14. [《数学周报》杯全国初中数学竞赛] 已知关于x的一元二次方程$x^2 + cx + a = 0$的两个整数根恰好比方程$x^2 + ax + b = 0$的两个根都大1，则$a + b + c$的值为。

14.$-3$或29 【点拨】设方程 $x^2 +ax +b=0$ 的两个根为 $α,β$,其中 $α,β$ 为整数,且 $α≤β$,则方程 $x^2 +cx +a=0$ 的两个根为 $α+1,β+1$,由题意,得 $α+β=-a$,$(α+1)(β+1)=a$,两式相加,得 $αβ +2α +2β +1=0$,即 $(α+2)(β+2)=3$. 所以 $\begin{cases}α+2=1,\\β+2=3\end{cases}$或$\begin{cases}α+2=-3,\\β+2=-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}α=-1,\\β=1\end{cases}$或$\begin{cases}α=-5,\\β=-3.\end{cases}$又因为 $a=-(α+β)$,$b=αβ$,$c=-[(α+1)+(β+1)]$,所以 $a=0$,$b=-1$,$c=-2$ 或 $a=8$,$b=15$,$c=6$.故 $a+b+c$ 的值为 $-3$ 或 29.

15. 已知$\sqrt{2}-1$是关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$（$a,b,c$是有理数，$a≠0$）的一个根，则该方程的另一个根是。

15.$-1-\sqrt{2}$ 【点拨】设方程的另一个根为 $m$.由根与系数的关系可得 $m+\sqrt{2}-1=-\frac{b}{a}$,$(\sqrt{2}-1)m=\frac{c}{a}$,$\therefore m+\sqrt{2}=-\frac{b}{a}+1$. $\because a,b,c$ 是有理数,$a≠0$,$\therefore -\frac{b}{a}+1$ 和 $\frac{c}{a}$ 都是有理数,$\therefore m+\sqrt{2}$ 和 $(\sqrt{2}-1)m$ 都是有理数,$\therefore$ 可设 $m=n-\sqrt{2}$($n$ 为有理数),$\therefore (\sqrt{2}-1)m=(\sqrt{2}-1)(n-\sqrt{2})=\sqrt{2}n -n -2 +\sqrt{2}=(n+1)\sqrt{2} -n -2$. $\because (n+1)\sqrt{2} -n -2$ 是有理数,且 $n$ 是有理数,$\therefore n+1=0$,$\therefore n=-1$,$\therefore m=-1-\sqrt{2}$,$\therefore$ 原方程的另一个根为 $-1-\sqrt{2}$.

16. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(2k+3)x +k^2-2k-1=0$有两个不相等的实数根.
(1)求$k$的取值范围.
(2)当方程$x^2-(2k+3)x +k^2-2k-1=0$的判别式的值为33时,且该方程的两根为$x_1,x_2$,求代数式$(x_1+1)(x_2+1)$的值.
(3)在(2)的条件下,若$a,b$为方程$x^2-(2k+3)x +k^2-2k-1=0$的两个根,且$|a|,|b|$分别为菱形$ABCD$的两条对角线$AC,BD$的长,求菱形$ABCD$的周长.

16.【解】(1)根据题意得 $\Delta=[-(2k+3)]^2 -4(k^2 -2k -1)=20k+13＞0$,$\therefore k＞-\frac{13}{20}$.
(2)$\because \Delta=20k+13=33$,$\therefore k=1$,
$\therefore$ 方程为 $x^2 -5x -2=0$.
根据根与系数的关系可得:$x_1+x_2=5$,$x_1· x_2=-2$,
$\therefore (x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2+(x_1+x_2)+1=(-2)+5+1=4$.
(3)$\because$ 方程 $x^2 -5x -2=0$ 的两根为 $a,b$,
$\therefore a+b=5$,$ab=-2$.
设两条对角线 $AC,BD$ 交于点 $O$.
$\because AC=|a|$,$BD=|b|$,
$\therefore AO=CO=\left|\frac{a}{2}\right|$,$BO=DO=\left|\frac{b}{2}\right|$,
$\therefore AB^2=AO^2 +OB^2=\left|\frac{a}{2}\right|^2 +\left|\frac{b}{2}\right|^2=\frac{a^2 +b^2}{4}=\frac{(a+b)^2 -2ab}{4}=\frac{5^2 -2×(-2)}{4}=\frac{29}{4}$,
$\therefore AB=\sqrt{\frac{29}{4}}=\frac{\sqrt{29}}{2}$,
$\therefore$ 菱形 $ABCD$ 的周长为 $4AB=4×\frac{\sqrt{29}}{2}=2\sqrt{29}$.

17. 新考法阅读类比法 阅读材料，解答问题：
材料1:为了解方程$(x^2)^2 -13x^2 +36=0$，我们把$x^2$看作一个整体，然后设$y=x^2$，则原方程可化为$y^2 -13y +36=0$，经过运算，原方程的解为$x_1=2,x_2=-2,x_3=3,x_4=-3$。我们把以上这种解决问题的方法叫做换元法。
材料2:已知实数$m,n$满足$m^2 -m -1=0,n^2 -n -1=0$，且$m≠n$，显然$m,n$是方程$x^2 -x -1=0$的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知$m+n=1,mn=-1$。
(1)方程$x^4 -5x^2 +6=0$的解为；
(2)已知实数$a,b$满足$2a^4 -7a^2 +1=0,2b^4 -7b^2 +1=0$且$a≠b$，求$a^4 +b^4$的值；
(3)已知实数$m,n$满足$\frac{1}{m^4} +\frac{1}{m^2}=7,n^2 -n=7$，且$n＞0$，求$\frac{1}{m^4} +n^2$的值。

17.【解】(1)$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2},x_3=\sqrt{3},x_4=-\sqrt{3}$
(2)$\because a≠ b$,$\therefore a^2≠ b^2$ 或 $a^2=b^2$($a=-b$).当 $a^2≠ b^2$ 时,令 $a^2=m$,$b^2=n$,则 $2m^2 -7m +1=0$,$2n^2 -7n +1=0$,
$\therefore m,n$ 可看作方程 $2x^2 -7x +1=0$ 的两个不相等的实数根,$\therefore m+n=\frac{7}{2}$,$mn=\frac{1}{2}$,此时 $a^4 +b^4=m^2 +n^2=(m+n)^2 -2mn=\frac{45}{4}$;当 $a^2=b^2$($a=-b$)时,$a^2=b^2=\frac{7\pm\sqrt{41}}{4}$,此时 $a^4 +b^4=2a^4=2(a^2)^2=\frac{45\pm7\sqrt{41}}{4}$.
综上所述,$a^4 +b^4=\frac{45}{4}$ 或 $\frac{45\pm7\sqrt{41}}{4}$.
(3)令 $\frac{1}{m^2}=a$,$-n=b$,则 $a^2 +a -7=0$,$b^2 +b -7=0$. $\because n＞0$,$\therefore \frac{1}{m^2}≠ -n$,即 $a≠ b$,$\therefore a,b$ 可看作方程 $x^2 +x -7=0$ 的两个不相等的实数根,$\therefore a+b=-1$,$ab=-7$.
$\therefore \frac{1}{m^4} +n^2=a^2 +b^2=(a+b)^2 -2ab=15$.