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13 先化简，再求值：$(x+1)(x-2)+(2x+1)(x-5)-3(x^2-6x-1)$，其中$x=-\dfrac{1}{2}$。
答案
原式$=8x-4$. 当$x=-\dfrac{1}{2}$时,原式$=-8$
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题思路分为三步：第一步，利用多项式乘多项式法则把原式中两个乘积项分别展开；第二步，去括号（注意括号前为负号时括号内各项要变号），再合并同类项，将原式化为最简整式；第三步，将x的取值代入最简式计算即可得到结果，这种方法比直接代入原式计算更简便，也能降低出错概率。
【解析】
解：先展开并化简原式：
$\begin{aligned}&(x+1)(x-2)+(2x+1)(x-5)-3(x^2-6x-1)\\=&(x^2 - 2x + x - 2) + (2x^2 - 10x + x - 5) - 3x^2 + 18x + 3\\=&x^2 - x - 2 + 2x^2 -9x -5 -3x^2 + 18x + 3\\=&(x^2 + 2x^2 - 3x^2) + (-x -9x + 18x) + (-2 -5 + 3)\\=&8x - 4\end{aligned}$
再将$x=-\dfrac{1}{2}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=8×(-\dfrac{1}{2}) - 4\\&=-4 -4\\&=-8\end{aligned}$
【答案】
原式化简结果为$8x-4$，当$x=-\dfrac{1}{2}$时，原式的值为$-8$
【知识点】
多项式乘多项式，整式加减运算，代数式求值
【点评】
本题属于整式运算的常规题型，核心考查整式运算的基本法则，解题时要格外注意去括号时的符号变化，以及合并同类项时不要漏项，熟练掌握基础运算法则即可轻松解决这类问题。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值题，解题思路分为三步：第一步，利用多项式乘多项式法则把原式中两个乘积项分别展开；第二步，去括号（注意括号前为负号时括号内各项要变号），再合并同类项，将原式化为最简整式；第三步，将x的取值代入最简式计算即可得到结果，这种方法比直接代入原式计算更简便，也能降低出错概率。
【解析】
解：先展开并化简原式：
$\begin{aligned}&(x+1)(x-2)+(2x+1)(x-5)-3(x^2-6x-1)\\=&(x^2 - 2x + x - 2) + (2x^2 - 10x + x - 5) - 3x^2 + 18x + 3\\=&x^2 - x - 2 + 2x^2 -9x -5 -3x^2 + 18x + 3\\=&(x^2 + 2x^2 - 3x^2) + (-x -9x + 18x) + (-2 -5 + 3)\\=&8x - 4\end{aligned}$
再将$x=-\dfrac{1}{2}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=8×(-\dfrac{1}{2}) - 4\\&=-4 -4\\&=-8\end{aligned}$
【答案】
原式化简结果为$8x-4$，当$x=-\dfrac{1}{2}$时，原式的值为$-8$
【知识点】
多项式乘多项式，整式加减运算，代数式求值
【点评】
本题属于整式运算的常规题型，核心考查整式运算的基本法则，解题时要格外注意去括号时的符号变化，以及合并同类项时不要漏项，熟练掌握基础运算法则即可轻松解决这类问题。
【难度系数】
0.8
14 如图，某中学校园内有一块长为$(x+2y)$米，宽为$(2x+y)$米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的地块（涂色部分）用来修建文化广场.
（1）用含$x,y$的式子表示“T”型地块的面积，并化简；
（2）当$x=2,y=3$时，求“T”型地块的面积.
（1）用含$x,y$的式子表示“T”型地块的面积，并化简；
（2）当$x=2,y=3$时，求“T”型地块的面积.
答案
(1) $\because (2x+y)(x+2y)-2y^2=2x^2+4xy+xy+2y^2-2y^2=2x^2+5xy$,$\therefore$“T”型地块的面积为$(2x^2+5xy)$平方米
(2) 当$x=2,y=3$时,$2x^2+5xy=2×2^2+5×2×3=8+30=38$.$\therefore$“T”型地块的面积为38平方米
(2) 当$x=2,y=3$时,$2x^2+5xy=2×2^2+5×2×3=8+30=38$.$\therefore$“T”型地块的面积为38平方米
解析
【分析】
（1）求解“T”型阴影面积可采用“整体减空白”的思路，能避免拆分阴影计算的繁琐：先计算整块长方形地块的总面积，再减去两块空白区域的面积，之后通过整式乘法法则展开、化简即可得到结果；
（2）第二问属于代数式求值问题，直接将x、y的取值代入第一问化简得到的代数式，按照运算顺序计算即可得到对应面积数值。
【解析】
（1）首先计算长方形地块的总面积，长方形面积公式为$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，已知地块长为$(x+2y)$米，宽为$(2x+y)$米，因此总面积为$(2x+y)(x+2y)$平方米。
观察图形可得两块空白部分均为边长为$y$的正方形，因此空白区域总面积为$2× y× y=2y^2$平方米。
“T”型地块面积=长方形总面积-空白总面积，计算过程如下：
$\begin{aligned}&\phantom{=}(2x+y)(x+2y)-2y^2\\&=2x^2+4xy+xy+2y^2-2y^2\\&=2x^2+5xy\end{aligned}$
（2）将$x=2$，$y=3$代入化简后的式子$2x^2+5xy$中计算：
$\begin{aligned}2x^2+5xy&=2×2^2+5×2×3\\&=2×4+30\\&=8+30\\&=38\end{aligned}$
【答案】
(1) “T”型地块的面积为$\boldsymbol{(2x^2+5xy)}$平方米；
(2) 当$x=2,y=3$时，“T”型地块的面积为$\boldsymbol{38}$平方米。
【知识点】
整式乘法运算，代数式化简，代数式求值
【点评】
本题结合几何面积计算考查整式相关运算，掌握“整体减空白”的阴影面积求解技巧可大幅简化计算过程，整式展开和代入求值时需注意运算顺序，避免出现漏项、计算错误等问题。
【难度系数】
0.7
（1）求解“T”型阴影面积可采用“整体减空白”的思路，能避免拆分阴影计算的繁琐：先计算整块长方形地块的总面积，再减去两块空白区域的面积，之后通过整式乘法法则展开、化简即可得到结果；
（2）第二问属于代数式求值问题，直接将x、y的取值代入第一问化简得到的代数式，按照运算顺序计算即可得到对应面积数值。
【解析】
（1）首先计算长方形地块的总面积，长方形面积公式为$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，已知地块长为$(x+2y)$米，宽为$(2x+y)$米，因此总面积为$(2x+y)(x+2y)$平方米。
观察图形可得两块空白部分均为边长为$y$的正方形，因此空白区域总面积为$2× y× y=2y^2$平方米。
“T”型地块面积=长方形总面积-空白总面积，计算过程如下：
$\begin{aligned}&\phantom{=}(2x+y)(x+2y)-2y^2\\&=2x^2+4xy+xy+2y^2-2y^2\\&=2x^2+5xy\end{aligned}$
（2）将$x=2$，$y=3$代入化简后的式子$2x^2+5xy$中计算：
$\begin{aligned}2x^2+5xy&=2×2^2+5×2×3\\&=2×4+30\\&=8+30\\&=38\end{aligned}$
【答案】
(1) “T”型地块的面积为$\boldsymbol{(2x^2+5xy)}$平方米；
(2) 当$x=2,y=3$时，“T”型地块的面积为$\boldsymbol{38}$平方米。
【知识点】
整式乘法运算，代数式化简，代数式求值
【点评】
本题结合几何面积计算考查整式相关运算，掌握“整体减空白”的阴影面积求解技巧可大幅简化计算过程，整式展开和代入求值时需注意运算顺序，避免出现漏项、计算错误等问题。
【难度系数】
0.7
15 在计算$(x+a)(x+b)$时，甲把$b$错看成了6，得到的结果是$x^2+8x+12$.
（1）求$a$的值；
（2）当$b=-3$时，计算$(x+a)(x+b)$的结果.
（1）求$a$的值；
（2）当$b=-3$时，计算$(x+a)(x+b)$的结果.
答案
(1) $\because (x+a)(x+6)=x^2+6x+ax+6a=x^2+(6+a)x+6a$,$\therefore x^2+(6+a)x+6a=x^2+8x+12$.$\therefore 6+a=8$,$6a=12$,解得$a=2$
(2) 当$a=2,b=-3$时,$(x+a)(x+b)=(x+2)(x-3)=x^2-x-6$
(2) 当$a=2,b=-3$时,$(x+a)(x+b)=(x+2)(x-3)=x^2-x-6$
解析
【分析】
首先解决第(1)问：甲误把b看作6，因此计算的算式为$(x+a)(x+6)$，且已知其运算结果为$x^2+8x+12$。我们可以先利用多项式乘多项式的法则展开错算的算式，再根据两个多项式相等时对应项的系数相等，列出关于a的等式，即可求出a的值。
再解决第(2)问：将第(1)问求得的a的值和题目给出的$b=-3$代入原式$(x+a)(x+b)$，再次用多项式乘多项式的法则展开计算，就能得到正确结果。
【解析】
(1) 根据题意，甲错算的算式展开为：
$\begin{aligned}(x+a)(x+6)&=x^2+6x+ax+6a\\&=x^2+(6+a)x+6a\end{aligned}$
已知错算结果为$x^2+8x+12$，因此两个多项式对应项系数相等，可得：
$6+a=8$，$6a=12$
解得$a=2$
(2) 把$a=2$，$b=-3$代入$(x+a)(x+b)$得：
$\begin{aligned}(x+2)(x-3)&=x^2-3x+2x-6\\&=x^2-x-6\end{aligned}$
【答案】
(1) $a=2$；(2) $x^2-x-6$
【知识点】
1. 多项式乘多项式 2. 多项式相等的条件 3. 代数式求值
【点评】
本题是整式运算的基础应用题型，通过错算结果反推未知参数，再代入计算正确结果，解题核心是熟练掌握多项式乘法法则，理解多项式相等时对应项系数相等的原理。
【难度系数】
0.8
首先解决第(1)问：甲误把b看作6，因此计算的算式为$(x+a)(x+6)$，且已知其运算结果为$x^2+8x+12$。我们可以先利用多项式乘多项式的法则展开错算的算式，再根据两个多项式相等时对应项的系数相等，列出关于a的等式，即可求出a的值。
再解决第(2)问：将第(1)问求得的a的值和题目给出的$b=-3$代入原式$(x+a)(x+b)$，再次用多项式乘多项式的法则展开计算，就能得到正确结果。
【解析】
(1) 根据题意，甲错算的算式展开为：
$\begin{aligned}(x+a)(x+6)&=x^2+6x+ax+6a\\&=x^2+(6+a)x+6a\end{aligned}$
已知错算结果为$x^2+8x+12$，因此两个多项式对应项系数相等，可得：
$6+a=8$，$6a=12$
解得$a=2$
(2) 把$a=2$，$b=-3$代入$(x+a)(x+b)$得：
$\begin{aligned}(x+2)(x-3)&=x^2-3x+2x-6\\&=x^2-x-6\end{aligned}$
【答案】
(1) $a=2$；(2) $x^2-x-6$
【知识点】
1. 多项式乘多项式 2. 多项式相等的条件 3. 代数式求值
【点评】
本题是整式运算的基础应用题型，通过错算结果反推未知参数，再代入计算正确结果，解题核心是熟练掌握多项式乘法法则，理解多项式相等时对应项系数相等的原理。
【难度系数】
0.8
16 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式。例：计算$(8x^2 +6x +1)÷(2x +1)$，可依照$672÷21$的计算方法用竖式进行计算（如图①②）。因此$(8x^2 +6x +1)÷(2x +1)=4x+1$。
请根据阅读材料，回答下列问题：
（1）模仿例题中列竖式计算的方法计算$(x^2 +3x +2)÷(x +1)$的值。
（2）现在有一个长方体，其长为$(x-1)\mathrm{cm}$，宽为$(x +4)\mathrm{cm}$。若这个长方体的体积为$(x^3 +6x^2 +5x -12)\mathrm{cm}^3$。求：
① 这个长方体的底面积（用含$x$的代数式表示）；
② 这个长方体的高（用含$x$的代数式表示）。
请根据阅读材料，回答下列问题：
（1）模仿例题中列竖式计算的方法计算$(x^2 +3x +2)÷(x +1)$的值。
（2）现在有一个长方体，其长为$(x-1)\mathrm{cm}$，宽为$(x +4)\mathrm{cm}$。若这个长方体的体积为$(x^3 +6x^2 +5x -12)\mathrm{cm}^3$。求：
① 这个长方体的底面积（用含$x$的代数式表示）；
② 这个长方体的高（用含$x$的代数式表示）。
答案
(1) 如图①,$(x^2+3x+2)÷(x+1)=x+2$
(2) ① $\because (x-1)(x+4)=x^2-x+4x-4=x^2+3x-4$,$\therefore$ 这个长方体的底面积为$(x^2+3x-4)\mathrm{cm}^2$
② 如图②,$(x^3+6x^2+5x-12)÷(x^2+3x-4)=x+3$,$\therefore$ 这个长方体的高为$(x+3)\mathrm{cm}$
解析
【分析】
这是一道阅读类整式运算题，解题思路如下：
1. 解第（1）问时，类比题目给出的整数除法和多项式除法的竖式计算方法，先将被除式、除式按x的降幂排列（本题已按要求排列，无缺项），再仿照整数竖式除法步骤计算：先用被除式最高次项除以除式最高次项得到商的第一项，用该项乘除式后与被除式对应项相减，得到的余式继续重复上述步骤，直到余式次数低于除式次数为止，本题余式为0，说明能整除。
2. 解第（2）问时：① 长方体底面积=长×宽，利用多项式乘多项式法则展开计算即可；② 长方体体积=底面积×高，因此高=体积÷底面积，用第（1）问学会的多项式竖式除法计算即可得到高的表达式。
【解析】
（1）按照多项式竖式除法步骤计算：
首先将被除式$x^2+3x+2$、除式$x+1$按x降幂排列，列竖式：
先算$x^2÷ x = x$，写在商的位置，用x乘除式$x+1$得$x^2+x$，对齐被除式对应项相减，得$(x^2+3x+2)-(x^2+x)=2x+2$；
再算$2x÷ x=2$，写在商的x后面，用2乘除式$x+1$得$2x+2$，对齐余式相减得0，整除。
因此$(x^2+3x+2)÷(x+1)=x+2$。
（2）① 长方体底面积为长乘宽，根据多项式乘多项式法则计算：
$(x-1)(x+4)=x· x + 4x - x -1×4 = x^2+3x-4$，单位为$\mathrm{cm}^2$。
② 长方体的高=体积÷底面积，即计算$(x^3 +6x^2 +5x -12)÷(x^2+3x-4)$，列竖式：
先算$x^3÷ x^2=x$，写在商的位置，用x乘除式$x^2+3x-4$得$x^3+3x^2-4x$，对齐被除式对应项相减，得$(x^3 +6x^2 +5x -12)-(x^3+3x^2-4x)=3x^2+9x-12$；
再算$3x^2÷ x^2=3$，写在商的x后面，用3乘除式$x^2+3x-4$得$3x^2+9x-12$，对齐余式相减得0，整除。
因此高为$x+3$，单位为$\mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 如图①,$(x^2+3x+2)÷(x+1)=x+2$
(2) ① $\because (x-1)(x+4)=x^2-x+4x-4=x^2+3x-4$,$\therefore$ 这个长方体的底面积为$(x^2+3x-4)\mathrm{cm}^2$
② 如图②,$(x^3+6x^2+5x-12)÷(x^2+3x-4)=x+3$,$\therefore$ 这个长方体的高为$(x+3)\mathrm{cm}$
【知识点】
整式的乘法，整式的除法，长方体体积公式
【点评】
本题为材料阅读类题型，通过类比整数竖式除法的运算逻辑，考查整式乘除的运算能力，解题核心是掌握多项式竖式除法的运算步骤，结合几何公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
这是一道阅读类整式运算题，解题思路如下：
1. 解第（1）问时，类比题目给出的整数除法和多项式除法的竖式计算方法，先将被除式、除式按x的降幂排列（本题已按要求排列，无缺项），再仿照整数竖式除法步骤计算：先用被除式最高次项除以除式最高次项得到商的第一项，用该项乘除式后与被除式对应项相减，得到的余式继续重复上述步骤，直到余式次数低于除式次数为止，本题余式为0，说明能整除。
2. 解第（2）问时：① 长方体底面积=长×宽，利用多项式乘多项式法则展开计算即可；② 长方体体积=底面积×高，因此高=体积÷底面积，用第（1）问学会的多项式竖式除法计算即可得到高的表达式。
【解析】
（1）按照多项式竖式除法步骤计算：
首先将被除式$x^2+3x+2$、除式$x+1$按x降幂排列，列竖式：
先算$x^2÷ x = x$，写在商的位置，用x乘除式$x+1$得$x^2+x$，对齐被除式对应项相减，得$(x^2+3x+2)-(x^2+x)=2x+2$；
再算$2x÷ x=2$，写在商的x后面，用2乘除式$x+1$得$2x+2$，对齐余式相减得0，整除。
因此$(x^2+3x+2)÷(x+1)=x+2$。
（2）① 长方体底面积为长乘宽，根据多项式乘多项式法则计算：
$(x-1)(x+4)=x· x + 4x - x -1×4 = x^2+3x-4$，单位为$\mathrm{cm}^2$。
② 长方体的高=体积÷底面积，即计算$(x^3 +6x^2 +5x -12)÷(x^2+3x-4)$，列竖式：
先算$x^3÷ x^2=x$，写在商的位置，用x乘除式$x^2+3x-4$得$x^3+3x^2-4x$，对齐被除式对应项相减，得$(x^3 +6x^2 +5x -12)-(x^3+3x^2-4x)=3x^2+9x-12$；
再算$3x^2÷ x^2=3$，写在商的x后面，用3乘除式$x^2+3x-4$得$3x^2+9x-12$，对齐余式相减得0，整除。
因此高为$x+3$，单位为$\mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 如图①,$(x^2+3x+2)÷(x+1)=x+2$
(2) ① $\because (x-1)(x+4)=x^2-x+4x-4=x^2+3x-4$,$\therefore$ 这个长方体的底面积为$(x^2+3x-4)\mathrm{cm}^2$
② 如图②,$(x^3+6x^2+5x-12)÷(x^2+3x-4)=x+3$,$\therefore$ 这个长方体的高为$(x+3)\mathrm{cm}$
【知识点】
整式的乘法，整式的除法，长方体体积公式
【点评】
本题为材料阅读类题型，通过类比整数竖式除法的运算逻辑，考查整式乘除的运算能力，解题核心是掌握多项式竖式除法的运算步骤，结合几何公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
