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1 关于“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”，有下列说法：①是命题；②是假命题；③是真命题；④是定理. 其中正确的是（
A.①③
B.①③④
C.③④
D.①②④
B
）A.①③
B.①③④
C.③④
D.①②④
答案
1.B 【解析】对于题目中的语句:①是命题;③是真命题;④是定理. 故选 B.
解析
【分析】
解题时先依次回忆相关概念：首先明确命题的定义，判断题干语句是否符合命题的特征；再判断语句的真实性，区分真命题和假命题；最后结合定理的定义，判断该语句是否属于定理，再对应四个说法筛选正确选项即可。
【解析】
第一步：判断是否为命题
命题是可以判断真假的陈述句，题干语句对线段的长短关系作出了明确判断，因此属于命题，故①正确。
第二步：判断命题的真假
“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”是经过验证的正确几何结论，属于真命题，因此②错误，③正确。
第三步：判断是否为定理
定理是经过严格推理证明为真的命题，该结论是几何中公认的已被证明的真命题，属于定理，故④正确。
综上，①③④正确，对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
命题的定义；真假命题判定；定理的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对命题、真假命题、定理三类概念的区分，熟练掌握相关定义就能快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时先依次回忆相关概念：首先明确命题的定义，判断题干语句是否符合命题的特征；再判断语句的真实性，区分真命题和假命题；最后结合定理的定义，判断该语句是否属于定理，再对应四个说法筛选正确选项即可。
【解析】
第一步：判断是否为命题
命题是可以判断真假的陈述句，题干语句对线段的长短关系作出了明确判断，因此属于命题，故①正确。
第二步：判断命题的真假
“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”是经过验证的正确几何结论，属于真命题，因此②错误，③正确。
第三步：判断是否为定理
定理是经过严格推理证明为真的命题，该结论是几何中公认的已被证明的真命题，属于定理，故④正确。
综上，①③④正确，对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
命题的定义；真假命题判定；定理的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对命题、真假命题、定理三类概念的区分，熟练掌握相关定义就能快速作答。
【难度系数】
0.8
2 某工程队在修建高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，可以说明这样做能缩短路程的公理为（
A.直线的公理
B.直线的公理或线段最短公理
C.线段最短公理
D.平行公理
C
）A.直线的公理
B.直线的公理或线段最短公理
C.线段最短公理
D.平行公理
答案
2.C 【解析】两点之间线段最短.
解析
【分析】
解题时首先明确本题考查几何公理的实际应用，第一步先梳理题干核心需求：缩短道路起点到终点的路程。第二步回忆各选项对应的公理内容：直线公理是“两点确定一条直线”，用于确定直线位置；线段最短公理是“两点之间线段最短”，用于解决最短路径问题；平行公理是平行线相关的公理，和路径长度无关。第三步结合场景匹配公理：弯曲道路改直，就是把原本的弯曲路径变成两点之间的线段，对应线段最短公理，再逐一排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
将弯曲道路改直的本质是让道路成为起点、终点两点之间的线段，根据“两点之间，线段最短”的线段最短公理，此时路径长度最短，因此能缩短路程。
对各选项逐一分析：
A. 直线公理用于确定直线位置，和缩短路程无关，排除；
B. 包含不符合要求的直线公理，排除；
D. 平行公理用于平行线相关问题，和本题场景无关，排除。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 线段的性质 2. 几何公理辨析
【点评】
本题属于几何公理应用类基础题，解题核心是准确区分不同公理的适用场景，注意不要混淆直线公理和线段性质的用途。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确本题考查几何公理的实际应用，第一步先梳理题干核心需求：缩短道路起点到终点的路程。第二步回忆各选项对应的公理内容：直线公理是“两点确定一条直线”，用于确定直线位置；线段最短公理是“两点之间线段最短”，用于解决最短路径问题；平行公理是平行线相关的公理，和路径长度无关。第三步结合场景匹配公理：弯曲道路改直，就是把原本的弯曲路径变成两点之间的线段，对应线段最短公理，再逐一排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
将弯曲道路改直的本质是让道路成为起点、终点两点之间的线段，根据“两点之间，线段最短”的线段最短公理，此时路径长度最短，因此能缩短路程。
对各选项逐一分析：
A. 直线公理用于确定直线位置，和缩短路程无关，排除；
B. 包含不符合要求的直线公理，排除；
D. 平行公理用于平行线相关问题，和本题场景无关，排除。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 线段的性质 2. 几何公理辨析
【点评】
本题属于几何公理应用类基础题，解题核心是准确区分不同公理的适用场景，注意不要混淆直线公理和线段性质的用途。
【难度系数】
0.8
3 下面关于“证明”的说法正确的是 （
A.“证明”是一种命题
B.“证明”是一种定理
C.“证明”是一种推理过程
D.“证明”就是举例说明
C
）A.“证明”是一种命题
B.“证明”是一种定理
C.“证明”是一种推理过程
D.“证明”就是举例说明
答案
3.C 【解析】根据证明的定义可知“证明”是一种推理过程.
解析
【分析】
本题考查基础概念辨析，解题时首先回忆命题、定理、证明的相关定义，再逐一核对每个选项的说法是否符合对应概念的定义，就能选出正确答案。
【解析】
我们逐一分析选项：
A选项：命题是判断一件事情的陈述句，“证明”是推导的过程，不属于命题，该选项错误；
B选项：定理是经过推理证实的真命题，“证明”是推导过程，不属于定理，该选项错误；
C选项：根据证明的定义，证明是从题设出发，结合公理、定理、定义等已知结论，通过逻辑推理判断命题是否成立的过程，属于推理过程，该选项正确；
D选项：举例说明只能验证个别情况，无法完成严谨的证明，证明需要完整的逻辑推导，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
证明的定义、命题的概念、定理的概念
【点评】
本题属于基础题，核心考查对几何基础概念的区分，只要准确掌握相关概念的含义就能顺利解答，是概念类考点的典型考法。
【难度系数】
0.9
本题考查基础概念辨析，解题时首先回忆命题、定理、证明的相关定义，再逐一核对每个选项的说法是否符合对应概念的定义，就能选出正确答案。
【解析】
我们逐一分析选项：
A选项：命题是判断一件事情的陈述句，“证明”是推导的过程，不属于命题，该选项错误；
B选项：定理是经过推理证实的真命题，“证明”是推导过程，不属于定理，该选项错误；
C选项：根据证明的定义，证明是从题设出发，结合公理、定理、定义等已知结论，通过逻辑推理判断命题是否成立的过程，属于推理过程，该选项正确；
D选项：举例说明只能验证个别情况，无法完成严谨的证明，证明需要完整的逻辑推导，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
证明的定义、命题的概念、定理的概念
【点评】
本题属于基础题，核心考查对几何基础概念的区分，只要准确掌握相关概念的含义就能顺利解答，是概念类考点的典型考法。
【难度系数】
0.9
4[2026河北保定期末]如下是两条直线平行的证明过程.
如图,已知∠1=∠3,∠2+∠3=180°,求证:AB与DE平行.证明:
①$AB// DE$;
② $∠2 + ∠4 = 180°, ∠2 + ∠3=180°$;
③$∠3=∠4$;
④$∠1=∠4$;
⑤$∠1=∠3$.
上述证明步骤被打乱,则下列排序正确的是
(
A.①②③④⑤
B.②③⑤④①
C.②④⑤③①
D.③②④⑤①
如图,已知∠1=∠3,∠2+∠3=180°,求证:AB与DE平行.证明:
①$AB// DE$;
② $∠2 + ∠4 = 180°, ∠2 + ∠3=180°$;
③$∠3=∠4$;
④$∠1=∠4$;
⑤$∠1=∠3$.
上述证明步骤被打乱,则下列排序正确的是
(
B
)A.①②③④⑤
B.②③⑤④①
C.②④⑤③①
D.③②④⑤①
答案
4.B 【解析】
∵ ②∠2 + ∠4 = 180°(平角的定义),∠2+∠3=180°(已知),
∴ ③∠3=∠4(同角的补角相等).
∵ ⑤∠1=∠3(已知),
∴ ④∠1=∠4(等量代换),
∴ ①$AB// DE$(同位角相等,两直线平行).
∴ 正确排序是②③⑤④①,故选 B.
∵ ②∠2 + ∠4 = 180°(平角的定义),∠2+∠3=180°(已知),
∴ ③∠3=∠4(同角的补角相等).
∵ ⑤∠1=∠3(已知),
∴ ④∠1=∠4(等量代换),
∴ ①$AB// DE$(同位角相等,两直线平行).
∴ 正确排序是②③⑤④①,故选 B.
解析
【分析】
做这类证明步骤排序题，需遵循“从已知条件出发，结合相关定理逐步推导到最终结论”的逻辑。我们的目标是证明AB//DE，需要先得到能判定平行的角的关系：首先已知∠2+∠3=180°，结合平角定义可知∠2+∠4=180°，对应步骤②；接下来根据同角的补角相等，可推出∠3=∠4，对应步骤③；再结合题目给出的已知条件∠1=∠3，对应步骤⑤；通过等量代换可得到∠1=∠4，对应步骤④；最后∠1和∠4是同位角，根据同位角相等、两直线平行，即可推出AB//DE，对应步骤①，由此可确定正确顺序。
【解析】
证明过程如下：
∵ ②∠2 + ∠4 = 180°（平角的定义），∠2+∠3=180°（已知），
∴ ③∠3=∠4（同角的补角相等）。
∵ ⑤∠1=∠3（已知），
∴ ④∠1=∠4（等量代换），
∴ ①$AB// DE$（同位角相等，两直线平行）。
因此正确排序为②③⑤④①，故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的判定；补角的性质；等量代换
【点评】
本题考查几何证明的逻辑排序，解题核心是理清每一步推导的因果关系，所有推导都要有对应的已知条件或定理作为依据，符合几何证明“由因导果”的逻辑即可快速解题。
【难度系数】
0.7
做这类证明步骤排序题，需遵循“从已知条件出发，结合相关定理逐步推导到最终结论”的逻辑。我们的目标是证明AB//DE，需要先得到能判定平行的角的关系：首先已知∠2+∠3=180°，结合平角定义可知∠2+∠4=180°，对应步骤②；接下来根据同角的补角相等，可推出∠3=∠4，对应步骤③；再结合题目给出的已知条件∠1=∠3，对应步骤⑤；通过等量代换可得到∠1=∠4，对应步骤④；最后∠1和∠4是同位角，根据同位角相等、两直线平行，即可推出AB//DE，对应步骤①，由此可确定正确顺序。
【解析】
证明过程如下：
∵ ②∠2 + ∠4 = 180°（平角的定义），∠2+∠3=180°（已知），
∴ ③∠3=∠4（同角的补角相等）。
∵ ⑤∠1=∠3（已知），
∴ ④∠1=∠4（等量代换），
∴ ①$AB// DE$（同位角相等，两直线平行）。
因此正确排序为②③⑤④①，故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的判定；补角的性质；等量代换
【点评】
本题考查几何证明的逻辑排序，解题核心是理清每一步推导的因果关系，所有推导都要有对应的已知条件或定理作为依据，符合几何证明“由因导果”的逻辑即可快速解题。
【难度系数】
0.7
5 观察下列算式，完成问题：
算式①：$4^2 - 2^2 = 12 = 4×3$；算式②：$6^2 - 4^2 = 20 = 4×5$；
算式③：$8^2 - 6^2 = 28 = 4×7$；算式④：$10^2 - 8^2 = 36 = 4×9$；…。
（1）按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤：
（2）上述算式用文字表示为“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”。若设两个连续偶数分别为$2n$和$2n+2$（$n$为整数），请证明上述命题成立。
（3）命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”是否成立？若成立，请证明；若不成立，请举出反例。
算式①：$4^2 - 2^2 = 12 = 4×3$；算式②：$6^2 - 4^2 = 20 = 4×5$；
算式③：$8^2 - 6^2 = 28 = 4×7$；算式④：$10^2 - 8^2 = 36 = 4×9$；…。
（1）按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤：
$12^2 - 10^2 = 44 = 4×11$
。（2）上述算式用文字表示为“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”。若设两个连续偶数分别为$2n$和$2n+2$（$n$为整数），请证明上述命题成立。
（3）命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”是否成立？若成立，请证明；若不成立，请举出反例。
答案
5.(1)【解】根据题意可得,算式⑤:$12^2 - 10^2 = 44 = 4×11$,故答案为 $12^2 - 10^2 = 44 = 4×11$.
(2)【证明】$(2n+2)^2 - (2n)^2 = (2n+2+2n) · (2n+2-2n) = (4n+2)×2 = 4(2n+1)$.
∵ $4(2n+1)$能被4整除,且$2n+1$为奇数,
∴ 任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍成立.
(3)【解】原命题不成立. 反例:$7^2 - 5^2 = 24 = 4×6$,即$7^2 - 5^2$是4的6倍,6是偶数,不是奇数.
(2)【证明】$(2n+2)^2 - (2n)^2 = (2n+2+2n) · (2n+2-2n) = (4n+2)×2 = 4(2n+1)$.
∵ $4(2n+1)$能被4整除,且$2n+1$为奇数,
∴ 任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍成立.
(3)【解】原命题不成立. 反例:$7^2 - 5^2 = 24 = 4×6$,即$7^2 - 5^2$是4的6倍,6是偶数,不是奇数.
解析
【分析】
（1）观察已知4个算式的规律：左边是两个连续偶数的平方差，较小偶数依次为4、6、8、10，每次递增2；右边为4乘连续奇数（3、5、7、9，每次递增2），据此可直接推导算式⑤；
（2）要证明命题成立，可利用平方差公式对两个连续偶数的平方差展开化简，判断结果是否符合“4×奇数”的形式即可；
（3）判断命题是否成立，若不成立只需举出一个不符合结论的反例，可选取两组连续奇数计算平方差验证结论。
【解析】
（1）根据规律，算式⑤的两个连续偶数为12和10，计算得：
$12^2 - 10^2 = 144 - 100 = 44 = 4×11$
（2）证明：根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，代入$a=2n+2$，$b=2n$得：
$\begin{aligned}(2n+2)^2 - (2n)^2&=(2n+2+2n)(2n+2-2n)\\&=(4n+2)×2\\&=4(2n+1)\end{aligned}$
∵n为整数，
∴$2n+1$是奇数，$4(2n+1)$表示4乘奇数，因此任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍，命题成立。
（3）原命题不成立，反例：取连续奇数7和5，计算得$7^2 - 5^2 = 49 - 25 = 24 = 4×6$，其中6是偶数，即该平方差是4的偶数倍，不符合结论，因此原命题不成立。
【答案】
（1）$12^2 - 10^2 = 44 = 4×11$
（2）命题成立，证明见解析；
（3）不成立，反例：$7^2 - 5^2 = 24 = 4×6$（反例不唯一）
【知识点】
平方差公式，数字规律探究，命题真假判断
【点评】
本题结合数字规律考察整式运算的应用，既需要通过观察总结算式共性，也需要熟练运用平方差公式完成代数推导，同时要掌握假命题的判断方法：只需举出一个反例即可证明命题不成立，整体考察基础的代数运算和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）观察已知4个算式的规律：左边是两个连续偶数的平方差，较小偶数依次为4、6、8、10，每次递增2；右边为4乘连续奇数（3、5、7、9，每次递增2），据此可直接推导算式⑤；
（2）要证明命题成立，可利用平方差公式对两个连续偶数的平方差展开化简，判断结果是否符合“4×奇数”的形式即可；
（3）判断命题是否成立，若不成立只需举出一个不符合结论的反例，可选取两组连续奇数计算平方差验证结论。
【解析】
（1）根据规律，算式⑤的两个连续偶数为12和10，计算得：
$12^2 - 10^2 = 144 - 100 = 44 = 4×11$
（2）证明：根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，代入$a=2n+2$，$b=2n$得：
$\begin{aligned}(2n+2)^2 - (2n)^2&=(2n+2+2n)(2n+2-2n)\\&=(4n+2)×2\\&=4(2n+1)\end{aligned}$
∵n为整数，
∴$2n+1$是奇数，$4(2n+1)$表示4乘奇数，因此任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍，命题成立。
（3）原命题不成立，反例：取连续奇数7和5，计算得$7^2 - 5^2 = 49 - 25 = 24 = 4×6$，其中6是偶数，即该平方差是4的偶数倍，不符合结论，因此原命题不成立。
【答案】
（1）$12^2 - 10^2 = 44 = 4×11$
（2）命题成立，证明见解析；
（3）不成立，反例：$7^2 - 5^2 = 24 = 4×6$（反例不唯一）
【知识点】
平方差公式，数字规律探究，命题真假判断
【点评】
本题结合数字规律考察整式运算的应用，既需要通过观察总结算式共性，也需要熟练运用平方差公式完成代数推导，同时要掌握假命题的判断方法：只需举出一个反例即可证明命题不成立，整体考察基础的代数运算和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
6[2026河南南阳期末]求证:全等三角形对应边上的中线相等.
我们在证明文字命题时,通常应遵循这样的步骤:(按要求填空,写出证明过程)
(1)弄清命题的条件和结论,这个命题的条件是
(2)结合命题的条件和结论,画出符合题意的图形,如图所示.并进行证明.
已知:如图,①
求证:②
证明:…
我们在证明文字命题时,通常应遵循这样的步骤:(按要求填空,写出证明过程)
(1)弄清命题的条件和结论,这个命题的条件是
两条线段是全等三角形对应边上的中线
,结论是这两条线段相等
.(2)结合命题的条件和结论,画出符合题意的图形,如图所示.并进行证明.
已知:如图,①
$△ ABC ≌ △ A'B'C'$
,线段AD,A'D'分别是边BC,B'C'上的中线.求证:②
$AD=A'D'$
.证明:…
答案
6.【解】(1)条件:两条线段是全等三角形对应边上的中线,结论:这两条线段相等,故答案为两条线段是全等三角形对应边上的中线,这两条线段相等.
(2)已知:如图, $△ ABC ≌ △ A'B'C'$,线段AD,A'D'分别是边BC,B'C'上的中线.
求证:$AD=A'D'$.
证明:
∵ $△ ABC ≌ △ A'B'C'$,
∴ $AB=A'B',∠B=∠B',BC=B'C'$.
∵ AD,A'D'分别是边BC,B'C'上的中线,
∴ $BD = \frac{1}{2} BC, B'D' = \frac{1}{2} B'C'$,
∴ $BD = B'D'$. 在 $△ ABD$ 和 $△ A'B'D'$ 中,
$\begin{cases} AB=A'B', \\ ∠B=∠B', \\ BD=B'D', \end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ A'B'D' (\mathrm{SAS})$,
∴ $AD = A'D'$. 故答案为 $△ ABC ≌ △ A'B'C'$, $AD=A'D'$.
配图
解析
【分析】
这是一道文字类几何证明题，解题思路分为三步：首先拆分命题的条件和结论，明确证明目标；其次将文字描述转化为几何符号语言，写出对应的已知和求证；最后推导时先利用全等三角形的性质得到对应边、对应角相等，再结合中线的定义得到相等的线段，通过SAS判定小三角形全等，即可得到对应中线相等的结论。
【解析】
(1) 命题由条件和结论组成，本题命题的条件是两条线段是全等三角形对应边上的中线，结论是这两条线段相等。
(2) 补全已知与求证后证明如下：
已知：$△ ABC ≌ △ A'B'C'$，线段AD,A'D'分别是边BC,B'C'上的中线。
求证：$AD=A'D'$。
证明：
$\because △ ABC ≌ △ A'B'C'$，
$\therefore AB=A'B',∠B=∠B',BC=B'C'$。
$\because$ AD,A'D'分别是边BC,B'C'上的中线，
$\therefore BD = \frac{1}{2} BC, B'D' = \frac{1}{2} B'C'$，
$\therefore BD = B'D'$。
在 $△ ABD$ 和 $△ A'B'D'$ 中，
$\begin{cases} AB=A'B', \\ ∠B=∠B', \\ BD=B'D', \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ A'B'D' (\mathrm{SAS})$，
$\therefore AD = A'D'$。
【答案】
(1) 两条线段是全等三角形对应边上的中线；这两条线段相等
(2) ① $△ ABC ≌ △ A'B'C'$；② $AD=A'D'$
证明过程见解析
【知识点】
全等三角形的性质与判定；三角形中线的定义；文字命题证明
【点评】
本题是典型的基础几何证明题，考查文字命题的规范证明流程，要求学生能准确完成文字语言、图形语言、符号语言的转化，熟练运用全等三角形的相关定理推导结论，能有效锻炼逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
这是一道文字类几何证明题，解题思路分为三步：首先拆分命题的条件和结论，明确证明目标；其次将文字描述转化为几何符号语言，写出对应的已知和求证；最后推导时先利用全等三角形的性质得到对应边、对应角相等，再结合中线的定义得到相等的线段，通过SAS判定小三角形全等，即可得到对应中线相等的结论。
【解析】
(1) 命题由条件和结论组成，本题命题的条件是两条线段是全等三角形对应边上的中线，结论是这两条线段相等。
(2) 补全已知与求证后证明如下：
已知：$△ ABC ≌ △ A'B'C'$，线段AD,A'D'分别是边BC,B'C'上的中线。
求证：$AD=A'D'$。
证明：
$\because △ ABC ≌ △ A'B'C'$，
$\therefore AB=A'B',∠B=∠B',BC=B'C'$。
$\because$ AD,A'D'分别是边BC,B'C'上的中线，
$\therefore BD = \frac{1}{2} BC, B'D' = \frac{1}{2} B'C'$，
$\therefore BD = B'D'$。
在 $△ ABD$ 和 $△ A'B'D'$ 中，
$\begin{cases} AB=A'B', \\ ∠B=∠B', \\ BD=B'D', \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ A'B'D' (\mathrm{SAS})$，
$\therefore AD = A'D'$。
【答案】
(1) 两条线段是全等三角形对应边上的中线；这两条线段相等
(2) ① $△ ABC ≌ △ A'B'C'$；② $AD=A'D'$
证明过程见解析
【知识点】
全等三角形的性质与判定；三角形中线的定义；文字命题证明
【点评】
本题是典型的基础几何证明题，考查文字命题的规范证明流程，要求学生能准确完成文字语言、图形语言、符号语言的转化，熟练运用全等三角形的相关定理推导结论，能有效锻炼逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
