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5.“地球一小时”活动中，某餐厅设有烛光晚餐.若座位有$x$排，每排坐30人，则有8人无座位；若每排坐31人，则空26个座位.下列方程正确的是 （
A.$30x - 8 = 31x + 26$
B.$30x + 8 = 31x + 26$
C.$30x - 8 = 31x - 26$
D.$30x + 8 = 31x - 26$
D
）A.$30x - 8 = 31x + 26$
B.$30x + 8 = 31x + 26$
C.$30x - 8 = 31x - 26$
D.$30x + 8 = 31x - 26$
答案
5.D
解析
【分析】
解这道题的核心是抓住题目中不变的量——就餐总人数。我们可以分两步用含x的代数式表示总人数，再根据总人数相等列方程：第一步分析第一种坐法，每排坐30人，x排能坐30x人，还有8人无座位，说明总人数比30x多8；第二步分析第二种坐法，每排坐31人，x排满座能坐31x人，空26个座位，说明总人数比31x少26；最后让两个表示总人数的式子相等，就能匹配到正确选项。
【解析】
解：本题的等量关系为：两种座位安排下的总人数相等。
1. 每排坐30人时，x排可坐$30x$人，剩余8人无座位，因此总人数为：$30x + 8$；
2. 每排坐31人时，x排满座可坐$31x$人，空26个座位，因此总人数为：$31x - 26$；
由于总人数固定不变，可列方程：$30x + 8 = 31x - 26$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用；找等量关系；列方程
【点评】
这是一元一次方程应用中的典型盈不足类题型，解题关键是抓住总人数不变这一核心等量关系，只要理清两种场景下总人数和座位数的多少关系，就能快速列出方程，不易出错。
【难度系数】
0.8
解这道题的核心是抓住题目中不变的量——就餐总人数。我们可以分两步用含x的代数式表示总人数，再根据总人数相等列方程：第一步分析第一种坐法，每排坐30人，x排能坐30x人，还有8人无座位，说明总人数比30x多8；第二步分析第二种坐法，每排坐31人，x排满座能坐31x人，空26个座位，说明总人数比31x少26；最后让两个表示总人数的式子相等，就能匹配到正确选项。
【解析】
解：本题的等量关系为：两种座位安排下的总人数相等。
1. 每排坐30人时，x排可坐$30x$人，剩余8人无座位，因此总人数为：$30x + 8$；
2. 每排坐31人时，x排满座可坐$31x$人，空26个座位，因此总人数为：$31x - 26$；
由于总人数固定不变，可列方程：$30x + 8 = 31x - 26$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用；找等量关系；列方程
【点评】
这是一元一次方程应用中的典型盈不足类题型，解题关键是抓住总人数不变这一核心等量关系，只要理清两种场景下总人数和座位数的多少关系，就能快速列出方程，不易出错。
【难度系数】
0.8
6. 甲、乙两个工人接受了加工一批服装的任务，规定两人各加工任务的一半，已知乙的工效相当于甲的$\frac{4}{5}$。工作了8小时，甲完成了自己的任务，这时乙还差24件服装没完成。这批服装共有多少件？
答案
6.240件
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：①两人各加工总任务的一半，即两人的任务量相等；②乙的工作效率是甲的$\frac{4}{5}$；③甲工作8小时完成自身任务，此时乙还差24件未完成。核心等量关系为：甲8小时完成的工作量 - 乙8小时完成的工作量 = 24件。我们可以通过设甲的工作效率为未知数列一元一次方程求解，先算出甲的任务量，再乘2得到服装总件数。
【解析】
解：设甲每小时加工$x$件服装，则乙每小时加工$\frac{4}{5}x$件服装。
根据两人任务量相等，可列方程：
$8x = 8×\frac{4}{5}x + 24$
整理得：$8x - \frac{32}{5}x = 24$
即：$\frac{8}{5}x = 24$
解得：$x = 15$
甲的任务量（总任务的一半）为：$8×15 = 120$（件）
这批服装总件数为：$120×2 = 240$（件）
【答案】
240件
【知识点】
一元一次方程的应用；工程问题数量关系；分数的实际应用
【点评】
本题重点考察对工程问题中工作效率、工作时间、工作量三者关系的理解，解题关键是抓住两人任务量相等的隐含条件，找到工作量差对应的数值，建立等量关系列方程求解，也可通过效率比直接用算术方法计算，难度适中。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：①两人各加工总任务的一半，即两人的任务量相等；②乙的工作效率是甲的$\frac{4}{5}$；③甲工作8小时完成自身任务，此时乙还差24件未完成。核心等量关系为：甲8小时完成的工作量 - 乙8小时完成的工作量 = 24件。我们可以通过设甲的工作效率为未知数列一元一次方程求解，先算出甲的任务量，再乘2得到服装总件数。
【解析】
解：设甲每小时加工$x$件服装，则乙每小时加工$\frac{4}{5}x$件服装。
根据两人任务量相等，可列方程：
$8x = 8×\frac{4}{5}x + 24$
整理得：$8x - \frac{32}{5}x = 24$
即：$\frac{8}{5}x = 24$
解得：$x = 15$
甲的任务量（总任务的一半）为：$8×15 = 120$（件）
这批服装总件数为：$120×2 = 240$（件）
【答案】
240件
【知识点】
一元一次方程的应用；工程问题数量关系；分数的实际应用
【点评】
本题重点考察对工程问题中工作效率、工作时间、工作量三者关系的理解，解题关键是抓住两人任务量相等的隐含条件，找到工作量差对应的数值，建立等量关系列方程求解，也可通过效率比直接用算术方法计算，难度适中。
【难度系数】
0.7
▲7.盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱.某玩具商店计划采购文具盲盒和Molly盲盒，共125盒，这两种盲盒的进价、售价如右表所示：
(1)若采购共用去4000元，则两种盲盒各采购了多少盒？
(2)在(1)的条件下，若全部售完这125盒盲盒，则玩具商店可获利多少元？
(3)销售完这125盒盲盒的总利润能否恰好为1600元？若能，请说出采购方案；若不能，说明理由.
(1)若采购共用去4000元，则两种盲盒各采购了多少盒？
(2)在(1)的条件下，若全部售完这125盒盲盒，则玩具商店可获利多少元？
(3)销售完这125盒盲盒的总利润能否恰好为1600元？若能，请说出采购方案；若不能，说明理由.
答案
7.(1)文具盲盒25盒，Molly盲盒100盒 (2)1700元 (3)不能
解析
【分析】
(1)已知两种盲盒总采购量为125盒，总进价为4000元，我们可以设其中一种盲盒的采购数量为未知数，用总数量表示另一种盲盒的数量，再根据“文具盲盒总进价+Molly盲盒总进价=4000元”的等量关系列一元一次方程求解。
(2)先计算每种盲盒单盒利润（售价-进价），再乘对应采购量求和，即可得到总获利，也可通过总售价减总进价计算。
(3)假设总利润能恰好为1600元，设采购数量为未知数，根据总利润的等量关系列方程，判断方程的解是否为符合实际意义的非负整数，即可确定是否存在对应采购方案。
【解析】
(1)设采购文具盲盒$x$盒，则采购Molly盲盒$(125-x)$盒，根据总进价列方程：
$\begin{aligned}16x + 36(125-x)&=4000\\16x + 4500 - 36x&=4000\\-20x&=-500\\x&=25\end{aligned}$
Molly盲盒采购量：$125-25=100$（盒）
(2)单盒文具盲盒利润：$20-16=4$（元）
单盒Molly盲盒利润：$52-36=16$（元）
总获利：$25×4 + 100×16=100+1600=1700$（元）
(3)假设总利润能恰好为1600元，设采购文具盲盒$y$盒，则采购Molly盲盒$(125-y)$盒，根据总利润列方程：
$\begin{aligned}(20-16)y + (52-36)(125-y)&=1600\\4y + 2000 - 16y&=1600\\-12y&=-400\\y&=\frac{100}{3}\end{aligned}$
因为盲盒采购数量必须为正整数，$\frac{100}{3}$不是整数，不符合实际意义，因此总利润不能恰好为1600元。
【答案】
(1)文具盲盒25盒，Molly盲盒100盒
(2)1700元
(3)不能
【知识点】
一元一次方程的应用，利润计算，方程解的实际验证
【点评】
本题结合热点消费场景考查一元一次方程的实际应用，解题核心是找准等量关系列方程，同时需要注意方程的解要符合实际生活的数量要求，能够很好地考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1)已知两种盲盒总采购量为125盒，总进价为4000元，我们可以设其中一种盲盒的采购数量为未知数，用总数量表示另一种盲盒的数量，再根据“文具盲盒总进价+Molly盲盒总进价=4000元”的等量关系列一元一次方程求解。
(2)先计算每种盲盒单盒利润（售价-进价），再乘对应采购量求和，即可得到总获利，也可通过总售价减总进价计算。
(3)假设总利润能恰好为1600元，设采购数量为未知数，根据总利润的等量关系列方程，判断方程的解是否为符合实际意义的非负整数，即可确定是否存在对应采购方案。
【解析】
(1)设采购文具盲盒$x$盒，则采购Molly盲盒$(125-x)$盒，根据总进价列方程：
$\begin{aligned}16x + 36(125-x)&=4000\\16x + 4500 - 36x&=4000\\-20x&=-500\\x&=25\end{aligned}$
Molly盲盒采购量：$125-25=100$（盒）
(2)单盒文具盲盒利润：$20-16=4$（元）
单盒Molly盲盒利润：$52-36=16$（元）
总获利：$25×4 + 100×16=100+1600=1700$（元）
(3)假设总利润能恰好为1600元，设采购文具盲盒$y$盒，则采购Molly盲盒$(125-y)$盒，根据总利润列方程：
$\begin{aligned}(20-16)y + (52-36)(125-y)&=1600\\4y + 2000 - 16y&=1600\\-12y&=-400\\y&=\frac{100}{3}\end{aligned}$
因为盲盒采购数量必须为正整数，$\frac{100}{3}$不是整数，不符合实际意义，因此总利润不能恰好为1600元。
【答案】
(1)文具盲盒25盒，Molly盲盒100盒
(2)1700元
(3)不能
【知识点】
一元一次方程的应用，利润计算，方程解的实际验证
【点评】
本题结合热点消费场景考查一元一次方程的实际应用，解题核心是找准等量关系列方程，同时需要注意方程的解要符合实际生活的数量要求，能够很好地考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
