1[2026 山东聊城质检]下列图形中,由$∠ 1=∠ 2$能判定$AB// CD$的是（）

A
B
C
D

1.C 【解析】A选项,∠1和∠2不是同位角,也不是内错角,不能判定AB//CD,所以A选项错误,不符合题意;B选项,∠1和∠2不是同位角,也不是内错角,不能判定AB//CD,所以B选项错误,不符合题意;C选项,由∠1=∠2,推出∠1等于∠2的对顶角,由同位角相等,两直线平行能判定AB//CD,所以C选项正确,符合题意;D选项,∠1和∠2不是同位角,也不是内错角,不能判定AB//CD,所以D选项错误,不符合题意.故选C.

【分析】
要判定$AB// CD$，需结合平行线的判定定理，判断$∠1$与$∠2$是否是$AB$、$CD$被同一条截线所截得到的同位角或内错角，若满足相等的条件即可判定平行。我们逐个分析四个选项中$∠1$和$∠2$的位置关系，判断是否符合平行线判定的要求即可。
【解析】
A选项：$∠1$和$∠2$不是$AB$、$CD$被同一条直线截得的同位角或内错角，因此由$∠1=∠2$无法判定$AB// CD$，该选项不符合题意；
B选项：$∠1$和$∠2$的边不共用同一条截线，不是$AB$、$CD$被同一直线截出的同位角或内错角，无法由$∠1=∠2$判定$AB// CD$，该选项不符合题意；
C选项：$∠2$的对顶角与$∠1$是$AB$、$CD$被同一条截线截得的同位角，根据对顶角相等可知$∠2$与它的对顶角相等，结合$∠1=∠2$可推出$∠1$与$∠2$的对顶角相等，根据“同位角相等，两直线平行”即可判定$AB// CD$，该选项符合题意；
D选项：$∠1$和$∠2$不是$AB$、$CD$被同一直线截出的同位角或内错角，由$∠1=∠2$无法判定$AB// CD$，该选项不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平行线的判定；对顶角的性质；同位角的识别
【点评】
本题属于平行线判定的基础题型，解题的关键是准确区分角的位置关系，明确只有当相等的角是待判定平行的两条直线被同一条截线截出的同位角或内错角时，才能推出两直线平行。
【难度系数】
0.8

2[2026陕西西安质检]如图(1)是生活中常见的晾衣架,将其侧面抽象成平面图形如图(2)所示,则使$EG// BH$成立的条件是 ()

A.$∠ 1=∠ 5$
B.$∠ 1=∠ 2$
C.$∠ 3=∠ 4$
D.$∠ 4=∠ 5$

2.B 【解析】A选项,
∵∠1=∠5,
∴AE//GH,不能判定EG//BH,故不符合题意;B选项,
∵∠1=∠2,
∴由内错角相等,两直线平行,能判定EG//BH,故符合题意;C选项,
∵∠3=∠4,
∴MN//EH,不能判定EG//BH,故不符合题意;D选项,∠4=∠5,不能判定EG//BH,故不符合题意.故选B.

【分析】
要判断能使EG//BH成立的条件，需结合平行线的判定定理分析：首先明确目标是判定直线EG与BH平行，因此需找到这两条直线被同一条截线所截形成的同位角相等、内错角相等或同旁内角互补的条件。接下来逐个分析选项中角的位置关系，判断每组角相等时能推出的平行线是否为EG和BH即可。
【解析】
A选项：∠1和∠5是直线AE、GH被直线EG所截得到的内错角，若∠1=∠5，可判定AE//GH，不能推出EG//BH，不符合题意；
B选项：∠1和∠2是直线EG、BH被直线AB所截得到的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，若∠1=∠2，可直接判定EG//BH，符合题意；
C选项：∠3和∠4是直线MN、EH被直线EF所截得到的内错角，若∠3=∠4，可判定MN//EH，不能推出EG//BH，不符合题意；
D选项：∠4和∠5不是直线EG、BH被同一条截线所截形成的同位角或内错角，因此∠4=∠5无法判定EG//BH，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.平行线的判定
2.内错角的识别
【点评】
本题考查平行线的判定应用，解题的关键是准确识别不同截线所截形成的角的类型，结合判定定理逐一筛选即可，是平行线判定的基础题型。
【难度系数】
0.8

3[2026贵州贵阳质检]如图，$∠ ABC=90°$，$AB=10\ \mathrm{cm}$，$∠ C+∠ D=180°$，则点B到AD的距离是 cm.
（第3题图）（第4题图）

3.10 【解析】
∵∠C+∠D=180°,
∴AD//BC.
∵∠ABC=90°,
∴∠A=90°,即BA⊥AD.
∵AB=10 cm,
∴点B到AD的距离是10 cm,故答案为10.

【分析】
要解决本题，首先明确点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长度，因此我们需要先判断线段AB是否垂直于AD。第一步，根据已知∠C+∠D=180°，利用同旁内角互补可判定AD和BC平行；第二步，结合∠ABC=90°（即AB⊥BC），根据平行线的性质可推出AB⊥AD，由此可得AB就是点B到AD的垂线段，其长度就是所求距离。
【解析】
∵∠C与∠D是直线AD、BC被CD所截形成的同旁内角，且∠C+∠D=180°，
∴AD//BC（同旁内角互补，两直线平行）。
∵∠ABC=90°，即AB⊥BC，
∴∠BAD=180°-∠ABC=90°（两直线平行，同旁内角互补），即BA⊥AD。
∴线段AB是点B到AD的垂线段，
又
∵AB=10 cm，
∴点B到AD的距离为10 cm。
【答案】
10
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题结合生活中的实物场景考察几何基础知识，解题关键是熟练运用平行线的判定定理和性质推导垂直关系，再结合点到直线距离的定义求解，属于基础类题目，注重对基础定理的理解和应用能力的考察。
【难度系数】
0.8

4 如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，有下列条件：①∠1=∠2；②∠1+∠2=90°；③∠3+∠4=90°；④∠2+∠3=90°。其中能判定AB//CD的有。（填序号）

4.②③④ 【解析】
∵AE平分∠BAC,CE平分∠ACD,
∴∠1=∠3,∠2=∠4. ①
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠3=∠2+∠4,同旁内角相等,不能判定AB//CD; ②
∵∠1+∠2=90°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°,
∴AB//CD; ③④同②,皆可由同旁内角互补,判定AB//CD. 故答案为②③④.

【分析】
要判定AB//CD，根据平行线的判定定理，需证同旁内角∠BAC+∠ACD=180°。已知AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，根据角平分线定义可得∠BAC=2∠1=2∠3，∠ACD=2∠2=2∠4，因此只需推导得出∠1+∠2=90°即可。接下来逐个分析4个条件：①∠1=∠2只能得到∠BAC=∠ACD，同旁内角相等无法判定平行；②∠1+∠2=90°可直接推出∠BAC+∠ACD=180°，可判定平行；③∠3+∠4=90°，结合∠3=∠1、∠4=∠2，等价于∠1+∠2=90°，可判定平行；④∠2+∠3=90°，结合∠3=∠1，也等价于∠1+∠2=90°，可判定平行。
【解析】
∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，∠BAC=∠1+∠3，∠ACD=∠2+∠4。
对条件①：若∠1=∠2，可得∠BAC=∠ACD，同旁内角相等不能判定AB//CD，故①不符合要求；
对条件②：若∠1+∠2=90°，则∠BAC+∠ACD=2(∠1+∠2)=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”可判定AB//CD，故②符合要求；
对条件③：若∠3+∠4=90°，因为∠1=∠3，∠2=∠4，所以∠1+∠2=∠3+∠4=90°，同理可得∠BAC+∠ACD=180°，可判定AB//CD，故③符合要求；
对条件④：若∠2+∠3=90°，因为∠1=∠3，所以∠1+∠2=90°，同理可得∠BAC+∠ACD=180°，可判定AB//CD，故④符合要求。
【答案】
②③④
【知识点】
角平分线的定义；平行线的判定定理
【点评】
本题是平行线判定的基础综合题，解题的核心是将AB//CD的判定条件转化为∠BAC与∠ACD互补，再结合角平分线的性质推导对应角度关系即可，需要注意只有同旁内角互补才能判定两直线平行，相等无法判定。
【难度系数】
0.7

5[2026山东临沂期末]把下面的说理过程补充完整：
已知:如图,直线AB,CD被直线EF所截,点H为CD与EF的交点,GH⊥CD于点H,∠2=30°,∠1=60°.
求证:AB//CD.
证明:∵GH⊥CD(),
∴∠CHG=90°().
又∵∠2=30°(),
∴∠3=,
∴∠4=60°().
又∵∠1=60°(),
∴∠1=∠4(),
∴AB//CD().

5.已知 垂直的定义 已知 60° 对顶角相等 已知 等量代换 同位角相等,两直线平行

【分析】
这是一道几何说理补全题，解题时要结合已知条件和已学的几何定义、定理，梳理每一步的逻辑关系：首先根据垂直的相关定义得到直角，结合已知∠2的度数算出∠3的度数，再利用对顶角的性质得到∠4的度数，最后对比∠1和∠4的大小关系，根据平行线的判定定理即可证明AB平行于CD，每一步的依据要对应条件和结论的逻辑关联填写。
【解析】
证明过程依次填写如下：
1. GH⊥CD是题目给出的已知条件，第一空填“已知”；
2. 由两条直线垂直可推出它们的夹角为90°，这是垂直的定义，第二空填“垂直的定义”；
3. ∠2=30°是题目给出的已知条件，第三空填“已知”；
4. 因为∠CHG=∠2+∠3=90°，∠2=30°，所以∠3=90°-30°=60°；
5. ∠3和∠4是对顶角，对顶角大小相等，第五空填“对顶角相等”；
6. ∠1=60°是题目给出的已知条件，第六空填“已知”；
7. ∠1和∠4的度数均为60°，二者相等，推导依据是“等量代换”；
8. ∠1和∠4是同位角，同位角相等可推出两条被截直线平行，最后一空填“同位角相等，两直线平行”。
【答案】
已知 垂直的定义 已知 60° 对顶角相等 已知 等量代换 同位角相等,两直线平行
【知识点】
垂直的定义；对顶角相等；平行线的判定
【点评】
本题属于基础的几何证明题，重点考查对几何证明逻辑的理解和基础定义、定理的运用，要求学生掌握证明过程中“每一步都要有理有据”的原则，熟练记忆相关定义和判定定理。
【难度系数】
0.8

6[2026山东济南调研]如图,点E,F分别是CD,AB上的点,$∠ C=∠ 1$,$∠ 2$和$∠ D$互余,$BE⊥ FD$于点G.求证:$AB// CD$.(推理过程请注明理由)

6.【证明】
∵BE⊥FD(已知),
∴∠EGD=90°(垂直的定义),
∴∠1+∠D=90°. 又
∵∠2与∠D互余(已知),
∴∠2+∠D=90°,
∴∠1=∠2(同角的余角相等).
∵∠1=∠C(已知),
∴∠2=∠C(等量代换),
∴AB//CD(内错角相等,两直线平行).

【分析】
要证明AB//CD，需根据平行线的判定定理找到对应的角相等或互补关系。首先从已知的BE⊥FD出发，可得∠1与∠D互余；结合∠2也和∠D互余，可利用同角的余角相等推出∠1=∠2；再结合已知∠C=∠1，等量代换得到内错角∠2=∠C，即可判定AB与CD平行。
【解析】
证明：
∵BE⊥FD（已知），
∴∠EGD=90°（垂直的定义），
∴∠1+∠D=90°。
又
∵∠2与∠D互余（已知），
∴∠2+∠D=90°，
∴∠1=∠2（同角的余角相等）。
∵∠1=∠C（已知），
∴∠2=∠C（等量代换），
∴AB//CD（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
∵BE⊥FD(已知),
∴∠EGD=90°(垂直的定义),
∴∠1+∠D=90°.
又
∵∠2与∠D互余(已知),
∴∠2+∠D=90°,
∴∠1=∠2(同角的余角相等).
∵∠1=∠C(已知),
∴∠2=∠C(等量代换),
∴AB//CD(内错角相等,两直线平行).
【知识点】
垂直的定义；余角的性质；平行线的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，主要考察角的相关性质与平行线判定的综合应用，解题关键是通过互余关系推导得到相等的角，进而结合判定定理证明平行，有助于锻炼逻辑推导能力和证明过程的规范书写能力。
【难度系数】
0.7

7 如图,已知点E在BD上,AE⊥CE且EC平分∠DEF.
(1)求证:EA平分∠BEF;
(2)若∠1=∠A,∠4=∠C,求证:AB//CD.

刷易错 小心有坑~

7.【证明】(1)
∵AE⊥CE,
∴∠AEC=90°,
∴∠2+∠3 = 90°,∠1 + ∠4 = 90°. 又
∵EC平分∠DEF,
∴∠3 = ∠4,
∴∠1 = ∠2,
∴EA平分∠BEF.
(2)
∵∠1 = ∠A,∠4 = ∠C,
∴∠1+∠A+∠4+∠C=2(∠1+∠4)=180°,
∴∠B+∠D=(180°-2∠1)+(180°-2∠4)=360°-2(∠1+∠4)=180°,
∴AB//CD.

【分析】
(1) 要证明EA平分∠BEF，只需证明∠1=∠2即可。首先根据AE⊥CE得到直角，推出∠2与∠3互余、∠1与∠4互余；再结合EC平分∠DEF得∠3=∠4，根据等角的余角相等就能推出∠1=∠2，完成第一问的证明。
(2) 要证明AB//CD，可通过证明同旁内角∠B和∠D互补实现。已知∠1=∠A、∠4=∠C，结合三角形内角和为180°分别表示出∠B和∠D，计算两角之和，若和为180°即可判定两直线平行。
【解析】
(1) 证明：
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=90°，
∴∠2+∠3 = 90°，∠1 + ∠4 = 90°。
又
∵EC平分∠DEF，
∴∠3 = ∠4，
∴∠1 = ∠2，
∴EA平分∠BEF。
(2) 证明：
∵∠1 = ∠A，∠4 = ∠C，
∴∠1+∠A+∠4+∠C=2(∠1+∠4)=180°，
∴∠B+∠D=(180°-2∠1)+(180°-2∠4)=360°-2(∠1+∠4)=180°，
∴AB//CD。
【答案】
(1) EA平分∠BEF，证明如上；
(2) AB//CD，证明如上。
【知识点】
角平分线的判定与性质；垂直的定义；平行线的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，将多个基础几何知识点结合考查，解题核心是梳理清楚图中角的数量关系，熟练掌握相关性质和判定定理即可顺利解答，能很好地锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

8 如图.
(1)由∠1=∠2,可以得到哪两条直线平行?
(2)由∠ABC+∠BCD=180°,可以得到哪两条直线平行?

8.【解】(1)
∵∠1 = ∠2,
∴AD//BC(内错角相等,两直线平行).
(2)
∵∠ABC+∠BCD = 180°,
∴AB//DC(同旁内角互补,两直线平行).

【分析】
解决本题需先明确已知角的位置属性，再结合平行线的判定定理推导对应平行直线：
(1) 先判断∠1和∠2的位置：二者是直线AD、BC被AC所截形成的内错角，内错角相等可推出两被截线平行；
(2) 再判断∠ABC和∠BCD的位置：二者是直线AB、DC被BC所截形成的同旁内角，同旁内角互补可推出两被截线平行。
【解析】
(1)
∵∠1 = ∠2，∠1和∠2是AD、BC被AC所截的内错角，
∴AD//BC（内错角相等，两直线平行）。
(2)
∵∠ABC+∠BCD = 180°，∠ABC和∠BCD是AB、DC被BC所截的同旁内角，
∴AB//DC（同旁内角互补，两直线平行）。
【答案】
(1) AD//BC；(2) AB//DC
【知识点】
平行线的判定；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行
【点评】
本题是平行线判定的基础题，核心考查对内错角、同旁内角的识别能力，以及平行线判定定理的直接应用，准确区分角的位置关系是解题的关键。
【难度系数】
0.9