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8. 某火锅店的主营菜品是毛肚，该火锅店第一次用15 000元购进毛肚若干份，深受人们喜爱，很快售完。于是，火锅店又用12 000元购入毛肚，每份的进价比第一次少了5元，所购数量与第一次购进数量相同。
(1)该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份多少元？
(2)后续经营中，火锅店按第二次购买毛肚的进价持续进货，每份标价40元出售，每天能售出480份。为庆祝国庆节并吸引更多顾客消费，该火锅店决定降低毛肚的售价，经研究发现，每份毛肚的售价每下降1元，每天的销量就增加2份。降价后，火锅店毛肚每日销售额为15 000元，求降价后每份毛肚的实际售价。
(1)该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份多少元？
(2)后续经营中，火锅店按第二次购买毛肚的进价持续进货，每份标价40元出售，每天能售出480份。为庆祝国庆节并吸引更多顾客消费，该火锅店决定降低毛肚的售价，经研究发现，每份毛肚的售价每下降1元，每天的销量就增加2份。降价后，火锅店毛肚每日销售额为15 000元，求降价后每份毛肚的实际售价。
答案
8. 解:(1)设该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份$x$元,则第二次购进毛肚的进价为每份$(x-5)$元。
由题意得$\frac{15\ 000}{x}=\frac{12\ 000}{x-5}$,解得$x=25$。
经检验,$x=25$是原方程的解,且符合题意。
故该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份25元。
(2)设每份毛肚降价$m$元,火锅店毛肚每日销售额为15 000元,则降价后每份毛肚的实际售价为$(40-m)$元,每日销量为$(480+2m)$份。
由题意得$(40-m)(480+2m)=15\ 000$,
解得$m_1=10,m_2=-210$(不符合题意,舍去)。
$40-10=30$(元)。
故降价后每份毛肚的实际售价为30元。
由题意得$\frac{15\ 000}{x}=\frac{12\ 000}{x-5}$,解得$x=25$。
经检验,$x=25$是原方程的解,且符合题意。
故该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份25元。
(2)设每份毛肚降价$m$元,火锅店毛肚每日销售额为15 000元,则降价后每份毛肚的实际售价为$(40-m)$元,每日销量为$(480+2m)$份。
由题意得$(40-m)(480+2m)=15\ 000$,
解得$m_1=10,m_2=-210$(不符合题意,舍去)。
$40-10=30$(元)。
故降价后每份毛肚的实际售价为30元。
解析
【分析】
(1) 求解第一次毛肚进价时，我们抓住“两次购进毛肚的数量相同”这一核心等量关系，数量=总进货金额÷每份进价，设第一次进价为未知数，即可列出分式方程求解，注意分式方程求解后必须检验根是否符合方程及实际意义。
(2) 求解降价后实际售价时，我们抓住“销售额=每份售价×销售数量”这一销售问题的基本等量关系，设降价金额为未知数，分别表示出降价后的售价和销量，即可列出一元二次方程求解，求解后需舍去不符合降价促销逻辑的根，进而得到实际售价。
【解析】
(1) 设该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份$x$元，则第二次购进毛肚的进价为每份$(x-5)$元。
由两次购进数量相同列方程：
$\frac{15\ 000}{x}=\frac{12\ 000}{x-5}$
交叉相乘得$15000(x-5)=12000x$，
整理得$3000x=75000$，
解得$x=25$。
经检验，$x=25$时原分式方程分母不为0，是原方程的解，且符合题意。
(2) 设每份毛肚降价$m$元时，每日销售额为15000元，则降价后每份售价为$(40-m)$元，每日销量为$(480+2m)$份。
由销售额公式列方程：
$(40-m)(480+2m)=15\ 000$
展开整理得$m^2+200m-2100=0$，
因式分解得$(m+210)(m-10)=0$，
解得$m_1=10$，$m_2=-210$，
$m=-210$表示售价上涨，不符合降价的题意，故舍去。
因此实际售价为$40-10=30$（元）。
【答案】
(1) 该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份25元；
(2) 降价后每份毛肚的实际售价为30元。
【知识点】
分式方程的应用、一元二次方程的应用、销售问题计算
【点评】
本题结合日常餐饮销售场景命题，解题的关键是找准题目中的等量关系建立方程，同时要注意检验方程的根是否符合实际情境，是考查方程实际应用能力的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一次毛肚进价时，我们抓住“两次购进毛肚的数量相同”这一核心等量关系，数量=总进货金额÷每份进价，设第一次进价为未知数，即可列出分式方程求解，注意分式方程求解后必须检验根是否符合方程及实际意义。
(2) 求解降价后实际售价时，我们抓住“销售额=每份售价×销售数量”这一销售问题的基本等量关系，设降价金额为未知数，分别表示出降价后的售价和销量，即可列出一元二次方程求解，求解后需舍去不符合降价促销逻辑的根，进而得到实际售价。
【解析】
(1) 设该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份$x$元，则第二次购进毛肚的进价为每份$(x-5)$元。
由两次购进数量相同列方程：
$\frac{15\ 000}{x}=\frac{12\ 000}{x-5}$
交叉相乘得$15000(x-5)=12000x$，
整理得$3000x=75000$，
解得$x=25$。
经检验，$x=25$时原分式方程分母不为0，是原方程的解，且符合题意。
(2) 设每份毛肚降价$m$元时，每日销售额为15000元，则降价后每份售价为$(40-m)$元，每日销量为$(480+2m)$份。
由销售额公式列方程：
$(40-m)(480+2m)=15\ 000$
展开整理得$m^2+200m-2100=0$，
因式分解得$(m+210)(m-10)=0$，
解得$m_1=10$，$m_2=-210$，
$m=-210$表示售价上涨，不符合降价的题意，故舍去。
因此实际售价为$40-10=30$（元）。
【答案】
(1) 该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份25元；
(2) 降价后每份毛肚的实际售价为30元。
【知识点】
分式方程的应用、一元二次方程的应用、销售问题计算
【点评】
本题结合日常餐饮销售场景命题，解题的关键是找准题目中的等量关系建立方程，同时要注意检验方程的根是否符合实际情境，是考查方程实际应用能力的典型题型。
【难度系数】
0.7
二、拓展性作业
9. 一个农业合作社以64 000元的成本收获了某种农产品80 t，目前可以以1 200元/t的价格售出。如果储藏起来，每星期会损失2 t，且每星期需支付各种费用1 600元，但同时每星期每吨的价格将上涨200元。那么储藏
9. 一个农业合作社以64 000元的成本收获了某种农产品80 t，目前可以以1 200元/t的价格售出。如果储藏起来，每星期会损失2 t，且每星期需支付各种费用1 600元，但同时每星期每吨的价格将上涨200元。那么储藏
15
个星期再出售这批农产品可获利122 000元。答案
9.15
解析
【分析】
这是一道利润类的一元二次方程应用题，解题可按以下思路展开：①先设储藏x个星期后出售可获利122000元；②分别表示出x星期后农产品的剩余重量、每吨售价、总销售收入、总支出成本（含原始成本和每周支付的费用）；③根据“利润=总销售收入-总成本”的核心等量关系列方程；④解方程后检验解是否符合实际意义（剩余农产品重量不能为负）即可得到结果。
【解析】
设储藏$x$个星期再出售这批农产品可获利122000元。
根据题意，$x$星期后：
农产品剩余重量为$(80-2x)\ \mathrm{t}$，每吨售价为$(1200+200x)$元，总销售收入为$(1200+200x)(80-2x)$元；
总支出为原始成本加$x$星期的各项费用，即$(64000+1600x)$元。
根据利润公式列方程：
$(1200+200x)(80-2x)-(64000+1600x)=122000$
展开并整理方程：
$96000-2400x+16000x-400x^2-64000-1600x=122000$
$-400x^2+12000x+32000=122000$
移项化简得：
$x^2-30x+225=0$
因式分解得：
$(x-15)^2=0$
解得$x_1=x_2=15$。
检验：当$x=15$时，$80-2x=50＞0$，符合实际意义。
【答案】
15
【知识点】
一元二次方程的应用；利润问题计算
【点评】
本题是典型的销售利润类应用题，解题核心是准确表示出变化后的单价、销量以及总成本，找准等量关系列方程，求解后要注意验证解是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
这是一道利润类的一元二次方程应用题，解题可按以下思路展开：①先设储藏x个星期后出售可获利122000元；②分别表示出x星期后农产品的剩余重量、每吨售价、总销售收入、总支出成本（含原始成本和每周支付的费用）；③根据“利润=总销售收入-总成本”的核心等量关系列方程；④解方程后检验解是否符合实际意义（剩余农产品重量不能为负）即可得到结果。
【解析】
设储藏$x$个星期再出售这批农产品可获利122000元。
根据题意，$x$星期后：
农产品剩余重量为$(80-2x)\ \mathrm{t}$，每吨售价为$(1200+200x)$元，总销售收入为$(1200+200x)(80-2x)$元；
总支出为原始成本加$x$星期的各项费用，即$(64000+1600x)$元。
根据利润公式列方程：
$(1200+200x)(80-2x)-(64000+1600x)=122000$
展开并整理方程：
$96000-2400x+16000x-400x^2-64000-1600x=122000$
$-400x^2+12000x+32000=122000$
移项化简得：
$x^2-30x+225=0$
因式分解得：
$(x-15)^2=0$
解得$x_1=x_2=15$。
检验：当$x=15$时，$80-2x=50＞0$，符合实际意义。
【答案】
15
【知识点】
一元二次方程的应用；利润问题计算
【点评】
本题是典型的销售利润类应用题，解题核心是准确表示出变化后的单价、销量以及总成本，找准等量关系列方程，求解后要注意验证解是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
10. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱。某商场以每件25元的进价购进一批“弗里热”纪念品。当该纪念品售价为每件40元时，一月份可销售256件。二、三月该纪念品十分畅销，销售量持续走高。在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件。设二、三月这两个月的月平均增长率不变。
(1)求二、三月这两个月的月平均增长率。
(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客。经调查发现，销售单价与月平均销售量的关系如表2-4-1所示：
表2-4-1
若要使四月利润达到6240元，且尽可能多地提升月平均销售量，则纪念品应降价多少元？
(1)求二、三月这两个月的月平均增长率。
(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客。经调查发现，销售单价与月平均销售量的关系如表2-4-1所示：
表2-4-1
若要使四月利润达到6240元，且尽可能多地提升月平均销售量，则纪念品应降价多少元？
答案
10. 解:(1)设二、三月这两个月的月平均增长率为$x$,
根据题意得$256(1+x)^2=400$,
解得$x_1=0.25=25\%$,$x_2=-2.25$(不符合题意,舍去)。
故二、三月这两个月的月平均增长率为25%。
(2)由销售单价与月平均销售量的关系可知,销售单价每降低1元,月平均销售量就会增加40件。设降价$y$元,则每件的销售利润为$(40-y-25)$元,月平均销售量为$(400+40y)$件。
根据题意得$(40-y-25)(400+40y)=6\ 240$,
整理得$y^2-5y+6=0$,
解得$y_1=3$,$y_2=2$(不符合题意,舍去)。
故要使四月利润达到6 240元,且尽可能多地提升月平均销售量,则纪念品应降价3元。
根据题意得$256(1+x)^2=400$,
解得$x_1=0.25=25\%$,$x_2=-2.25$(不符合题意,舍去)。
故二、三月这两个月的月平均增长率为25%。
(2)由销售单价与月平均销售量的关系可知,销售单价每降低1元,月平均销售量就会增加40件。设降价$y$元,则每件的销售利润为$(40-y-25)$元,月平均销售量为$(400+40y)$件。
根据题意得$(40-y-25)(400+40y)=6\ 240$,
整理得$y^2-5y+6=0$,
解得$y_1=3$,$y_2=2$(不符合题意,舍去)。
故要使四月利润达到6 240元,且尽可能多地提升月平均销售量,则纪念品应降价3元。
解析
【分析】
(1) 本题属于增长率问题，可套用增长率通用公式：初始量×(1+月平均增长率)ⁿ=最终量，其中n为增长次数。本题初始销售量是1月份的256件，3月份最终销售量为400件，共增长2次，设增长率为x后代入公式列方程求解即可，注意增长率不能为负，需舍去不符合实际的根。
(2) 首先分析表格规律：销售单价每降低1元，月平均销售量增加40件。根据“总利润=单件利润×销售量”的等量关系，设降价y元，分别表示出降价后的单件利润和对应销售量，结合总利润6240元列方程求解；题目要求尽可能提升销售量，因此需选择降价幅度更大的根，舍去较小的根。
【解析】
(1) 设二、三月这两个月的月平均增长率为$x$，
根据题意列方程：$256(1+x)^2=400$，
解得$x_1=0.25=25\%$，$x_2=-2.25$，由于增长率不能为负，故$x_2$不符合题意，舍去。
(2) 由表格数据可得规律：销售单价每降低1元，月平均销售量增加40件。
设纪念品应降价$y$元，此时每件的销售利润为$(40-y-25)$元，月平均销售量为$(400+40y)$件，
根据总利润为6240元列方程：
$(40-y-25)(400+40y)=6240$
整理得：$y^2-5y+6=0$
解得$y_1=3$，$y_2=2$，
由于要尽可能多地提升月平均销售量，因此选择降价更多的$y=3$，舍去$y=2$。
【答案】
(1) 二、三月这两个月的月平均增长率为25%；
(2) 纪念品应降价3元。
【知识点】
一元二次方程的应用，增长率问题，销售利润问题
【点评】
本题结合时事热点设置场景，考查一元二次方程在实际问题中的应用，解题时需注意结合实际意义对方程的根进行取舍，能够锻炼学生分析问题、用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 本题属于增长率问题，可套用增长率通用公式：初始量×(1+月平均增长率)ⁿ=最终量，其中n为增长次数。本题初始销售量是1月份的256件，3月份最终销售量为400件，共增长2次，设增长率为x后代入公式列方程求解即可，注意增长率不能为负，需舍去不符合实际的根。
(2) 首先分析表格规律：销售单价每降低1元，月平均销售量增加40件。根据“总利润=单件利润×销售量”的等量关系，设降价y元，分别表示出降价后的单件利润和对应销售量，结合总利润6240元列方程求解；题目要求尽可能提升销售量，因此需选择降价幅度更大的根，舍去较小的根。
【解析】
(1) 设二、三月这两个月的月平均增长率为$x$，
根据题意列方程：$256(1+x)^2=400$，
解得$x_1=0.25=25\%$，$x_2=-2.25$，由于增长率不能为负，故$x_2$不符合题意，舍去。
(2) 由表格数据可得规律：销售单价每降低1元，月平均销售量增加40件。
设纪念品应降价$y$元，此时每件的销售利润为$(40-y-25)$元，月平均销售量为$(400+40y)$件，
根据总利润为6240元列方程：
$(40-y-25)(400+40y)=6240$
整理得：$y^2-5y+6=0$
解得$y_1=3$，$y_2=2$，
由于要尽可能多地提升月平均销售量，因此选择降价更多的$y=3$，舍去$y=2$。
【答案】
(1) 二、三月这两个月的月平均增长率为25%；
(2) 纪念品应降价3元。
【知识点】
一元二次方程的应用，增长率问题，销售利润问题
【点评】
本题结合时事热点设置场景，考查一元二次方程在实际问题中的应用，解题时需注意结合实际意义对方程的根进行取舍，能够锻炼学生分析问题、用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
