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1.[湖北中考]一元二次方程$x^2 -4x +3=0$的两个实数根为$x_1,x_2$,下列结论正确的是（
A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
D
）A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
答案
1.D
2.方程$x^2 + 3x - 6 = 0$与$x^2 - 6x + 10 = 0$的所有实数根的乘积等于（
A.$-60$
B.$3$
C.$-6$
D.$10$
C
）A.$-60$
B.$3$
C.$-6$
D.$10$
答案
2.C 【点拨】易得方程 $x^2 + 3x - 6 = 0$ 的两根之积等于$-6$,方程 $x^2 - 6x + 10 = 0$ 没有实数根,$\therefore$两方程的所有实数根的乘积等于$-6$,故选 C.
3. 「一题多解」关于$x$的一元二次方程$3x^2 - 2x + m = 0$有两根，其中一根为$x=1$，则这两根之积为（
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$1$
D.$-\frac{1}{3}$
D
）A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$1$
D.$-\frac{1}{3}$
答案
3.D 【点拨】
方法 1:将 $x=1$ 代入 $3x^2 - 2x + m = 0$,得 $3-2+m=0$,解得 $m=-1$,即原方程为 $3x^2 - 2x -1=0$,解得 $x_1=1,x_2=-\frac{1}{3}$,$\therefore x_1 x_2=-\frac{1}{3}$. 方法 2:设方程的另一根为 $x_2$,则 $1+x_2=\frac{2}{3}$,解得 $x_2=-\frac{1}{3}$,$\therefore 1 · x_2=-\frac{1}{3}$.4.关于$x$的方程$(x-1)(x+2)-p^2=0$（$p$为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（
A.两个正根
B.两个负根
C.一个正根，一个负根
D.无实数根
C
）A.两个正根
B.两个负根
C.一个正根，一个负根
D.无实数根
答案
4.C 【点拨】化简关于 $x$ 的方程 $(x-1)(x+2)-p^2=0$($p$ 为常数),得 $x^2 + x - 2 - p^2=0$,$\therefore \Delta=1+8+4p^2=9+4p^2＞0$,$\therefore$方程有两个不相等的实数根.根据根与系数的关系,得方程的两个根的积为 $-2-p^2＜0$,$\therefore$方程的两个实数根异号.
5. [一题多解]小明和小红一起做作业，在解一个关于x的一元二次方程(二次项系数为1)时，小明在化简过程中写错了常数项，得到两个根分别是2和5；小红在化简过程中写错了一次项系数，得到两个根分别是2和6，则此方程正确的解可以为（
A.$x_1=x_2=2$
B.$x_1=5,x_2=6$
C.$x_1=3,x_2=4$
D.此方程无解
C
）A.$x_1=x_2=2$
B.$x_1=5,x_2=6$
C.$x_1=3,x_2=4$
D.此方程无解
答案
5.C 【点拨】方法 1:设两根为 2 和 5 的方程为 $x^2 +bx +c=0$,则 $\begin{cases}2^2+2b+c=0,\\5^2+5b+c=0,\end{cases}$解得 $\begin{cases}b=-7,\\c=10.\end{cases}$ $\therefore$ 小明写错了常数项后的方程为 $x^2 -7x +10=0$.同理可求出小红写错了一次项系数后的方程为 $x^2 -8x +12=0$. $\therefore$ 正确的方程为 $x^2 -7x +12=0$,解得 $x_1=3,x_2=4$.方法 2:由写错了常数项可知两个正确根的和为 $2+5=7$,由写错了一次项系数可知两个正确根的积为 $2 × 6=12$.$\because 3+4=7$,$3 × 4=12$,$\therefore$ 两个正确根分别为 3,4.
6. [新考法]整体代入法 已知$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 - 3x -5=0$的两个实数根，则$(x_1 - x_2)^2 + 3x_1x_2$的值是
14
。答案
6. 14
7.已知$m,n$是方程$x^2 + 2x -5=0$的两实数根，则$m^2 - mn +3m +n$的值为
8
。答案
7. 8 【点拨】$\because m,n$ 是方程 $x^2 + 2x -5=0$ 的两实数根，$\therefore m+n=-2$,$mn=-5$,$m^2+2m-5=0$,$\therefore m^2+2m=5$,$\therefore m^2 - mn +3m +n=(m^2+2m)-mn+(m+n)=5-(-5)+(-2)=8$.
8.定义$(a,b,c)$为方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的特征数.若特征数为$(1,2k-2,k^2-k)$的方程的两实数根的平方和为12,则$k$的值为 (
A.$-1$或4
B.4
C.$-1$
D.$-4$或1
C
)A.$-1$或4
B.4
C.$-1$
D.$-4$或1
答案
8.C 【点拨】根据题意可知,该方程为 $x^2 + (2k-2)x +k^2 -k=0$. $\because$ 方程的两实数根的平方和为 12,$\therefore \Delta=(2k-2)^2 -4(k^2 -k)=4k^2 -8k +4 -4k^2 +4k=-4k+4≥0$.$\therefore k≤1$.设两实数根分别为 $x_1,x_2$,则 $x_1+x_2=-(2k-2)$,$x_1x_2=k^2 -k$.$\because x_1^2 +x_2^2=(x_1+x_2)^2 -2x_1x_2=12$,$\therefore [-(2k-2)]^2 -2(k^2 -k)=12$,解得 $k_1=4$,$k_2=-1$.又 $\because k≤1$,$\therefore k=-1$.
9.已知$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2 - 2x + k - 1 = 0$的两个实数根，且$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = x_1^2 + 2x_2 - 1$，则$k$的值为
2
。答案
9. 2 【点拨】$\because x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2 - 2x + k - 1 = 0$ 的两个实数根,$\therefore x_1+x_2=2$,$x_1x_2=k-1$,$x_1^2 -2x_1 +k -1=0$. $\therefore x_1^2=2x_1 -k +1$. $\because \frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=x_1^2 +2x_2 -1$,$\therefore \frac{(x_1+x_2)^2 -2x_1x_2}{x_1x_2}=2(x_1+x_2)-k$. $\therefore \frac{2^2 -2(k-1)}{k-1}=4 -k$,解得 $k=2$ 或 $k=5$.经检验,$k=2$ 或 $k=5$ 均为该分式方程的解.当 $k=2$ 时,关于 $x$ 的方程为 $x^2 -2x +1=0$,此时 $\Delta=0$,符合题意;当 $k=5$ 时,关于 $x$ 的方程为 $x^2 -2x +4=0$,此时 $\Delta＜0$,方程无实数根,不符合题意.$\therefore k=2$.
10. 新考法转化思想 若$mn≠1$，且$5m^2 + 2026m + 9 = 0$，$9n^2 + 2026n + 5 = 0$，则$\frac{m}{n}=$（
A.$\frac{9}{5}$
B.$\frac{5}{9}$
C.$-\frac{2026}{5}$
D.$-\frac{2026}{9}$
A
）A.$\frac{9}{5}$
B.$\frac{5}{9}$
C.$-\frac{2026}{5}$
D.$-\frac{2026}{9}$
答案
10.A 【点技巧】解本题时,(1)先观察方程结构,构造“同型式”,当两个方程系数成“倒序”关系时,可通过给其中一个方程除以变量的平方(需保证变量不为0),将其变形为与另一个方程形式完全一致的式子,从而构造出关于同一变量的一元二次方程.(2)利用根与系数的关系求解.过程如下:由题易知 $n≠0$. $\because mn≠1$,$\therefore m≠\frac{1}{n}$. 将 $9n^2 +2026n +5=0$ 变形,得 $5(\frac{1}{n})^2 +2026×\frac{1}{n}+9=0$.又 $\because 5m^2 +2026m +9=0$,$\therefore m$ 与 $\frac{1}{n}$ 为方程 $5x^2 +2026x +9=0$ 的两个解,$\therefore m·\frac{1}{n}=\frac{9}{5}$,即 $\frac{m}{n}=\frac{9}{5}$.
11. 已知$a,b,m,n$为互不相等的实数，且$(a+m)(a+n)=2$，$(b+m)(b+n)=2$，则$ab-mn$的值为（
A.$4$
B.$1$
C.$-2$
D.$-1$
C
）A.$4$
B.$1$
C.$-2$
D.$-1$
答案
11.C 【点拨】$\because (a+m)(a+n)=2$,$(b+m)(b+n)=2$,$\therefore a^2 +(m+n)a +mn -2=0$,$b^2 +(m+n)b +mn -2=0$.$\because a,b,m,n$ 为互不相等的实数,$\therefore a,b$ 可看作方程 $x^2 +(m+n)x +mn -2=0$ 的两实数根,$\therefore ab=mn -2$,$\therefore ab - mn=-2$.
12. 新视角新定义题 定义:如果关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有两个实数根为$x_1,x_2$，那么以这两个根的倒数$\frac{1}{x_1},\frac{1}{x_2}$为根的一元二次方程称为原方程的倒根方程.一元二次方程$x^2-3x-10=0$的倒根方程为
$10x^2+3x-1=0$(答案不唯一)
.答案
12.$10x^2+3x-1=0$(答案不唯一) 【点拨】方程 $x^2 -3x -10=0$ 的解为 $x_1=-2$,$x_2=5$. $\because -2$ 的倒数为 $-\frac{1}{2}$,$5$ 的倒数为 $\frac{1}{5}$,$(-\frac{1}{2})+\frac{1}{5}=-\frac{3}{10}$,$(-\frac{1}{2})×\frac{1}{5}=-\frac{1}{10}$,$\therefore$ 以 $-\frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{5}$ 为根的方程为 $x^2 +\frac{3}{10}x -\frac{1}{10}=0$,即一元二次方程 $x^2 -3x -10=0$ 的倒根方程为 $x^2 +\frac{3}{10}x -\frac{1}{10}=0$,即 $10x^2 +3x -1=0$.
13. 新考法分类讨论法 已知$△ ABC$的两边$AB,AC$的长是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(n-1)x + n^2 - 2n = 0$的两个根，第三边$BC$的长是10.当$△ ABC$为等腰三角形时，$△ ABC$的周长为
32或28
.答案
13. 32 或 28 【点拨】$\because \Delta=[-2(n-1)]^2 -4(n^2 -2n)=4＞0$,$\therefore$ 无论 $x$ 取何值,此方程总有两个不相等的实数根,即 $AB≠ AC$. $\because$ 第三边 $BC$ 的长是 10,$\therefore$ 当 $△ ABC$ 为等腰三角形时,$AB=BC=10$ 或 $AC=BC=10$,$\therefore x=10$ 为一元二次方程的一个根,$\therefore 100 -20(n-1)+n^2 -2n=0$,解得 $n=12$ 或 $n=10$.设等腰三角形 $ABC$ 的底边长为 $m$.①当 $n=12$ 时,方程为 $x^2 -22x +120=0$,根据根与系数的关系,得 $m+10=22$,$\therefore m=12$,此时能构成三角形,$\therefore △ ABC$ 的周长为 $10+10+12=32$;②当 $n=10$ 时,方程为 $x^2 -18x +80=0$,根据根与系数的关系,得 $10+m=18$,解得 $m=8$,此时能构成三角形,$\therefore △ ABC$ 的周长为 $10+10+8=28$.综上,当 $△ ABC$ 是等腰三角形时,$△ ABC$ 的周长为 32 或 28.
