1) $\frac{1}{3}a^2b^3 · (3ab^2)^2 ÷ [6(a^2b^3)^2]$；
(2) $(-52x^{n+4} + 20x^{n+2} - 4x^{n-2}) ÷ (-4x^{n-2})$。
(1) $\frac{1}{3}a^2b^3 · (3ab^2)^2 ÷ [6(a^2b^3)^2]$；
(2) $(-52x^{n+4} + 20x^{n+2} - 4x^{n-2}) ÷ (-4x^{n-2})$。
答案
15. (1) $\frac{b}{2}$ (2) $13x^6-5x^4+1$
解析
【分析】
这两道题均考查整式的乘除运算，解题思路如下：
(1) 属于单项式的乘除混合运算，先计算乘方运算，再按照从左到右的顺序计算乘除，运算时分别对系数、同底数幂进行对应运算，注意正确使用幂的运算规则。
(2) 属于多项式除以单项式运算，根据运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，运算时注意符号处理和同底数幂的指数计算。
【解析】
(1) 先计算乘方：
$(3ab^2)^2=9a^2b^4$，$(a^2b^3)^2=a^4b^6$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{3}a^2b^3 · 9a^2b^4 ÷ (6a^4b^6)\\&=3a^{2+2}b^{3+4} ÷ 6a^4b^6\\&=3a^4b^7 ÷ 6a^4b^6\\&=\frac{3}{6}a^{4-4}b^{7-6}\\&=\frac{b}{2}\end{aligned}$
(2) 按多项式除以单项式法则拆分计算：
$\begin{aligned}原式&=(-52x^{n+4})÷(-4x^{n-2}) + 20x^{n+2}÷(-4x^{n-2}) + (-4x^{n-2})÷(-4x^{n-2})\\&=13x^{(n+4)-(n-2)} + (-5)x^{(n+2)-(n-2)} + 1\\&=13x^6 -5x^4 +1\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{b}{2}$；(2) $13x^6-5x^4+1$
【知识点】
幂的运算性质，单项式乘除运算，多项式除以单项式
【点评】
本题是整式乘除的基础运算题，核心考查幂的运算规则和整式乘除的运算顺序，计算时需重点注意系数的符号处理、同底数幂的指数加减规则，避免因粗心出现符号错误或指数计算错误。
【难度系数】
0.75
这两道题均考查整式的乘除运算，解题思路如下：
(1) 属于单项式的乘除混合运算，先计算乘方运算，再按照从左到右的顺序计算乘除，运算时分别对系数、同底数幂进行对应运算，注意正确使用幂的运算规则。
(2) 属于多项式除以单项式运算，根据运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，运算时注意符号处理和同底数幂的指数计算。
【解析】
(1) 先计算乘方：
$(3ab^2)^2=9a^2b^4$，$(a^2b^3)^2=a^4b^6$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{3}a^2b^3 · 9a^2b^4 ÷ (6a^4b^6)\\&=3a^{2+2}b^{3+4} ÷ 6a^4b^6\\&=3a^4b^7 ÷ 6a^4b^6\\&=\frac{3}{6}a^{4-4}b^{7-6}\\&=\frac{b}{2}\end{aligned}$
(2) 按多项式除以单项式法则拆分计算：
$\begin{aligned}原式&=(-52x^{n+4})÷(-4x^{n-2}) + 20x^{n+2}÷(-4x^{n-2}) + (-4x^{n-2})÷(-4x^{n-2})\\&=13x^{(n+4)-(n-2)} + (-5)x^{(n+2)-(n-2)} + 1\\&=13x^6 -5x^4 +1\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{b}{2}$；(2) $13x^6-5x^4+1$
【知识点】
幂的运算性质，单项式乘除运算，多项式除以单项式
【点评】
本题是整式乘除的基础运算题，核心考查幂的运算规则和整式乘除的运算顺序，计算时需重点注意系数的符号处理、同底数幂的指数加减规则，避免因粗心出现符号错误或指数计算错误。
【难度系数】
0.75
16 教材 P111 习题 T7 变式 先化简，再求值：
$(3a^2b - ab^2 - 2b^3) ÷ b - (a - 2b)(b - 2a)$，
其中$a$，$b$满足$(a - 1)^2 + |b + 1| = 0$.
$(3a^2b - ab^2 - 2b^3) ÷ b - (a - 2b)(b - 2a)$，
其中$a$，$b$满足$(a - 1)^2 + |b + 1| = 0$.
答案
16. 原式=$5a^2-6ab$. $\because (a-1)^2+|b+1|=0$,$\therefore a=1,b=-1$.当$a=1,b=-1$时,原式=11
解析
【分析】
解题分两步进行：第一步先化简整式，先根据多项式除以单项式的法则计算除法部分，再按照多项式乘多项式的法则计算乘法部分，之后去括号、合并同类项得到最简结果；第二步利用非负数的性质求解a、b的值，平方和绝对值均为非负数，若两个非负数的和为0，则两个非负数各自为0，据此求出a、b后代入最简式计算即可得到最终结果。
【解析】
解：先化简原式：
1. 计算多项式除以单项式：
$(3a^2b - ab^2 - 2b^3) ÷ b = 3a^2b÷b - ab^2÷b - 2b^3÷b = 3a^2 - ab - 2b^2$
2. 计算多项式乘多项式：
$(a - 2b)(b - 2a) = ab - 2a^2 - 2b^2 + 4ab = 5ab - 2a^2 - 2b^2$
3. 去括号合并同类项：
$\begin{aligned}原式&= 3a^2 - ab - 2b^2 - (5ab - 2a^2 - 2b^2)\\&= 3a^2 - ab - 2b^2 - 5ab + 2a^2 + 2b^2\\&=5a^2 -6ab\end{aligned}$
再求a、b的值：
$\because (a - 1)^2 ≥0$，$|b + 1| ≥0$，且$(a - 1)^2 + |b + 1| = 0$
$\therefore a-1=0$，$b+1=0$，即$a=1$，$b=-1$
代入最简式计算：
当$a=1$，$b=-1$时，原式$=5×1^2 -6×1×(-1)=5+6=11$
【答案】
11
【知识点】
1.整式的混合运算 2.非负数的性质 3.代数式化简求值
【点评】
本题是整式化简求值的常规题型，既考查了整式乘除、去括号、合并同类项等基础运算能力，也考查了非负数性质的应用，解题时需注意去括号时的符号变化，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
解题分两步进行：第一步先化简整式，先根据多项式除以单项式的法则计算除法部分，再按照多项式乘多项式的法则计算乘法部分，之后去括号、合并同类项得到最简结果；第二步利用非负数的性质求解a、b的值，平方和绝对值均为非负数，若两个非负数的和为0，则两个非负数各自为0，据此求出a、b后代入最简式计算即可得到最终结果。
【解析】
解：先化简原式：
1. 计算多项式除以单项式：
$(3a^2b - ab^2 - 2b^3) ÷ b = 3a^2b÷b - ab^2÷b - 2b^3÷b = 3a^2 - ab - 2b^2$
2. 计算多项式乘多项式：
$(a - 2b)(b - 2a) = ab - 2a^2 - 2b^2 + 4ab = 5ab - 2a^2 - 2b^2$
3. 去括号合并同类项：
$\begin{aligned}原式&= 3a^2 - ab - 2b^2 - (5ab - 2a^2 - 2b^2)\\&= 3a^2 - ab - 2b^2 - 5ab + 2a^2 + 2b^2\\&=5a^2 -6ab\end{aligned}$
再求a、b的值：
$\because (a - 1)^2 ≥0$，$|b + 1| ≥0$，且$(a - 1)^2 + |b + 1| = 0$
$\therefore a-1=0$，$b+1=0$，即$a=1$，$b=-1$
代入最简式计算：
当$a=1$，$b=-1$时，原式$=5×1^2 -6×1×(-1)=5+6=11$
【答案】
11
【知识点】
1.整式的混合运算 2.非负数的性质 3.代数式化简求值
【点评】
本题是整式化简求值的常规题型，既考查了整式乘除、去括号、合并同类项等基础运算能力，也考查了非负数性质的应用，解题时需注意去括号时的符号变化，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
17 阅读材料：
由于$(x+3)(x-2)=x^2+x-6$，故多项式$x^2+x-6$能被$x-2$整除，同时也说明多项式$x^2+x-6$有因式$x-2$，且当$x=2$时，多项式$x^2+x-6$的值为0.
（1）根据上面的材料猜想：多项式的值为0，多项式有因式$x-2$，多项式能被$x-2$整除，$x-2=0$这之间存在着一种什么样的联系？
（2）探索规律：一般地，如果一个关于$x$的多项式$M$，当$x=k$时，$M$的值为0，那么$M$与式子$x-k$之间有何种关系？
（3）应用：已知$x-2$能整除$x^2+kx-14$，求$k$的值.
由于$(x+3)(x-2)=x^2+x-6$，故多项式$x^2+x-6$能被$x-2$整除，同时也说明多项式$x^2+x-6$有因式$x-2$，且当$x=2$时，多项式$x^2+x-6$的值为0.
（1）根据上面的材料猜想：多项式的值为0，多项式有因式$x-2$，多项式能被$x-2$整除，$x-2=0$这之间存在着一种什么样的联系？
（2）探索规律：一般地，如果一个关于$x$的多项式$M$，当$x=k$时，$M$的值为0，那么$M$与式子$x-k$之间有何种关系？
（3）应用：已知$x-2$能整除$x^2+kx-14$，求$k$的值.
答案
17. (1) 若多项式有因式$x-2$,则说明此多项式能被$x-2$整除;若$x-2=0$,则此多项式的值为0 (2) $M$能被$x-k$整除 (3) $\because x-2$能整除$x^2+kx-14$,$\therefore$ 当$x-2=0$时,$x^2+kx-14=0$,即当$x=2$时,$x^2+kx-14=4+2k-14=0$,解得$k=5$
解析
【分析】
（1）结合给出的材料实例梳理逻辑：当x=2（即x-2=0）时，多项式$x^2+x-6$的值为0，此时该多项式对应有因式$x-2$，且能被$x-2$整除，反之这几个条件也可互推，据此总结四者的联系即可。
（2）将（1）中特殊的$x-2$推广到一般情况$x-k$，类比归纳即可得到多项式M和$x-k$的关系。
（3）应用前面总结的规律：若$x-2$能整除多项式，则$x=2$时该多项式的值为0，将$x=2$代入多项式列方程求解k即可。
【解析】
(1) 由材料规律可得：若多项式有因式$x-2$，则说明此多项式能被$x-2$整除；若$x-2=0$，则此多项式的值为0，反之也成立。
(2) 类比特殊情况的规律可得：如果关于x的多项式M，当$x=k$时M的值为0，那么M能被$x-k$整除。
(3) 因为$x-2$能整除$x^2+kx-14$，根据上述规律可知，当$x-2=0$即$x=2$时，$x^2+kx-14=0$。
将$x=2$代入多项式得：
$2^2 + 2k -14 = 0$
计算得$4 + 2k -14 = 0$，即$2k=10$，解得$k=5$。
【答案】
(1) 若多项式有因式$x-2$,则说明此多项式能被$x-2$整除;若$x-2=0$,则此多项式的值为0
(2) $M$能被$x-k$整除
(3) $k=5$
【知识点】
整式的整除、因式的定义、代数式求值
【点评】
本题为规律探索应用题，先通过具体实例归纳整式整除、因式与多项式取值的关联，再推广规律解决问题，侧重考察归纳推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）结合给出的材料实例梳理逻辑：当x=2（即x-2=0）时，多项式$x^2+x-6$的值为0，此时该多项式对应有因式$x-2$，且能被$x-2$整除，反之这几个条件也可互推，据此总结四者的联系即可。
（2）将（1）中特殊的$x-2$推广到一般情况$x-k$，类比归纳即可得到多项式M和$x-k$的关系。
（3）应用前面总结的规律：若$x-2$能整除多项式，则$x=2$时该多项式的值为0，将$x=2$代入多项式列方程求解k即可。
【解析】
(1) 由材料规律可得：若多项式有因式$x-2$，则说明此多项式能被$x-2$整除；若$x-2=0$，则此多项式的值为0，反之也成立。
(2) 类比特殊情况的规律可得：如果关于x的多项式M，当$x=k$时M的值为0，那么M能被$x-k$整除。
(3) 因为$x-2$能整除$x^2+kx-14$，根据上述规律可知，当$x-2=0$即$x=2$时，$x^2+kx-14=0$。
将$x=2$代入多项式得：
$2^2 + 2k -14 = 0$
计算得$4 + 2k -14 = 0$，即$2k=10$，解得$k=5$。
【答案】
(1) 若多项式有因式$x-2$,则说明此多项式能被$x-2$整除;若$x-2=0$,则此多项式的值为0
(2) $M$能被$x-k$整除
(3) $k=5$
【知识点】
整式的整除、因式的定义、代数式求值
【点评】
本题为规律探索应用题，先通过具体实例归纳整式整除、因式与多项式取值的关联，再推广规律解决问题，侧重考察归纳推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
