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7. 如图，△ABC 内接于⊙O，∠BAC＝30°.分别以点 A 和点 B 为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，两弧分别交于 M，N 两点，作直线 MN 交 AC 于点 D，连接 BD 并延长交⊙O 于点 E，连接 OA，OE，则∠AOE 的度数是（）
A.30°
B.50°
C.60°
D.75°
A.30°
B.50°
C.60°
D.75°
答案
C
解析
【分析】
解题时首先识别尺规作图的类型：题目中MN是用尺规作的AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AD=BD，进而推出∠ABD=∠BAC=30°；再结合圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出∠AOE的度数。
【解析】
1. 由尺规作图的方法可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，点D在MN上，因此AD=BD；
2. 由AD=BD可得△ABD是等腰三角形，所以∠ABD=∠BAC=30°，即∠ABE=30°；
3. ∠ABE是⊙O中弧AE所对的圆周角，∠AOE是弧AE所对的圆心角，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，因此∠AOE=2∠ABE=2×30°=60°。
【答案】
C
【知识点】
垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是先识别尺规作图得到线段垂直平分线，再结合等腰三角形性质和圆周角定理推导角的数量关系，考查了基础图形性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先识别尺规作图的类型：题目中MN是用尺规作的AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AD=BD，进而推出∠ABD=∠BAC=30°；再结合圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出∠AOE的度数。
【解析】
1. 由尺规作图的方法可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，点D在MN上，因此AD=BD；
2. 由AD=BD可得△ABD是等腰三角形，所以∠ABD=∠BAC=30°，即∠ABE=30°；
3. ∠ABE是⊙O中弧AE所对的圆周角，∠AOE是弧AE所对的圆心角，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，因此∠AOE=2∠ABE=2×30°=60°。
【答案】
C
【知识点】
垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是先识别尺规作图得到线段垂直平分线，再结合等腰三角形性质和圆周角定理推导角的数量关系，考查了基础图形性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
8.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，⊙O的半径为6，则BD的长为。
答案
$\boldsymbol{6\sqrt{3}}$
解析
【分析】
要求弦BD的长，已知圆的半径，可先求出BD所对圆心角的度数：首先利用圆内接四边形的对角互补，由已知的∠BCD求出∠BAD的度数；再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得到圆心角∠BOD的度数；最后结合垂径定理和特殊角的三角函数值，即可求出BD的长度。
【解析】
1. 连接OB、OD，过点O作OE⊥BD于点E。
2.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD + ∠BCD = 180°。
已知∠BCD=120°，
∴∠BAD=180°-120°=60°。
3.
∵∠BOD是弧BD所对的圆心角，∠BAD是弧BD所对的圆周角，
∴∠BOD=2∠BAD=2×60°=120°。
4.
∵OE⊥BD，由垂径定理得：BE=DE=½BD，∠BOE=½∠BOD=60°。
5. 在Rt△BOE中，OB=6，sin∠BOE=BE/OB，
∴BE=OB·sin60°=6×(√3/2)=3√3，
∴BD=2BE=2×3√3=6√3。
【答案】
$\boldsymbol{6\sqrt{3}}$
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握圆相关性质，将求弦长问题转化为解直角三角形问题求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
要求弦BD的长，已知圆的半径，可先求出BD所对圆心角的度数：首先利用圆内接四边形的对角互补，由已知的∠BCD求出∠BAD的度数；再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得到圆心角∠BOD的度数；最后结合垂径定理和特殊角的三角函数值，即可求出BD的长度。
【解析】
1. 连接OB、OD，过点O作OE⊥BD于点E。
2.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD + ∠BCD = 180°。
已知∠BCD=120°，
∴∠BAD=180°-120°=60°。
3.
∵∠BOD是弧BD所对的圆心角，∠BAD是弧BD所对的圆周角，
∴∠BOD=2∠BAD=2×60°=120°。
4.
∵OE⊥BD，由垂径定理得：BE=DE=½BD，∠BOE=½∠BOD=60°。
5. 在Rt△BOE中，OB=6，sin∠BOE=BE/OB，
∴BE=OB·sin60°=6×(√3/2)=3√3，
∴BD=2BE=2×3√3=6√3。
【答案】
$\boldsymbol{6\sqrt{3}}$
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握圆相关性质，将求弦长问题转化为解直角三角形问题求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
9.如图,四边形ABCD的顶点都在半圆O上,AB是半圆O的直径,连接OC,∠DAB+2∠ABC=180°.(1)求证:OC//AD;(2)若$AD=2,BC=2\sqrt{3},$求AB的长.
第9题图
第9题图答案
(1) 证明：
∵ $OC=OB$，
∴ $∠ ABC=∠ OCB$，
在$△ OBC$中，$∠ BOC + ∠ ABC + ∠ OCB = 180°$，
∴ $∠ BOC = 180° - 2∠ ABC$，
又∵ $∠ DAB + 2∠ ABC = 180°$，
∴ $∠ DAB = 180° - 2∠ ABC$，
∴ $∠ BOC = ∠ DAB$，
∴ $OC// AD$（同位角相等，两直线平行）。
---
(2) 解：
设半圆$O$的半径为$r$，则$AB=2r$。
∵ $AB$是半圆$O$的直径，
∴ $∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角为直角），
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\cos∠ DAB = \frac{AD}{AB} = \frac{2}{2r} = \frac{1}{r}$。
过点$C$作$CE⊥ AB$于点$E$，
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，$∠ OEC=90°$，$∠ COE=∠ BOC=∠ DAB$，
∴ $OE = OC· \cos∠ COB = r· \frac{1}{r} = 1$。
由勾股定理，在$\mathrm{Rt}△ OCE$中：
$CE^2 = OC^2 - OE^2 = r^2 - 1$，
又$EB = OB - OE = r - 1$，在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$BC=2\sqrt{3}$，由勾股定理：
$CE^2 + EB^2 = BC^2$，
代入得：
$r^2 - 1 + (r-1)^2 = (2\sqrt{3})^2$，
整理得：$r^2 - r - 6 = 0$，
解得$r_1=3$，$r_2=-2$（半径为正，舍去负根），
∴ $AB=2r=6$。
答：$AB$的长为$\boldsymbol{6}$。
∵ $OC=OB$，
∴ $∠ ABC=∠ OCB$，
在$△ OBC$中，$∠ BOC + ∠ ABC + ∠ OCB = 180°$，
∴ $∠ BOC = 180° - 2∠ ABC$，
又∵ $∠ DAB + 2∠ ABC = 180°$，
∴ $∠ DAB = 180° - 2∠ ABC$，
∴ $∠ BOC = ∠ DAB$，
∴ $OC// AD$（同位角相等，两直线平行）。
---
(2) 解：
设半圆$O$的半径为$r$，则$AB=2r$。
∵ $AB$是半圆$O$的直径，
∴ $∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角为直角），
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\cos∠ DAB = \frac{AD}{AB} = \frac{2}{2r} = \frac{1}{r}$。
过点$C$作$CE⊥ AB$于点$E$，
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，$∠ OEC=90°$，$∠ COE=∠ BOC=∠ DAB$，
∴ $OE = OC· \cos∠ COB = r· \frac{1}{r} = 1$。
由勾股定理，在$\mathrm{Rt}△ OCE$中：
$CE^2 = OC^2 - OE^2 = r^2 - 1$，
又$EB = OB - OE = r - 1$，在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$BC=2\sqrt{3}$，由勾股定理：
$CE^2 + EB^2 = BC^2$，
代入得：
$r^2 - 1 + (r-1)^2 = (2\sqrt{3})^2$，
整理得：$r^2 - r - 6 = 0$，
解得$r_1=3$，$r_2=-2$（半径为正，舍去负根），
∴ $AB=2r=6$。
答：$AB$的长为$\boldsymbol{6}$。
解析
【分析】
(1) 要证OC//AD，可通过证明同位角相等推导。已知OC、OB都是圆的半径，可得△OBC为等腰三角形，推出∠ABC=∠OCB，结合三角形内角和可得到∠BOC与2∠ABC的关系，再结合题目给出的∠DAB+2∠ABC=180°，即可得到∠DAB=∠BOC，从而证得平行。
(2) 要求AB的长，AB是直径，可设半径为r，则AB=2r。首先利用直径所对圆周角是直角得到Rt△ABD，用余弦表示出∠DAB的余弦值，结合第一问的结论得到∠COE=∠DAB，过C作CE⊥AB构造直角三角形，利用勾股定理分别在两个直角三角形中列关系式，联立方程求解r，舍去不符合实际的负根即可得到AB的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ $OC=OB$（同圆的半径相等），
∴ $∠ ABC=∠ OCB$（等腰三角形两底角相等），
在$△ OBC$中，根据三角形内角和为180°，得$∠ BOC + ∠ ABC + ∠ OCB = 180°$，
∴ $∠ BOC = 180° - 2∠ ABC$，
又
∵ $∠ DAB + 2∠ ABC = 180°$，
∴ $∠ DAB = 180° - 2∠ ABC$，
∴ $∠ BOC = ∠ DAB$（等量代换），
∴ $OC// AD$（同位角相等，两直线平行）。
(2) 解：
设半圆$O$的半径为$r$，则$AB=2r$。
∵ $AB$是半圆$O$的直径，
∴ $∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角为直角），
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\cos∠ DAB = \frac{AD}{AB} = \frac{2}{2r} = \frac{1}{r}$。
过点$C$作$CE⊥ AB$于点$E$，
∵ $∠ COE=∠ BOC=∠ DAB$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，$OE = OC· \cos∠ COE = r· \frac{1}{r} = 1$。
由勾股定理，在$\mathrm{Rt}△ OCE$中：
$CE^2 = OC^2 - OE^2 = r^2 - 1$，
又$EB = OB - OE = r - 1$，在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$BC=2\sqrt{3}$，由勾股定理：
$CE^2 + EB^2 = BC^2$，
代入得：
$r^2 - 1 + (r-1)^2 = (2\sqrt{3})^2$，
整理得：$r^2 - r - 6 = 0$，
解得$r_1=3$，$r_2=-2$（半径为正，舍去负根），
∴ $AB=2r=6$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
圆周角定理，平行线的判定，勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、等腰三角形性质、平行线判定及勾股定理的应用，第一问侧重基础性质推导，第二问需要作辅助线构造直角三角形，结合方程思想求解，能较好地检验学生的几何推理与计算能力。
【难度系数】
0.65
(1) 要证OC//AD，可通过证明同位角相等推导。已知OC、OB都是圆的半径，可得△OBC为等腰三角形，推出∠ABC=∠OCB，结合三角形内角和可得到∠BOC与2∠ABC的关系，再结合题目给出的∠DAB+2∠ABC=180°，即可得到∠DAB=∠BOC，从而证得平行。
(2) 要求AB的长，AB是直径，可设半径为r，则AB=2r。首先利用直径所对圆周角是直角得到Rt△ABD，用余弦表示出∠DAB的余弦值，结合第一问的结论得到∠COE=∠DAB，过C作CE⊥AB构造直角三角形，利用勾股定理分别在两个直角三角形中列关系式，联立方程求解r，舍去不符合实际的负根即可得到AB的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ $OC=OB$（同圆的半径相等），
∴ $∠ ABC=∠ OCB$（等腰三角形两底角相等），
在$△ OBC$中，根据三角形内角和为180°，得$∠ BOC + ∠ ABC + ∠ OCB = 180°$，
∴ $∠ BOC = 180° - 2∠ ABC$，
又
∵ $∠ DAB + 2∠ ABC = 180°$，
∴ $∠ DAB = 180° - 2∠ ABC$，
∴ $∠ BOC = ∠ DAB$（等量代换），
∴ $OC// AD$（同位角相等，两直线平行）。
(2) 解：
设半圆$O$的半径为$r$，则$AB=2r$。
∵ $AB$是半圆$O$的直径，
∴ $∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角为直角），
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\cos∠ DAB = \frac{AD}{AB} = \frac{2}{2r} = \frac{1}{r}$。
过点$C$作$CE⊥ AB$于点$E$，
∵ $∠ COE=∠ BOC=∠ DAB$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，$OE = OC· \cos∠ COE = r· \frac{1}{r} = 1$。
由勾股定理，在$\mathrm{Rt}△ OCE$中：
$CE^2 = OC^2 - OE^2 = r^2 - 1$，
又$EB = OB - OE = r - 1$，在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$BC=2\sqrt{3}$，由勾股定理：
$CE^2 + EB^2 = BC^2$，
代入得：
$r^2 - 1 + (r-1)^2 = (2\sqrt{3})^2$，
整理得：$r^2 - r - 6 = 0$，
解得$r_1=3$，$r_2=-2$（半径为正，舍去负根），
∴ $AB=2r=6$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
圆周角定理，平行线的判定，勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、等腰三角形性质、平行线判定及勾股定理的应用，第一问侧重基础性质推导，第二问需要作辅助线构造直角三角形，结合方程思想求解，能较好地检验学生的几何推理与计算能力。
【难度系数】
0.65
10.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，DB平分∠ADC，∠CAD=∠ABD.
(1)证明BD平分∠ABC，并求∠BAD的大小；
(2)过点C作CF//AD交AB的延长线于点F，若AC=AD，圆的半径长为8，求BF的长.
(1)证明BD平分∠ABC，并求∠BAD的大小；
(2)过点C作CF//AD交AB的延长线于点F，若AC=AD，圆的半径长为8，求BF的长.
答案
(1) 证明与求解
证明：
∵ ∠CAD和∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴ ∠CAD = ∠CBD，
又∵ ∠CAD = ∠ABD，
∴ ∠ABD = ∠CBD，即BD平分∠ABC。
∵ DB平分∠ADC，∴ ∠ADB = ∠CDB，
∵ ∠ADB是弧AB所对的圆周角，∠CDB是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠ACB = ∠CAB，
∴ ∠BAC + ∠CAD = ∠ACB + ∠CBD，即∠BAD = ∠BCD，
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°，
∴ 2∠BAD = 180°，得∠BAD = 90°。
(2) 求BF的长
解：
∵ ∠BAD = 90°，
∴ BD是圆的直径（90°的圆周角所对的弦是直径），
∵ 圆的半径长为8，∴ BD = 16。
∵ ∠CAD = ∠ABD，∠ABD和∠ACD都是弧AD所对的圆周角，
∴ ∠CAD = ∠ACD，∴ AD = CD，
又∵ AC = AD，∴ AD = CD = AC，即△ACD是等边三角形，
∴ ∠ADC = 60°，
∵ DB平分∠ADC，∴ ∠ADB = 30°。
在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ADB=30°，
∴ AB = $\frac{1}{2}$BD = 8。
∵ BD平分∠ABC，∴ ∠ABC = 2∠ABD = 2×(90°-30°) = 120°，
∴ ∠CBF = 180° - ∠ABC = 60°。
∵ CF//AD，∠BAD=90°，
∴ ∠F + ∠BAD = 180°，即∠F = 90°。
∵ BD是直径，∴ ∠BCD=90°，在Rt△BCD中，∠CDB=30°，
∴ BC = $\frac{1}{2}$BD = 8。
在Rt△BCF中，∠F=90°，∠CBF=60°，
∴ ∠BCF = 90° - 60° = 30°，
∴ BF = $\frac{1}{2}$BC = 4。
综上，BF的长为4。
证明：
∵ ∠CAD和∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴ ∠CAD = ∠CBD，
又∵ ∠CAD = ∠ABD，
∴ ∠ABD = ∠CBD，即BD平分∠ABC。
∵ DB平分∠ADC，∴ ∠ADB = ∠CDB，
∵ ∠ADB是弧AB所对的圆周角，∠CDB是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠ACB = ∠CAB，
∴ ∠BAC + ∠CAD = ∠ACB + ∠CBD，即∠BAD = ∠BCD，
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°，
∴ 2∠BAD = 180°，得∠BAD = 90°。
(2) 求BF的长
解：
∵ ∠BAD = 90°，
∴ BD是圆的直径（90°的圆周角所对的弦是直径），
∵ 圆的半径长为8，∴ BD = 16。
∵ ∠CAD = ∠ABD，∠ABD和∠ACD都是弧AD所对的圆周角，
∴ ∠CAD = ∠ACD，∴ AD = CD，
又∵ AC = AD，∴ AD = CD = AC，即△ACD是等边三角形，
∴ ∠ADC = 60°，
∵ DB平分∠ADC，∴ ∠ADB = 30°。
在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ADB=30°，
∴ AB = $\frac{1}{2}$BD = 8。
∵ BD平分∠ABC，∴ ∠ABC = 2∠ABD = 2×(90°-30°) = 120°，
∴ ∠CBF = 180° - ∠ABC = 60°。
∵ CF//AD，∠BAD=90°，
∴ ∠F + ∠BAD = 180°，即∠F = 90°。
∵ BD是直径，∴ ∠BCD=90°，在Rt△BCD中，∠CDB=30°，
∴ BC = $\frac{1}{2}$BD = 8。
在Rt△BCF中，∠F=90°，∠CBF=60°，
∴ ∠BCF = 90° - 60° = 30°，
∴ BF = $\frac{1}{2}$BC = 4。
综上，BF的长为4。
解析
【分析】
(1) 证明BD平分∠ABC可从证∠ABD=∠CBD入手：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠CAD=∠CBD，结合已知∠CAD=∠ABD即可完成证明；求∠BAD时，先由角平分线定义得∠ADB=∠CDB，结合圆周角定理可推出∠BAD=∠BCD，再利用圆内接四边形对角互补的性质，即可求出∠BAD的度数。
(2) 90°的圆周角所对的弦是直径，因此由∠BAD=90°可确定BD是圆的直径，先算出BD的长度；再结合已知条件证明△ACD是等边三角形，得到∠ADC=60°，进而推出∠ADB=30°，在Rt△ABD中求出AB的长度；再根据平行线的性质推出∠F=90°，结合角平分线的性质求出∠CBF=60°，最后在Rt△BCF中利用含30°角的直角三角形的性质即可求出BF的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠CAD和∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴ ∠CAD = ∠CBD，
又
∵ ∠CAD = ∠ABD，
∴ ∠ABD = ∠CBD，即BD平分∠ABC。
∵ DB平分∠ADC，
∴ ∠ADB = ∠CDB，
∵ ∠ADB是弧AB所对的圆周角，∠CDB是弧BC所对的圆周角，
∴ 弧AB=弧BC，
∴ ∠ACB = ∠CAB，
∴ ∠BAC + ∠CAD = ∠ACB + ∠CBD，即∠BAD = ∠BCD，
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°，
∴ 2∠BAD = 180°，得∠BAD = 90°。
(2) 解：
∵ ∠BAD = 90°，
∴ BD是圆的直径（90°的圆周角所对的弦是直径），
∵ 圆的半径长为8，
∴ BD = 2×8=16。
∵ ∠CAD = ∠ABD，∠ABD和∠ACD都是弧AD所对的圆周角，
∴ ∠CAD = ∠ACD，
∴ AD = CD，
又
∵ AC = AD，
∴ AD = CD = AC，即△ACD是等边三角形，
∴ ∠ADC = 60°，
∵ DB平分∠ADC，
∴ ∠ADB = 30°。
在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ADB=30°，
∴ AB = $\frac{1}{2}$BD = 8。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABC = 2∠ABD = 2×(90°-30°) = 120°，
∴ ∠CBF = 180° - ∠ABC = 60°。
∵ CF//AD，∠BAD=90°，
∴ ∠F + ∠BAD = 180°，即∠F = 90°。
∵ BD是直径，
∴ ∠BCD=90°，在Rt△BCD中，∠CDB=30°，
∴ BC = $\frac{1}{2}$BD = 8。
在Rt△BCF中，∠F=90°，∠CBF=60°，
∴ ∠BCF = 90° - 60° = 30°，
∴ BF = $\frac{1}{2}$BC = 4。
【答案】
(1) BD平分∠ABC得证，∠BAD=90°；(2) BF的长为4
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的综合类题目，解题时需要将圆周角相关定理、圆内接四边形的性质与特殊三角形的判定、性质结合使用，要注意挖掘题干中的角等量关系，逐步推导所求量，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 证明BD平分∠ABC可从证∠ABD=∠CBD入手：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠CAD=∠CBD，结合已知∠CAD=∠ABD即可完成证明；求∠BAD时，先由角平分线定义得∠ADB=∠CDB，结合圆周角定理可推出∠BAD=∠BCD，再利用圆内接四边形对角互补的性质，即可求出∠BAD的度数。
(2) 90°的圆周角所对的弦是直径，因此由∠BAD=90°可确定BD是圆的直径，先算出BD的长度；再结合已知条件证明△ACD是等边三角形，得到∠ADC=60°，进而推出∠ADB=30°，在Rt△ABD中求出AB的长度；再根据平行线的性质推出∠F=90°，结合角平分线的性质求出∠CBF=60°，最后在Rt△BCF中利用含30°角的直角三角形的性质即可求出BF的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠CAD和∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴ ∠CAD = ∠CBD，
又
∵ ∠CAD = ∠ABD，
∴ ∠ABD = ∠CBD，即BD平分∠ABC。
∵ DB平分∠ADC，
∴ ∠ADB = ∠CDB，
∵ ∠ADB是弧AB所对的圆周角，∠CDB是弧BC所对的圆周角，
∴ 弧AB=弧BC，
∴ ∠ACB = ∠CAB，
∴ ∠BAC + ∠CAD = ∠ACB + ∠CBD，即∠BAD = ∠BCD，
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°，
∴ 2∠BAD = 180°，得∠BAD = 90°。
(2) 解：
∵ ∠BAD = 90°，
∴ BD是圆的直径（90°的圆周角所对的弦是直径），
∵ 圆的半径长为8，
∴ BD = 2×8=16。
∵ ∠CAD = ∠ABD，∠ABD和∠ACD都是弧AD所对的圆周角，
∴ ∠CAD = ∠ACD，
∴ AD = CD，
又
∵ AC = AD，
∴ AD = CD = AC，即△ACD是等边三角形，
∴ ∠ADC = 60°，
∵ DB平分∠ADC，
∴ ∠ADB = 30°。
在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ADB=30°，
∴ AB = $\frac{1}{2}$BD = 8。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABC = 2∠ABD = 2×(90°-30°) = 120°，
∴ ∠CBF = 180° - ∠ABC = 60°。
∵ CF//AD，∠BAD=90°，
∴ ∠F + ∠BAD = 180°，即∠F = 90°。
∵ BD是直径，
∴ ∠BCD=90°，在Rt△BCD中，∠CDB=30°，
∴ BC = $\frac{1}{2}$BD = 8。
在Rt△BCF中，∠F=90°，∠CBF=60°，
∴ ∠BCF = 90° - 60° = 30°，
∴ BF = $\frac{1}{2}$BC = 4。
【答案】
(1) BD平分∠ABC得证，∠BAD=90°；(2) BF的长为4
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的综合类题目，解题时需要将圆周角相关定理、圆内接四边形的性质与特殊三角形的判定、性质结合使用，要注意挖掘题干中的角等量关系，逐步推导所求量，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
