1[2025广东河源期末,中]如图,在下列给出的条件中,不能判定$AB// DF$的是 ()


A.$∠ A=∠ 3$
B.$∠ A+∠ 2=180°$
C.$∠ 1=∠ 4$
D.$∠ 1=∠ A$

1.D 【解析】因为∠A=∠3,所以AB//DF(同位角相等,两直线平行),故A选项不符合题意.因为∠A+∠2=180°,所以AB//DF(同旁内角互补,两直线平行),故B选项不符合题意.因为∠1=∠4,所以AB//DF(内错角相等,两直线平行),故C选项不符合题意.因为∠1=∠A,所以AC//DE(同位角相等,两直线平行),不能判定AB//DF,故D选项符合题意.故选D.

【分析】
本题考查平行线的判定，解题时需结合平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行，逐一分析每个选项中的角是哪两条直线被哪条直线所截形成的，判断由该条件推出的平行关系是否为$AB// DF$，最终选出符合要求的选项。
【解析】
A选项：$∠ A$和$∠ 3$是直线$AB$、$DF$被直线$AC$所截形成的同位角，若$∠ A=∠ 3$，根据“同位角相等，两直线平行”，可判定$AB// DF$，不符合题意；
B选项：$∠ A$和$∠ 2$是直线$AB$、$DF$被直线$AC$所截形成的同旁内角，若$∠ A+∠ 2=180°$，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可判定$AB// DF$，不符合题意；
C选项：$∠ 1$和$∠ 4$是直线$AB$、$DF$被直线$DE$所截形成的内错角，若$∠ 1=∠ 4$，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定$AB// DF$，不符合题意；
D选项：$∠ 1$和$∠ A$是直线$AC$、$DE$被直线$AB$所截形成的同位角，若$∠ 1=∠ A$，根据“同位角相等，两直线平行”，可判定$AC// DE$，无法判定$AB// DF$，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定；同位角；内错角
【点评】
本题核心是对平行线判定定理的灵活运用，解题的关键在于准确区分不同角对应的截线与被截直线，避免混淆平行的直线对象。
【难度系数】
0.7

2[较难]如图,一次数学活动中,检验两条纸带(1)(2)的上下边线是否平行,明明和小丽采用两种不同的方法:明明把纸带(1)沿AB折叠,量得∠1=∠2=60°;小丽把纸带(2)沿GH折叠,发现GD与GC重合,HF与HE重合.下列判断正确的是 ()


A.纸带(1)的上下边线平行,纸带(2)的上下边线不平行
B.纸带(1)的上下边线不平行,纸带(2)的上下边线平行
C.纸带(1)(2)的上下边线都平行
D.纸带(1)(2)的上下边线都不平行

2.C 【解析】如图,在纸带(1)中,
∵∠1=∠2=60°,∠3=∠1=60°,
∴∠3 = ∠2 = 60°,
∴∠4 = ∠5 = 180° - 60° - 60° = 60°,
∴∠2=∠4,
∴纸带(1)的上下边线平行. 在纸带(2)中,
∵GD与GC重合,HF与HE重合,
∴∠CGH=∠DGH=90°,∠EHG=∠FHG=90°,
∴∠CGH+∠EHG=180°,
∴纸带(2)的上下边线平行.

【分析】
要判断纸带上下边线是否平行，可结合平行线的判定定理分析：①处理纸带(1)时，先利用对顶角相等得到∠3=∠1，结合已知∠1=∠2=60°，可推出∠3=∠2，再根据平角为180°计算出对应内错角相等，即可判定平行；②处理纸带(2)时，根据折叠后两边重合的特点，可知折叠线平分对应平角，得到两个直角，进而推出同旁内角互补，即可判定平行。
【解析】

纸带(1)边线判断：
∵∠1与∠3是对顶角，
∴∠3=∠1=60°，
又已知∠2=60°，
∴∠3=∠2，
由平角定义得∠4=∠5=180°-∠3-∠2=180°-60°-60°=60°，
∴∠2=∠4，内错角相等，两直线平行，因此纸带(1)的上下边线平行。
纸带(2)边线判断：
∵沿GH折叠后GD与GC重合，HF与HE重合，
∴GH平分平角∠CGD、GH平分平角∠EHF，
∴∠CGH=∠DGH=$\frac{1}{2}$×180°=90°，∠EHG=∠FHG=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴∠CGH+∠EHG=90°+90°=180°，同旁内角互补，两直线平行，因此纸带(2)的上下边线平行。
综上，两条纸带的上下边线都平行。
【答案】
C
【知识点】
平行线的判定，折叠的性质，平角的定义
【点评】
本题结合手工折叠操作考查平行线的判定，解题核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合角的运算找到满足平行线判定的角的关系，这类题型将几何知识和实际操作结合，能有效提升对几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.6

3[2026浙江绍兴期中,中]将一块三角板ABC(∠BAC=90°,∠ABC=30°)按如图方式放置,使A,B两点分别落在直线m,n上,对于给出的五个条件:①∠1=25.5°,∠2=55°30';②∠1+∠2=90°;③∠2=2∠1;④∠ACB=∠1+∠3;⑤∠ABC=∠2−∠1.能判断直线m//n的有.(填序号)

(第3题图)
(第4题图)

3.①④⑤ 【解析】
∵∠1=25.5°,∠2=55°30',∠ABC=30°,
∴∠ABC+∠1=55.5°=55°30'=∠2,
∴m//n,故①符合题意.
∵∠1+∠2=90°,∠ABC=30°,
∴∠1+∠ABC 不一定等于∠2,
∴m和n不一定平行,故②不符合题意.
∵∠2=2∠1,∠ABC=30°,
∴∠1+∠ABC 不一定等于∠2,
∴m和n不一定平行,故③不符合题意. 如图,过点C作CE//m,
∴∠3=∠4.
∵∠ACB = ∠1 + ∠3,∠ACB = ∠4 + ∠5,
∴∠1 = ∠5,
∴EC//n,
∴m//n,故④符合题意.
∵∠ABC = ∠2 - ∠1,
∴∠2 = ∠ABC + ∠1,
∴m//n,故⑤符合题意. 故答案为①④⑤.

【分析】
要判断直线m//n，可依据平行线的判定定理，验证两条直线被截形成的内错角是否相等。观察图形可知，若m//n，需满足∠2=∠1+∠ABC（∠ABC=30°为三角板的固定角度），也可通过作辅助线构造平行线，利用平行的传递性判定。接下来逐一分析5个条件是否能推出上述平行所需的角的关系即可。
【解析】
①
∵∠1=25.5°，∠ABC=30°，
∴∠1+∠ABC=25.5°+30°=55.5°=55°30'，
又
∵∠2=55°30'，
∴∠2=∠1+∠ABC，根据内错角相等，两直线平行，可得m//n，故①符合题意；
②
∵∠ABC=30°，当∠1+∠2=90°时，无法推出∠2=∠1+30°，不能得到判定平行所需的相等内错角，因此m和n不一定平行，故②不符合题意；
③
∵∠ABC=30°，当∠2=2∠1时，仅当∠1=30°时才有∠2=∠1+30°，其余情况均不满足，因此无法推出m//n，故③不符合题意；
④如图，过点C作CE//m，根据两直线平行，内错角相等，可得∠3=∠4。
∵∠ACB=∠1+∠3，且∠ACB=∠4+∠5，
∴∠1+∠3=∠4+∠5，结合∠3=∠4，可得∠1=∠5，
根据内错角相等，两直线平行，可得CE//n，
又
∵CE//m，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得m//n，故④符合题意；
⑤
∵∠ABC=∠2−∠1，移项可得∠2=∠ABC+∠1，根据内错角相等，两直线平行，可得m//n，故⑤符合题意。
综上，能判断直线m//n的序号为①④⑤。
【答案】
①④⑤
【知识点】
平行线的判定；角的和差计算；平行的传递性
【点评】
本题结合三角板的固定角度考查平行线的判定，解题时需注意挖掘三角板隐含的已知角度，熟练运用平行线的判定定理，对于无法直接推导角关系的情况可通过作辅助线构造平行转化条件，逐一验证条件即可得出结论。
【难度系数】
0.6

4[中]如图，∠1=140°，∠2=40°，∠3=108°，则∠4=时，AB//EF.

4.108° 【解析】
∵∠1=140°,∠1+∠5=180°,
∴∠5=40°.
∵∠2=40°,
∴∠2=∠5,
∴AB//CD. 当∠4=108°时,
∵∠3=108°,
∴∠3=∠4,
∴CD//EF,
∴AB//EF,故答案为108°.

【分析】
要得到AB//EF，可借助中间直线CD，利用平行的传递性推导。第一步先判断AB与CD的位置关系：已知∠1的度数，根据邻补角和为180°可求出∠5的度数，对比∠2的度数，若内错角相等则AB//CD；第二步要使CD//EF，根据同位角相等两直线平行，需要∠3=∠4，代入∠3的度数即可得到∠4的取值，此时CD//EF，进而得到AB//EF。
【解析】
∵∠1=140°，∠1+∠5=180°（邻补角的和为180°），
∴∠5=180°-140°=40°。
又
∵∠2=40°，
∴∠2=∠5（等量代换），
∴AB//CD（内错角相等，两直线平行）。
当∠4=108°时：
∵∠3=108°，
∴∠3=∠4（等量代换），
∴CD//EF（同位角相等，两直线平行），
∴AB//EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
【答案】
108°
【知识点】
平行线的判定；邻补角的性质；平行的传递性
【点评】
本题考查平行线判定的综合应用，解题的核心是通过中间线段CD搭建AB和EF的平行关系，需要熟练掌握平行线的判定定理，能结合已知角的关系推导直线的位置关系。
【难度系数】
0.7

5 [中]在 $△ ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 边上一点，且 $∠ CDA = ∠ CAB$，$MN$ 是经过点 $D$ 的一条直线.
(1)直线 $MN ⊥ AC$，垂足为点 $E$.
①依题意补全图(1).
②若 $∠ CAB = 70°$，$∠ DAB = 20°$，则 $∠ CAD =$ ，$∠ CDE =$ .
(2)如图(2)，若直线 $MN$ 交 $AC$ 边于点 $F$，且 $∠ CDF = ∠ CAD$，求证:$FD // AB$.
刷素养 走向重高

5.(1)【解】①如图所示.
②
∵∠CAB=70°,∠DAB=20°,
∴∠CAD=50°.
∵∠CDA=∠CAB = 70°,
∴∠C = 180° - ∠CAD - ∠CDA = 60°.
∵DE⊥AC,
∴∠CDE = 90°-∠C=30°. 故答案为50°,30°.
(2)【证明】
∵∠CDA = ∠CAB,
∴∠CDF + ∠ADF = ∠CAD + ∠BAD.
∵∠CDF = ∠CAD,
∴∠ADF = ∠BAD,
∴FD//AB.

【分析】
(1)①补图时，过点D作直线MN垂直于AC，使垂足E落在AC边上即可；②求∠CAD可直接用∠CAB减去∠DAB计算；求∠CDE时，先根据已知的∠CDA=∠CAB，结合三角形内角和定理求出∠C的度数，再根据直角三角形两锐角互余的性质算出∠CDE。
(2)要证明FD//AB，可通过证明内错角相等推导：先利用∠CDA=∠CAB将两个角拆分为两个小角的和，再结合已知∠CDF=∠CAD，通过等量代换得到∠ADF=∠BAD，根据“内错角相等，两直线平行”即可得证。
【解析】
(1)①补图如下：
②
已知$∠ CAB=70°$，$∠ DAB=20°$，
$\therefore ∠ CAD = ∠ CAB - ∠ DAB = 70°-20°=50°$。
$\because ∠ CDA=∠ CAB=70°$，在$△ ACD$中，三角形内角和为$180°$，
$\therefore ∠ C=180°-∠ CAD-∠ CDA=180°-50°-70°=60°$。
$\because MN⊥ AC$，即$DE⊥ AC$，$\therefore ∠ CED=90°$，
在$Rt△ CDE$中，$∠ CDE+∠ C=90°$，
$\therefore ∠ CDE=90°-∠ C=90°-60°=30°$。
(2)证明：
$\because ∠ CDA=∠ CAB$，
且$∠ CDA=∠ CDF+∠ ADF$，$∠ CAB=∠ CAD+∠ BAD$，
$\therefore ∠ CDF+∠ ADF=∠ CAD+∠ BAD$。
又$\because ∠ CDF=∠ CAD$，
$\therefore ∠ ADF=∠ BAD$，
$∠ ADF$和$∠ BAD$是直线$FD$、$AB$被直线$AD$所截的内错角，内错角相等，两直线平行，
$\therefore FD// AB$。
【答案】
(1)①如图所示；②$\boldsymbol{50°}$，$\boldsymbol{30°}$
(2)$\boldsymbol{FD// AB}$，证明如上。
【知识点】
角的和差计算，三角形内角和定理，平行线的判定
【点评】
本题属于基础综合题，侧重对基础性质和判定方法的应用考查，解题的核心是掌握角的等量代换技巧，能准确识别平行线判定对应的角的位置关系。
【难度系数】
0.7

6 核心素养几何直观[较难]如图(1),将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起,其中∠A=30°,∠B=60°,∠D=∠E=45°.
(1)若∠BCD=110°,则∠ACE=;
(2)试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系,并说明理由;
(3)如图(2),若按住三角板ABC不动,三角板DCE绕顶点C转动一周,试探究∠BCD等于多少度时,CE//AB,请画出图,并说明理由.

6.【解】(1)
∵∠BCD = ∠ACB + ∠ACD = 90° + ∠ACD,
∴∠BCD + ∠ACE = 90° + ∠ACD + ∠ACE = 90°+90°=180°.
∵∠BCD=110°,
∴∠ACE=70°. 故答案为70°.
(2)∠BCD+∠ACE=180°. 理由如下:
∵∠BCD = ∠ACB+∠ACD = 90°+∠ACD,
∴∠BCD+∠ACE = 90°+∠ACD+∠ACE = 90°+90°=180°.
(3)①如图所示,当∠BCD = 30°时,AB//CE.
理由:
∵∠BCD=30°,∠DCE=90°,
∴∠BCE = ∠B = 60°,
∴AB//CE.
②如图所示,当∠BCD=150°时,AB//CE.
理由:
∵∠BCD=150°,∠ACB = ∠ECD = 90°,
∴∠ACE = 30°,
∴∠A = ∠ACE = 30°,
∴AB//CE.

【分析】
(1) 首先明确两个三角板的∠ACB和∠DCE均为90°，通过拆分角的组成可推导出∠BCD与∠ACE的和为定值，代入已知∠BCD的度数即可快速求出∠ACE；
(2) 仿照(1)的角拆分思路，将∠BCD+∠ACE转化为两个直角的和，即可证明二者的数量关系；
(3) 结合平行线的判定定理，分两种情况讨论CE的位置：①CE与BC在AC同侧时，令内错角∠B=∠BCE求解；②CE与BC在AC异侧时，令内错角∠A=∠ACE求解，注意旋转一周存在两种符合条件的位置，避免漏解。
【解析】
(1) 已知∠ACB=∠DCE=90°，
∵$∠ BCD = ∠ ACB + ∠ ACD = 90° + ∠ ACD$，
∴$∠ BCD + ∠ ACE = 90° + ∠ ACD + ∠ ACE = 90°+∠ DCE = 90°+90°=180°$，
当$∠ BCD=110°$时，$∠ ACE=180°-110°=70°$。
(2) 猜想：$∠ BCD + ∠ ACE = 180°$，理由如下：
∵$∠ BCD = ∠ ACB + ∠ ACD = 90° + ∠ ACD$，
∴$∠ BCD + ∠ ACE = 90° + ∠ ACD + ∠ ACE = 90° + ∠ DCE$，
又
∵$∠ DCE=90°$，
∴$∠ BCD + ∠ ACE = 180°$。
(3) 分两种情况：
① 如图所示，当$∠ BCD=30°$时，$AB// CE$，理由：
∵$∠ BCD=30°$，$∠ DCE=90°$，
∴$∠ BCE=90°-30°=60°$，
∴$∠ BCE=∠ B=60°$，根据“内错角相等，两直线平行”可得$AB// CE$。
② 如图所示，当$∠ BCD=150°$时，$AB// CE$，理由：
∵$∠ BCD=150°$，$∠ ACB=∠ ECD=90°$，
∴$∠ ACE=360°-150°-90°-90°=30°$，
∴$∠ ACE=∠ A=30°$，根据“内错角相等，两直线平行”可得$AB// CE$。
【答案】
(1) $\boxed{70°}$
(2) $\boxed{∠ BCD + ∠ ACE = 180°}$，理由见解析；
(3) 当$\boxed{∠ BCD=30°}$（如图）或$\boxed{∠ BCD=150°}$（如图）时，$CE// AB$，理由见解析。
【知识点】
角的运算；平行线的判定；分类讨论思想
【点评】
本题以三角板的叠放与旋转为载体，综合考查角度计算和平行线的判定，解题时需注意分类讨论CE的不同位置，避免漏解，能够有效锻炼几何直观和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5