12. 新考法分类讨论法 已知$m,n,3$分别是等腰三角形三边的长，且$m,n$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 8x + 21 - k = 0$的两个实数根，则$k$的值为。

12.5或6 【点拨】①当m,n为腰时，$m=n$.
∵m,n是关于x的一元二次方程$x^2-8x+21-k=0$的两个实数根，
∴方程有两个相等的实数根，$∴Δ=(-8)^2-4×1×(21-k)=0$,解得$k=5$,经检验，$k=5$符合题意;②当m和3(或n和3)是腰时，$m=3$(或$n=3$),把$x=3$代入方程,得$9-24+21-k=0$,解得$k=6$,经检验，$k=6$符合题意。综上可知，$k=5$或6.

13. 淄博模拟 母题·教材$P_{39}$习题$T_{10}$已知关于$x$的一元二次方程
$(x-1)· (x-2k)+k(k-1)=0.$
(1)求证:该一元二次方程总有两个不相等的实数根;
(2)若该方程的两个根$x_1,x_2$是一个矩形的一边长和对角线的长,且矩形的另一边长为3,试求$k$的值.

13.(1)【证明】$(x-1)(x-2k)+k(k-1)=0$，整理，得$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$.
$∵a=1,b=-(2k+1),c=k^2+k$,
$∴Δ=b^2-4ac=[-(2k+1)]^2-4×1×(k^2+k)=1＞0$.
∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根.
(2)【解】$∵x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$,
$∴x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{2k+1±1}{2}$,
$∴x_1=k,x_2=k+1$.
①当$x=k$为对角线的长时，易知$k^2=(k+1)^2+3^2$,
解得$k=-5$(不符合题意，舍去)；
②当$x=k+1$为对角线时，易知$(k+1)^2=k^2+3^2$,
解得$k=4$.
综上所述，k的值为4.

14. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2mx + m^2 - n + 1 = 0$有两个不相等的实数根.
(1)求$n$的取值范围；
(2)若$n$为符合条件的最小整数,且该方程的较大根是较小根的5倍,求$m$的值.

14.【解】(1)由题意，知$a=1,b=-2m,c=m^2-n+1$.
∵方程有两个不相等的实数根，
$∴b^2-4ac=(-2m)^2-4×1×(m^2-n+1)＞0$.
即$4m^2-4m^2+4n-4＞0$,解得$n＞1$.
(2)由(1)及题意，知$n=2$，
∴方程为$x^2-2mx+m^2-2+1=0$,即$x^2-2mx+m^2-1=0.∴x^2-2mx+m^2=1$,即$(x-m)^2=1$,
解得$x=m+1$或$x=m-1$.
∵该方程的较大根是较小根的5倍，
$∴m+1=5(m-1).∴m=\frac{3}{2}$.

15. 盐城期中 新视角 存在性探究题 定义:若一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式$b^2-4ac$是一个完全平方数(式),则此方程叫做“完美方程”.
(1)下列方程中一定是“完美方程”的是. (填序号)
①$x^2-4x-3=0$;
②$x^2+mx+m-2=0$;
③$x^2+(b+1)x+b=0$.
(2)已知关于$x$的一元二次方程$x^2-2(m-1)x+m^2-2m=0$.
①求证:此方程一定是“完美方程”.
②设此方程的两个实数根分别为$x_1,x_2(x_1＜x_2)$,是否存在实数$k$,使得点$P(x_1,x_2)$始终在函数$y=kx-k+3$的图象上?若存在,求出$k$的值;若不存在,请说明理由.

15.(1)③
(2)①【证明】$∵b^2-4ac=[-2(m-1)]^2-4(m^2-2m)=4m^2-8m+4-4m^2+8m=4$,且4是完全平方数，
∴此方程一定是“完美方程”.
②【解】存在。将$x^2-2(m-1)x+m^2-2m=0$变形为$(x-m)[x-(m-2)]=0$，
$∴x-m=0$或$x-(m-2)=0,∴x=m$或$x=m-2$.
∵方程$x^2-2(m-1)x+m^2-2m=0$的两个实数根分别为$x_1,x_2(x_1＜x_2),∴x_1=m-2,x_2=m$.
∵点$P(x_1,x_2)$始终在函数$y=kx-k+3$的图象上，
$∴m=k(m-2)-k+3,∴(k-1)m=3(k-1)$.
∵对于任意实数m，上式都成立，
$∴k-1=0$,解得$k=1$，
∴存在实数k，使得点$P(x_1,x_2)$始终在函数$y=kx-k+3$的图象上，k的值为1.