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1. 一元二次方程$x^2 -1=0$的根为(
A.$x=1$
B.$x=-1$
C.$x_1=1,x_2=-1$
D.$x_1=0,x_2=1$
C
)。A.$x=1$
B.$x=-1$
C.$x_1=1,x_2=-1$
D.$x_1=0,x_2=1$
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，观察方程特征：没有一次项，属于$ax^2+c=0(a\ne0)$型的一元二次方程，可选择两种思路解题：思路1：用直接开平方法，先将常数项移到等号右侧，再对两边同时开平方，注意正数的平方根有两个，不要漏解；思路2：用因式分解法，左边$x^2-1$符合平方差公式的形式，分解为两个一次因式的乘积，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”转化为两个一元一次方程求解即可。
【解析】
解法一：直接开平方法
移项，得：$x^2=1$
对等式两边同时开平方，得：$x=\pm\sqrt{1}=\pm1$
即方程的两个根为$x_1=1$，$x_2=-1$。
解法二：因式分解法
将方程左边利用平方差公式因式分解，得：$(x-1)(x+1)=0$
因此可得$x-1=0$或$x+1=0$
分别解这两个一元一次方程，得$x_1=1$，$x_2=-1$。
综上答案选C。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法解方程、因式分解法解方程、平方差公式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考察基础解方程方法的应用，只要熟悉缺一次项的一元二次方程的求解思路，注意开平方时不要漏解，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程的求解，观察方程特征：没有一次项，属于$ax^2+c=0(a\ne0)$型的一元二次方程，可选择两种思路解题：思路1：用直接开平方法，先将常数项移到等号右侧，再对两边同时开平方，注意正数的平方根有两个，不要漏解；思路2：用因式分解法，左边$x^2-1$符合平方差公式的形式，分解为两个一次因式的乘积，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”转化为两个一元一次方程求解即可。
【解析】
解法一：直接开平方法
移项，得：$x^2=1$
对等式两边同时开平方，得：$x=\pm\sqrt{1}=\pm1$
即方程的两个根为$x_1=1$，$x_2=-1$。
解法二：因式分解法
将方程左边利用平方差公式因式分解，得：$(x-1)(x+1)=0$
因此可得$x-1=0$或$x+1=0$
分别解这两个一元一次方程，得$x_1=1$，$x_2=-1$。
综上答案选C。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法解方程、因式分解法解方程、平方差公式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考察基础解方程方法的应用，只要熟悉缺一次项的一元二次方程的求解思路，注意开平方时不要漏解，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
2. 某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个。设该厂五、六月份平均每月的增长率为$ x $，那么$ x $满足的方程是（
A.$ 50(1+x)^2 = 182 $
B.$ 50 + 50(1+x) + 50(1+x)^2 = 182 $
C.$ 50(1+2x) = 182 $
D.$ 50 + 50(1+x) + 50(1+2x) = 182 $
B
）。A.$ 50(1+x)^2 = 182 $
B.$ 50 + 50(1+x) + 50(1+x)^2 = 182 $
C.$ 50(1+2x) = 182 $
D.$ 50 + 50(1+x) + 50(1+2x) = 182 $
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先要明确第二季度包含4、5、6三个月，第二季度总产量是这三个月的产量之和。我们可以先根据月平均增长率x依次求出五月份、六月份的产量，再将三个月产量相加等于总产量182万个，即可列出对应的方程。
【解析】
1. 已知四月份生产零件50万个，五、六月份平均每月增长率为x；
2. 五月份产量为四月份产量乘(1+增长率)，即$50(1+x)$万个；
3. 六月份产量为五月份产量乘(1+增长率)，即$50(1+x) × (1+x) = 50(1+x)^2$万个；
4. 第二季度总产量为182万个，即三个月产量之和为182万个，因此列方程得：
$50 + 50(1+x) + 50(1+x)^2 = 182$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
增长率问题；列一元二次方程
【点评】
本题是增长率类的典型应用题，易错点是容易忽略第二季度包含三个月，误将六月份产量当作总产量错选A，解题时需先明确统计的时间范围，再逐期计算产量求和即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确第二季度包含4、5、6三个月，第二季度总产量是这三个月的产量之和。我们可以先根据月平均增长率x依次求出五月份、六月份的产量，再将三个月产量相加等于总产量182万个，即可列出对应的方程。
【解析】
1. 已知四月份生产零件50万个，五、六月份平均每月增长率为x；
2. 五月份产量为四月份产量乘(1+增长率)，即$50(1+x)$万个；
3. 六月份产量为五月份产量乘(1+增长率)，即$50(1+x) × (1+x) = 50(1+x)^2$万个；
4. 第二季度总产量为182万个，即三个月产量之和为182万个，因此列方程得：
$50 + 50(1+x) + 50(1+x)^2 = 182$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
增长率问题；列一元二次方程
【点评】
本题是增长率类的典型应用题，易错点是容易忽略第二季度包含三个月，误将六月份产量当作总产量错选A，解题时需先明确统计的时间范围，再逐期计算产量求和即可。
【难度系数】
0.7
3. 如果关于x的一元二次方程$k^2x^2 - (2k + 1) · x + 1 = 0$有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是
$k＞-\frac{1}{4}$且$k≠0$
。答案
3.$k＞-\frac{1}{4}$且$k≠0$
解析
【分析】
要确定k的取值范围，需要结合题目给出的两个核心条件分析：①方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②方程有两个不相等的实数根，因此根的判别式Δ＞0。分别根据两个条件列出不等式，再取两个解集的公共部分即可得到k的取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$k^2x^2 - (2k + 1)x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k^2 ≠ 0$，解得$k ≠ 0$
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中$a = k^2$，$b = -(2k+1)$，$c = 1$，代入得：
$\Delta = [-(2k+1)]^2 - 4 × k^2 × 1$
$= 4k^2 + 4k + 1 - 4k^2$
$= 4k + 1 ＞ 0$
解得$k ＞ -\frac{1}{4}$
综合两个条件，可得k的取值范围。
【答案】
$k＞-\frac{1}{4}$且$k≠0$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 根的判别式应用
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，仅通过判别式大于0求解范围，导致结果缺漏限制条件，做题时需注意审题，挖透题干的所有限制要求。
【难度系数】
0.6
要确定k的取值范围，需要结合题目给出的两个核心条件分析：①方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②方程有两个不相等的实数根，因此根的判别式Δ＞0。分别根据两个条件列出不等式，再取两个解集的公共部分即可得到k的取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$k^2x^2 - (2k + 1)x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k^2 ≠ 0$，解得$k ≠ 0$
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中$a = k^2$，$b = -(2k+1)$，$c = 1$，代入得：
$\Delta = [-(2k+1)]^2 - 4 × k^2 × 1$
$= 4k^2 + 4k + 1 - 4k^2$
$= 4k + 1 ＞ 0$
解得$k ＞ -\frac{1}{4}$
综合两个条件，可得k的取值范围。
【答案】
$k＞-\frac{1}{4}$且$k≠0$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 根的判别式应用
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，仅通过判别式大于0求解范围，导致结果缺漏限制条件，做题时需注意审题，挖透题干的所有限制要求。
【难度系数】
0.6
4. 某生物课外小组拟订在桃花岭上开辟一块试验田，其形状是长10 m、宽6 m的矩形。为便于管理，要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道(如图2-1)。要使种植面积为40 m²，求小道的宽。若设小道的宽为x m，则可列方程为
图2-1
图2-2
$x^2 -11x +10=0$
。（化为一般形式）图2-1
图2-2
答案
4.$x^2 -11x +10=0$
解析
【分析】
本题是一元二次方程在几何面积问题中的实际应用，解题核心是用平移法将分散的种植区域拼接为规则矩形，简化面积计算。首先明确小道走向：两纵道沿原矩形宽的方向延伸，共占据2倍小道宽度的长度，因此平移后种植区域的长为原长减去2x；横小道沿原矩形长的方向延伸，占据1倍小道宽度的长度，因此平移后种植区域的宽为原宽减去x。再结合矩形面积公式和已知种植面积列方程，最后整理为一般形式即可。
【解析】
设小道的宽为$x\ \mathrm{m}$，将种植区域平移拼接后，得到的矩形长为$(10-2x)\ \mathrm{m}$，宽为$(6-x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式和种植面积为$40\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$(10-2x)(6-x)=40$
展开左边得：
$60-10x-12x+2x^2=40$
移项、合并同类项得：
$2x^2-22x+20=0$
两边同时除以2化为最简一般形式：
$x^2-11x+10=0$
【答案】
$x^2 -11x +10=0$
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算，平移法转化图形
【点评】
本题是面积类实际应用的典型题，通过平移将不规则的种植区域转化为规则矩形，可避免重复计算小道重叠部分的面积，整理方程时注意要符合题目要求的一般形式规范。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程在几何面积问题中的实际应用，解题核心是用平移法将分散的种植区域拼接为规则矩形，简化面积计算。首先明确小道走向：两纵道沿原矩形宽的方向延伸，共占据2倍小道宽度的长度，因此平移后种植区域的长为原长减去2x；横小道沿原矩形长的方向延伸，占据1倍小道宽度的长度，因此平移后种植区域的宽为原宽减去x。再结合矩形面积公式和已知种植面积列方程，最后整理为一般形式即可。
【解析】
设小道的宽为$x\ \mathrm{m}$，将种植区域平移拼接后，得到的矩形长为$(10-2x)\ \mathrm{m}$，宽为$(6-x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式和种植面积为$40\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$(10-2x)(6-x)=40$
展开左边得：
$60-10x-12x+2x^2=40$
移项、合并同类项得：
$2x^2-22x+20=0$
两边同时除以2化为最简一般形式：
$x^2-11x+10=0$
【答案】
$x^2 -11x +10=0$
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算，平移法转化图形
【点评】
本题是面积类实际应用的典型题，通过平移将不规则的种植区域转化为规则矩形，可避免重复计算小道重叠部分的面积，整理方程时注意要符合题目要求的一般形式规范。
【难度系数】
0.7
5. 如图2-2，一次函数$y=2x+5$的图象交$x$轴于点$A$，交$y$轴于点$B$。点$P$在线段$AB$上（不与点$A$，$B$重合），过点$P$作$OB$的垂线，垂足为$C$，连接$OP$，过点$C$作$CD// OP$，交$x$轴于点$D$。若四边形$PCDO$的面积为2，则点$P$的坐标为
$(-2,1)$或$(-\frac{1}{2},4)$
。答案
5.$(-2,1)$或$(-\frac{1}{2},4)$
解析
【分析】
解题时可先设出点P的参数坐标，结合一次函数解析式用参数表示P的坐标；再根据PC⊥y轴得到C点坐标，由两组对边分别平行判定四边形PCDO为平行四边形，利用平行四边形对边相等得到D点坐标；最后根据平行四边形面积公式列方程求解参数，验证参数符合范围后即可得到P的坐标。
【解析】
1. 求一次函数与坐标轴交点：
令$y=0$，代入$y=2x+5$得$2x+5=0$，解得$x=-\frac{5}{2}$，故$A(-\frac{5}{2}, 0)$；
令$x=0$，代入$y=2x+5$得$y=5$，故$B(0, 5)$。
2. 设点P坐标：
设点P的横坐标为$t$，因P在线段AB上且不与A、B重合，故$-\frac{5}{2} ＜ t ＜ 0$，P的坐标为$(t, 2t+5)$。
3. 求C、D点坐标：
∵$PC⊥OB$（OB为y轴），
∴$PC$平行于x轴，C点纵坐标与P相同，横坐标为0，即$C(0, 2t+5)$。
∵$PC//OD$（均平行于x轴），$CD//OP$，
∴四边形PCDO是平行四边形，
∴$OD=PC$。
PC的长度为$|0 - t|=-t$（$t＜0$），故$OD=-t$，D在x轴上，坐标为$(-t, 0)$。
4. 列方程求解：
平行四边形PCDO的高为C点的纵坐标（即x轴到PC的垂直距离），为$2t+5$，
根据面积为2得：$\mathrm{底}×\mathrm{高} = OD×(2t+5) = (-t)(2t+5)=2$，
整理得$2t^2+5t+2=0$，因式分解得$(2t+1)(t+2)=0$，
解得$t_1=-2$，$t_2=-\frac{1}{2}$，均满足$-\frac{5}{2} ＜ t ＜ 0$。
5. 求P点坐标：
当$t=-2$时，$2t+5=2×(-2)+5=1$，得$P(-2, 1)$；
当$t=-\frac{1}{2}$时，$2t+5=2×(-\frac{1}{2})+5=4$，得$P(-\frac{1}{2}, 4)$。
【答案】
$(-2,1)$或$(-\dfrac{1}{2},4)$
【知识点】
一次函数的性质，平行四边形的判定与性质，一元二次方程的解法
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，核心是通过参数表示动点坐标，结合几何图形的性质建立方程求解，解题时要注意动点的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.65
解题时可先设出点P的参数坐标，结合一次函数解析式用参数表示P的坐标；再根据PC⊥y轴得到C点坐标，由两组对边分别平行判定四边形PCDO为平行四边形，利用平行四边形对边相等得到D点坐标；最后根据平行四边形面积公式列方程求解参数，验证参数符合范围后即可得到P的坐标。
【解析】
1. 求一次函数与坐标轴交点：
令$y=0$，代入$y=2x+5$得$2x+5=0$，解得$x=-\frac{5}{2}$，故$A(-\frac{5}{2}, 0)$；
令$x=0$，代入$y=2x+5$得$y=5$，故$B(0, 5)$。
2. 设点P坐标：
设点P的横坐标为$t$，因P在线段AB上且不与A、B重合，故$-\frac{5}{2} ＜ t ＜ 0$，P的坐标为$(t, 2t+5)$。
3. 求C、D点坐标：
∵$PC⊥OB$（OB为y轴），
∴$PC$平行于x轴，C点纵坐标与P相同，横坐标为0，即$C(0, 2t+5)$。
∵$PC//OD$（均平行于x轴），$CD//OP$，
∴四边形PCDO是平行四边形，
∴$OD=PC$。
PC的长度为$|0 - t|=-t$（$t＜0$），故$OD=-t$，D在x轴上，坐标为$(-t, 0)$。
4. 列方程求解：
平行四边形PCDO的高为C点的纵坐标（即x轴到PC的垂直距离），为$2t+5$，
根据面积为2得：$\mathrm{底}×\mathrm{高} = OD×(2t+5) = (-t)(2t+5)=2$，
整理得$2t^2+5t+2=0$，因式分解得$(2t+1)(t+2)=0$，
解得$t_1=-2$，$t_2=-\frac{1}{2}$，均满足$-\frac{5}{2} ＜ t ＜ 0$。
5. 求P点坐标：
当$t=-2$时，$2t+5=2×(-2)+5=1$，得$P(-2, 1)$；
当$t=-\frac{1}{2}$时，$2t+5=2×(-\frac{1}{2})+5=4$，得$P(-\frac{1}{2}, 4)$。
【答案】
$(-2,1)$或$(-\dfrac{1}{2},4)$
【知识点】
一次函数的性质，平行四边形的判定与性质，一元二次方程的解法
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，核心是通过参数表示动点坐标，结合几何图形的性质建立方程求解，解题时要注意动点的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.65
6. 解方程：
(1)$x^2 - 8x - 1 = 0$；
(2)$2x^2 + x = 3$；
(3)$4(x + 2)^2 = (3x - 1)^2$。
(1)$x^2 - 8x - 1 = 0$；
(2)$2x^2 + x = 3$；
(3)$4(x + 2)^2 = (3x - 1)^2$。
答案
6.(1)$x_1=\sqrt{17}+4,x_2=-\sqrt{17}+4$；
(2)$x_1=-\frac{3}{2},x_2=1$；
(3)$x_1=-\frac{3}{5},x_2=5$。
(2)$x_1=-\frac{3}{2},x_2=1$；
(3)$x_1=-\frac{3}{5},x_2=5$。
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，需根据不同方程的形式选择简便解法：
(1) 方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，优先选用配方法或公式法求解；
(2) 先将方程整理为一般式，观察系数特征可选用十字相乘法因式分解求解，也可直接用公式法；
(3) 方程左右两侧均为完全平方的形式，可选用直接开平方法或平方差公式因式分解求解，避免展开导致计算量过大。
【解析】
(1) 解方程$x^2 - 8x - 1 = 0$
移项得：$x^2 - 8x = 1$
配方，两边同时加一次项系数一半的平方16得：$x^2 - 8x + 16 = 1 + 16$
即$(x - 4)^2 = 17$
开平方得：$x - 4 = \pm\sqrt{17}$
解得：$x_1 = 4 + \sqrt{17}, x_2 = 4 - \sqrt{17}$
(2) 解方程$2x^2 + x = 3$
移项整理为一般式：$2x^2 + x - 3 = 0$
十字相乘法因式分解得：$(2x + 3)(x - 1) = 0$
则$2x + 3 = 0$或$x - 1 = 0$
分别解得：$x_1 = -\frac{3}{2}, x_2 = 1$
(3) 解方程$4(x + 2)^2 = (3x - 1)^2$
移项得：$[2(x + 2)]^2 - (3x - 1)^2 = 0$
利用平方差公式因式分解得：$[2(x+2) + (3x - 1)][2(x+2) - (3x - 1)] = 0$
化简两个因式：
第一个因式：$2x + 4 + 3x - 1 = 5x + 3$
第二个因式：$2x + 4 - 3x + 1 = -x + 5$
即$(5x + 3)(-x + 5) = 0$
则$5x + 3 = 0$或$-x + 5 = 0$
分别解得：$x_1 = -\frac{3}{5}, x_2 = 5$
【答案】
(1)$x_1=\sqrt{17}+4,x_2=-\sqrt{17}+4$；
(2)$x_1=-\frac{3}{2},x_2=1$；
(3)$x_1=-\frac{3}{5},x_2=5$。
【知识点】
配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础练习题，解题时需先观察方程结构，灵活选择最优解法，既可以提升解题速度，也能降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的求解，需根据不同方程的形式选择简便解法：
(1) 方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，优先选用配方法或公式法求解；
(2) 先将方程整理为一般式，观察系数特征可选用十字相乘法因式分解求解，也可直接用公式法；
(3) 方程左右两侧均为完全平方的形式，可选用直接开平方法或平方差公式因式分解求解，避免展开导致计算量过大。
【解析】
(1) 解方程$x^2 - 8x - 1 = 0$
移项得：$x^2 - 8x = 1$
配方，两边同时加一次项系数一半的平方16得：$x^2 - 8x + 16 = 1 + 16$
即$(x - 4)^2 = 17$
开平方得：$x - 4 = \pm\sqrt{17}$
解得：$x_1 = 4 + \sqrt{17}, x_2 = 4 - \sqrt{17}$
(2) 解方程$2x^2 + x = 3$
移项整理为一般式：$2x^2 + x - 3 = 0$
十字相乘法因式分解得：$(2x + 3)(x - 1) = 0$
则$2x + 3 = 0$或$x - 1 = 0$
分别解得：$x_1 = -\frac{3}{2}, x_2 = 1$
(3) 解方程$4(x + 2)^2 = (3x - 1)^2$
移项得：$[2(x + 2)]^2 - (3x - 1)^2 = 0$
利用平方差公式因式分解得：$[2(x+2) + (3x - 1)][2(x+2) - (3x - 1)] = 0$
化简两个因式：
第一个因式：$2x + 4 + 3x - 1 = 5x + 3$
第二个因式：$2x + 4 - 3x + 1 = -x + 5$
即$(5x + 3)(-x + 5) = 0$
则$5x + 3 = 0$或$-x + 5 = 0$
分别解得：$x_1 = -\frac{3}{5}, x_2 = 5$
【答案】
(1)$x_1=\sqrt{17}+4,x_2=-\sqrt{17}+4$；
(2)$x_1=-\frac{3}{2},x_2=1$；
(3)$x_1=-\frac{3}{5},x_2=5$。
【知识点】
配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础练习题，解题时需先观察方程结构，灵活选择最优解法，既可以提升解题速度，也能降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
7. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - mx + (m - 2) = 0 $。
(1)求证:不论 $ m $ 为何值,该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根是2,求 $ m $ 的值以及方程的另一个根。
(1)求证:不论 $ m $ 为何值,该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根是2,求 $ m $ 的值以及方程的另一个根。
答案
7.(1)证明:$\because a=1,b=-m,c=m-2$,
$\therefore b^2-4ac=(-m)^2-4×1×(m-2)=m^2-4m+8=(m-2)^2+4$。
$\because (m-2)^2≥0,\therefore (m-2)^2+4＞0$,即$\Delta＞0$,
$\therefore$不论$m$为何值,该方程总有两个不相等的实数根。
(2)解:设方程的另一个根为$t$,
根据题意得,$2+t=m,2t=m-2$。
$\therefore 2+t-2t=2$,解得$t=0,\therefore m=2$,
$\therefore m$的值为2,另一个根为0。
$\therefore b^2-4ac=(-m)^2-4×1×(m-2)=m^2-4m+8=(m-2)^2+4$。
$\because (m-2)^2≥0,\therefore (m-2)^2+4＞0$,即$\Delta＞0$,
$\therefore$不论$m$为何值,该方程总有两个不相等的实数根。
(2)解:设方程的另一个根为$t$,
根据题意得,$2+t=m,2t=m-2$。
$\therefore 2+t-2t=2$,解得$t=0,\therefore m=2$,
$\therefore m$的值为2,另一个根为0。
解析
【分析】
(1) 要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，核心是证明根的判别式$\Delta$恒大于0。首先确定方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入$\Delta=b^2-4ac$计算，再通过配方结合平方的非负性判断$\Delta$的取值范围即可得证。
(2) 已知方程的一个根求参数和另一个根，可利用根与系数的关系简化计算：设另一根为$t$，根据两根之和、两根之积与方程系数的关系列等式，联立求解即可得到$m$和另一个根的值；也可直接将$x=2$代入原方程先求$m$，再解方程求另一根。
【解析】
(1) 证明：在方程$x^2 - mx + (m - 2) = 0$中，$a=1,b=-m,c=m-2$，
$\therefore \Delta = b^2-4ac=(-m)^2-4×1×(m-2)=m^2-4m+8=(m-2)^2+4$
$\because (m-2)^2≥0$，$\therefore (m-2)^2+4＞0$，即$\Delta＞0$，
$\therefore$不论$m$为何值，该方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：设方程的另一个根为$t$，
根据根与系数的关系可得：$2+t=m$，$2t=m-2$，
将$m=2+t$代入$2t=m-2$，得$2t=2+t-2$，解得$t=0$，
再将$t=0$代入$2+t=m$，得$m=2$。
【答案】
(1) 不论$m$为何值，该方程总有两个不相等的实数根，得证；
(2) $m$的值为2，方程的另一个根为0。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，第一问的关键是掌握判别式和根的个数的对应关系，通过配方结合非负数性质即可求证；第二问用根与系数的关系求解能简化计算，是该类题型的常用技巧，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，核心是证明根的判别式$\Delta$恒大于0。首先确定方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入$\Delta=b^2-4ac$计算，再通过配方结合平方的非负性判断$\Delta$的取值范围即可得证。
(2) 已知方程的一个根求参数和另一个根，可利用根与系数的关系简化计算：设另一根为$t$，根据两根之和、两根之积与方程系数的关系列等式，联立求解即可得到$m$和另一个根的值；也可直接将$x=2$代入原方程先求$m$，再解方程求另一根。
【解析】
(1) 证明：在方程$x^2 - mx + (m - 2) = 0$中，$a=1,b=-m,c=m-2$，
$\therefore \Delta = b^2-4ac=(-m)^2-4×1×(m-2)=m^2-4m+8=(m-2)^2+4$
$\because (m-2)^2≥0$，$\therefore (m-2)^2+4＞0$，即$\Delta＞0$，
$\therefore$不论$m$为何值，该方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：设方程的另一个根为$t$，
根据根与系数的关系可得：$2+t=m$，$2t=m-2$，
将$m=2+t$代入$2t=m-2$，得$2t=2+t-2$，解得$t=0$，
再将$t=0$代入$2+t=m$，得$m=2$。
【答案】
(1) 不论$m$为何值，该方程总有两个不相等的实数根，得证；
(2) $m$的值为2，方程的另一个根为0。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，第一问的关键是掌握判别式和根的个数的对应关系，通过配方结合非负数性质即可求证；第二问用根与系数的关系求解能简化计算，是该类题型的常用技巧，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
