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11.已知AB,CD是⊙O的弦,AB,CD的位置如图所示,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$.
仅用无刻度的直尺作弦CD的垂直平分线,并说明理由.
仅用无刻度的直尺作弦CD的垂直平分线,并说明理由.
答案
解：
作法：
1. 连接AD、BC，两线交于点P；
2. 作直线OP，则直线OP即为所求作的弦CD的垂直平分线。
理由：
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角与$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角相等，即∠PDC=∠PCD，
∴ PC=PD，
∴ 点P在CD的垂直平分线上。
又∵ 弦的垂直平分线经过圆心，
∴ 点O在CD的垂直平分线上。
根据两点确定一条直线，可得直线OP是弦CD的垂直平分线。
作法：
1. 连接AD、BC，两线交于点P；
2. 作直线OP，则直线OP即为所求作的弦CD的垂直平分线。
理由：
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角与$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角相等，即∠PDC=∠PCD，
∴ PC=PD，
∴ 点P在CD的垂直平分线上。
又∵ 弦的垂直平分线经过圆心，
∴ 点O在CD的垂直平分线上。
根据两点确定一条直线，可得直线OP是弦CD的垂直平分线。
解析
【分析】
要作出弦CD的垂直平分线，可结合垂直平分线的判定和圆的性质推导思路：首先圆的任意一条弦的垂直平分线都经过圆心O，因此只需再找到一个在CD垂直平分线上的点，将该点与O连线即可。已知$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，根据等弧所对的圆周角相等，可推出以CD为底的三角形是等腰三角形，即得到在CD垂直平分线上的点P，因此先连接AD、BC得到交点P，再过P、O作直线即可。
【解析】
作法：
1. 连接AD、BC，两线交于点P；
2. 作直线OP，则直线OP即为所求作的弦CD的垂直平分线。
理由：
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角与$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角相等，即$∠ PDC=∠ PCD$，
∴ $PC=PD$，
∴ 点P在CD的垂直平分线上。
又
∵ 圆的弦的垂直平分线经过圆心，
∴ 点O在CD的垂直平分线上。
根据两点确定一条直线，可得直线OP是弦CD的垂直平分线。
【答案】
作法：①连接AD、BC，交于点P；②作直线OP，直线OP即为弦CD的垂直平分线。理由如上。
【知识点】
弧与圆周角的关系，线段垂直平分线的判定，圆的弦的性质
【点评】
本题属于无刻度直尺作图题，综合考查圆的相关性质和线段垂直平分线的判定，解题核心是利用等弧对等圆周角的性质找到垂直平分线上的非圆心点P，对知识的灵活运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要作出弦CD的垂直平分线，可结合垂直平分线的判定和圆的性质推导思路：首先圆的任意一条弦的垂直平分线都经过圆心O，因此只需再找到一个在CD垂直平分线上的点，将该点与O连线即可。已知$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，根据等弧所对的圆周角相等，可推出以CD为底的三角形是等腰三角形，即得到在CD垂直平分线上的点P，因此先连接AD、BC得到交点P，再过P、O作直线即可。
【解析】
作法：
1. 连接AD、BC，两线交于点P；
2. 作直线OP，则直线OP即为所求作的弦CD的垂直平分线。
理由：
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角与$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角相等，即$∠ PDC=∠ PCD$，
∴ $PC=PD$，
∴ 点P在CD的垂直平分线上。
又
∵ 圆的弦的垂直平分线经过圆心，
∴ 点O在CD的垂直平分线上。
根据两点确定一条直线，可得直线OP是弦CD的垂直平分线。
【答案】
作法：①连接AD、BC，交于点P；②作直线OP，直线OP即为弦CD的垂直平分线。理由如上。
【知识点】
弧与圆周角的关系，线段垂直平分线的判定，圆的弦的性质
【点评】
本题属于无刻度直尺作图题，综合考查圆的相关性质和线段垂直平分线的判定，解题核心是利用等弧对等圆周角的性质找到垂直平分线上的非圆心点P，对知识的灵活运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
12.【课本再现】
例:如图1,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,求证:A,B,C,D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.
证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴OA=OC=$\frac{1}{2}AC$,OB=OD=$\frac{1}{2}BD$,AC=BD ∴OA=OC=OB=OD.
∴A,B,C,D四个点都在以点O为圆心,OA为半径的圆上.
【初步运用】
(1)对于一些几何问题,如果添加辅助圆,运用圆的知识可以更容易解决.例如:如图2,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,D是△ABC外一点,且AD=AC,求∠BDC的度数.若以点A为圆心,AB为半径作辅助圆⊙A,由AB=AC=AD可知点C,D必在⊙A上,∠BAC是⊙A的圆心角,而∠BDC是圆周角,从而容易得到∠BDC=°.
(2)如图3,在四边形ABCD中,AB=AC=AD,求证:∠1+∠2=90°.
例:如图1,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,求证:A,B,C,D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.
证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴OA=OC=$\frac{1}{2}AC$,OB=OD=$\frac{1}{2}BD$,AC=BD ∴OA=OC=OB=OD.
∴A,B,C,D四个点都在以点O为圆心,OA为半径的圆上.
【初步运用】
(1)对于一些几何问题,如果添加辅助圆,运用圆的知识可以更容易解决.例如:如图2,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,D是△ABC外一点,且AD=AC,求∠BDC的度数.若以点A为圆心,AB为半径作辅助圆⊙A,由AB=AC=AD可知点C,D必在⊙A上,∠BAC是⊙A的圆心角,而∠BDC是圆周角,从而容易得到∠BDC=°.
(2)如图3,在四边形ABCD中,AB=AC=AD,求证:∠1+∠2=90°.
答案
解：(1) 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∵ ∠BAC是⊙A中弧BC所对的圆心角，∠BDC是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠BDC = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}×54°=27°$。
故答案为：$\boldsymbol{27}$。
(2) 证明：以点A为圆心，AB长为半径作⊙A。
∵ AB=AC=AD，
∴ 点B、C、D都在⊙A上。
∴ ∠1是⊙A中弧BC所对的圆周角，
∴ ∠1 = $\frac{1}{2}$∠BAC。
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠2，
在△ABC中，∠BAC + ∠ABC + ∠2 = 180°，
即∠BAC = 180° - 2∠2。
代入得：∠1 = $\frac{1}{2}(180°-2∠2) = 90° - ∠2$，
∴ ∠1 + ∠2 = 90°。
∵ ∠BAC是⊙A中弧BC所对的圆心角，∠BDC是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠BDC = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}×54°=27°$。
故答案为：$\boldsymbol{27}$。
(2) 证明：以点A为圆心，AB长为半径作⊙A。
∵ AB=AC=AD，
∴ 点B、C、D都在⊙A上。
∴ ∠1是⊙A中弧BC所对的圆周角，
∴ ∠1 = $\frac{1}{2}$∠BAC。
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠2，
在△ABC中，∠BAC + ∠ABC + ∠2 = 180°，
即∠BAC = 180° - 2∠2。
代入得：∠1 = $\frac{1}{2}(180°-2∠2) = 90° - ∠2$，
∴ ∠1 + ∠2 = 90°。
解析
【分析】
(1) 解题思路：已知AB=AC=AD，可构造以A为圆心、AB为半径的辅助圆，此时点B、C、D均在该圆上。∠BAC是弧BC对应的圆心角，∠BDC是弧BC对应的圆周角，根据圆周角定理“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，代入已知角度即可直接计算出∠BDC的度数。
(2) 解题思路：同样先构造以A为圆心、AB为半径的辅助圆，由AB=AC=AD可推出B、C、D三点都在该圆上，根据圆周角定理可得∠1等于弧BC对应的圆心角∠BAC的一半；再利用等腰△ABC的内角和性质，将∠BAC用∠2表示，代入等量关系化简即可得到∠1和∠2的和的结论。
【解析】
(1) 以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，
∵AB=AC=AD，
∴点B、C、D都在⊙A上。
∠BAC是⊙A中弧BC所对的圆心角，∠BDC是⊙A中弧BC所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠BDC = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}×54°=27°$。
(2) 证明：以点A为圆心，AB长为半径作⊙A。
∵ AB=AC=AD，
∴ 点B、C、D都在⊙A上，
∴ ∠1是⊙A中弧BC所对的圆周角，
∴ ∠1 = $\frac{1}{2}$∠BAC。
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠2，
在△ABC中，由三角形内角和为180°得：∠BAC + ∠ABC + ∠2 = 180°，
即∠BAC = 180° - 2∠2。
将∠BAC = 180° - 2∠2代入∠1 = $\frac{1}{2}$∠BAC得：
∠1 = $\frac{1}{2}(180°-2∠2) = 90° - ∠2$，
移项得∠1 + ∠2 = 90°，得证。
【答案】
(1) $\boldsymbol{27}$；(2) ∠1+∠2=90°，证明成立。
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是教材矩形四点共圆结论的拓展应用，通过构造辅助圆可以将等腰三角形相关的角度计算、证明问题转化为圆的圆心角与圆周角的关系问题，大大简化了解题步骤，考查了知识迁移能力和辅助线构造的技巧。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：已知AB=AC=AD，可构造以A为圆心、AB为半径的辅助圆，此时点B、C、D均在该圆上。∠BAC是弧BC对应的圆心角，∠BDC是弧BC对应的圆周角，根据圆周角定理“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，代入已知角度即可直接计算出∠BDC的度数。
(2) 解题思路：同样先构造以A为圆心、AB为半径的辅助圆，由AB=AC=AD可推出B、C、D三点都在该圆上，根据圆周角定理可得∠1等于弧BC对应的圆心角∠BAC的一半；再利用等腰△ABC的内角和性质，将∠BAC用∠2表示，代入等量关系化简即可得到∠1和∠2的和的结论。
【解析】
(1) 以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，
∵AB=AC=AD，
∴点B、C、D都在⊙A上。
∠BAC是⊙A中弧BC所对的圆心角，∠BDC是⊙A中弧BC所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠BDC = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}×54°=27°$。
(2) 证明：以点A为圆心，AB长为半径作⊙A。
∵ AB=AC=AD，
∴ 点B、C、D都在⊙A上，
∴ ∠1是⊙A中弧BC所对的圆周角，
∴ ∠1 = $\frac{1}{2}$∠BAC。
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠2，
在△ABC中，由三角形内角和为180°得：∠BAC + ∠ABC + ∠2 = 180°，
即∠BAC = 180° - 2∠2。
将∠BAC = 180° - 2∠2代入∠1 = $\frac{1}{2}$∠BAC得：
∠1 = $\frac{1}{2}(180°-2∠2) = 90° - ∠2$，
移项得∠1 + ∠2 = 90°，得证。
【答案】
(1) $\boldsymbol{27}$；(2) ∠1+∠2=90°，证明成立。
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是教材矩形四点共圆结论的拓展应用，通过构造辅助圆可以将等腰三角形相关的角度计算、证明问题转化为圆的圆心角与圆周角的关系问题，大大简化了解题步骤，考查了知识迁移能力和辅助线构造的技巧。
【难度系数】
0.7
