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1. 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$.若$∠ D=100°$,则$∠ B$的度数是 ()
A.$60°$
B.$80°$
C.$100°$
D.$120°$
A.$60°$
B.$80°$
C.$100°$
D.$120°$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆圆内接四边形的相关性质：圆内接四边形的对角互补。观察图形可知∠B和∠D是圆内接四边形ABCD的一组对角，二者之和为180°，已知∠D的度数，用180°减去∠D的度数即可求出∠B的度数。
【解析】
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形的性质可得：
$∠ B + ∠ D = 180°$
已知$∠ D=100°$，代入得：
$∠ B=180° - 100°=80°$
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形对角互补
【点评】
本题属于基础题，直接考查圆内接四边形的核心性质，只需找准对角、结合互补关系计算即可，解题时注意不要混淆圆内接四边形的角的关系。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆圆内接四边形的相关性质：圆内接四边形的对角互补。观察图形可知∠B和∠D是圆内接四边形ABCD的一组对角，二者之和为180°，已知∠D的度数，用180°减去∠D的度数即可求出∠B的度数。
【解析】
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形的性质可得：
$∠ B + ∠ D = 180°$
已知$∠ D=100°$，代入得：
$∠ B=180° - 100°=80°$
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形对角互补
【点评】
本题属于基础题，直接考查圆内接四边形的核心性质，只需找准对角、结合互补关系计算即可，解题时注意不要混淆圆内接四边形的角的关系。
【难度系数】
0.9
2.如图,点A,B,C,D,E都是$\odot O$上的点,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AE}$,$∠ D=118°$,则$∠ B$的度数是（）
A.$128°$
B.$121°$
C.$118°$
D.$116°$
A.$128°$
B.$121°$
C.$118°$
D.$116°$
答案
D
解析
连接CE，
1. 因为四边形ACDE是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，得$∠ D + ∠ CAE = 180°$，已知$∠ D=118°$，所以$∠ CAE=180° - 118°=62°$。
2. 由$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AE}$，得$AC=AE$，即$△ ACE$为等腰三角形，因此$∠ AEC=∠ ACE=\frac{180° - ∠ CAE}{2}=\frac{180° - 62°}{2}=59°$。
3. 因为四边形ABCE是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，得$∠ B + ∠ AEC = 180°$，所以$∠ B=180° - 59°=116°$。
1. 因为四边形ACDE是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，得$∠ D + ∠ CAE = 180°$，已知$∠ D=118°$，所以$∠ CAE=180° - 118°=62°$。
2. 由$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AE}$，得$AC=AE$，即$△ ACE$为等腰三角形，因此$∠ AEC=∠ ACE=\frac{180° - ∠ CAE}{2}=\frac{180° - 62°}{2}=59°$。
3. 因为四边形ABCE是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，得$∠ B + ∠ AEC = 180°$，所以$∠ B=180° - 59°=116°$。
3.如图,点A,B,C,D为$\odot O$上的点,四边形AOBC是菱形,则$∠ ADB$的度数是（）
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
C
解析
【分析】
解题思路：①先结合菱形邻边相等的性质和圆半径相等的特点，推导出等边三角形，求出圆心角∠AOB的度数；②再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，计算出∠ADB的度数。
【解析】
解：
∵四边形AOBC是菱形
∴OA=AC=CB=BO
又
∵OA、OB、OC均为⊙O的半径
∴OA=OC=AC，OB=OC=BC
∴△AOC和△BOC都是等边三角形
∴∠AOC=∠BOC=60°
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°
∵∠ADB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角
根据圆周角定理可得：$∠ ADB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×120°=60°$
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，等边三角形判定，圆周角定理
【点评】
本题是圆与特殊四边形的基础综合题，核心是通过线段相等的关系推导等边三角形得到圆心角，再结合圆周角定理求解，掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题思路：①先结合菱形邻边相等的性质和圆半径相等的特点，推导出等边三角形，求出圆心角∠AOB的度数；②再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，计算出∠ADB的度数。
【解析】
解：
∵四边形AOBC是菱形
∴OA=AC=CB=BO
又
∵OA、OB、OC均为⊙O的半径
∴OA=OC=AC，OB=OC=BC
∴△AOC和△BOC都是等边三角形
∴∠AOC=∠BOC=60°
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°
∵∠ADB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角
根据圆周角定理可得：$∠ ADB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×120°=60°$
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，等边三角形判定，圆周角定理
【点评】
本题是圆与特殊四边形的基础综合题，核心是通过线段相等的关系推导等边三角形得到圆心角，再结合圆周角定理求解，掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
4.如图,点A,B,C在$\odot O$上,$∠ BAC=130°$,那么$∠ 1$的度数是.
答案
$\boldsymbol{100°}$
解析
【分析】
要求圆心角∠1的度数，首先观察已知角∠BAC是圆内接四边形的一个内角，且它所对的是优弧BC。我们可以先利用圆内接四边形对角互补的性质，求出劣弧BC所对的圆周角的度数，再根据圆周角定理“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”，就能算出∠1的度数。
【解析】
在优弧BC上取一点D（不与B、C重合），连接BD、CD。
∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴∠BDC + ∠BAC = 180°（圆内接四边形的对角互补）。
∵∠BAC=130°，
∴∠BDC = 180° - 130° = 50°。
又
∵∠BDC是劣弧BC所对的圆周角，∠1是劣弧BC所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
∴∠1 = 2∠BDC = 2×50° = 100°。
【答案】
$\boldsymbol{100°}$
【知识点】
1.圆内接四边形的性质
2.圆周角定理
【点评】
本题属于圆周角相关的基础应用题目，解题时要注意区分圆周角所对的弧是优弧还是劣弧，避免直接用已知的130°乘2计算圆心角的错误，熟练掌握圆内接四边形性质和圆周角定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要求圆心角∠1的度数，首先观察已知角∠BAC是圆内接四边形的一个内角，且它所对的是优弧BC。我们可以先利用圆内接四边形对角互补的性质，求出劣弧BC所对的圆周角的度数，再根据圆周角定理“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”，就能算出∠1的度数。
【解析】
在优弧BC上取一点D（不与B、C重合），连接BD、CD。
∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴∠BDC + ∠BAC = 180°（圆内接四边形的对角互补）。
∵∠BAC=130°，
∴∠BDC = 180° - 130° = 50°。
又
∵∠BDC是劣弧BC所对的圆周角，∠1是劣弧BC所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
∴∠1 = 2∠BDC = 2×50° = 100°。
【答案】
$\boldsymbol{100°}$
【知识点】
1.圆内接四边形的性质
2.圆周角定理
【点评】
本题属于圆周角相关的基础应用题目，解题时要注意区分圆周角所对的弧是优弧还是劣弧，避免直接用已知的130°乘2计算圆心角的错误，熟练掌握圆内接四边形性质和圆周角定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5.如图,四边形ABCD内接于圆,AB为直径,延长DC到E,连接BD.设∠ABD=α,∠BCE=β,则α与β的数量关系是.
答案
$\boldsymbol{α + β = 90°}$
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件，AB为圆的直径，优先调用直径所对圆周角为直角的性质，得到Rt△ABD，从而推出∠A与α的数量关系；再结合四边形ABCD内接于圆的条件，利用圆内接四边形的外角等于内对角的性质，得到∠BCE（即β）与∠A相等，最后通过等量代换即可得到α与β的数量关系。
【解析】
1. 因为AB是圆的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，可得$∠ ADB=90°$；
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，直角三角形两锐角互余，因此$∠ A + ∠ ABD = 90°$，已知$∠ ABD=α$，所以$∠ A + α = 90°$；
3. 因为四边形ABCD内接于圆，$∠ BCE$是四边形ABCD的外角，根据“圆内接四边形的外角等于它的内对角”，可得$∠ BCE=∠ A$，已知$∠ BCE=β$，所以$β=∠ A$；
4. 将$∠ A=β$代入$∠ A + α =90°$，即可得到$α + β = 90°$。
【答案】
$\boldsymbol{α + β = 90°}$
【知识点】
1. 直径所对圆周角为直角
2. 圆内接四边形外角性质
3. 直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆周角相关性质的基础应用题型，解题的核心是找到∠A作为中间量沟通两个角的关系，只要熟练掌握圆的相关基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.75
解题时首先观察题干条件，AB为圆的直径，优先调用直径所对圆周角为直角的性质，得到Rt△ABD，从而推出∠A与α的数量关系；再结合四边形ABCD内接于圆的条件，利用圆内接四边形的外角等于内对角的性质，得到∠BCE（即β）与∠A相等，最后通过等量代换即可得到α与β的数量关系。
【解析】
1. 因为AB是圆的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，可得$∠ ADB=90°$；
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，直角三角形两锐角互余，因此$∠ A + ∠ ABD = 90°$，已知$∠ ABD=α$，所以$∠ A + α = 90°$；
3. 因为四边形ABCD内接于圆，$∠ BCE$是四边形ABCD的外角，根据“圆内接四边形的外角等于它的内对角”，可得$∠ BCE=∠ A$，已知$∠ BCE=β$，所以$β=∠ A$；
4. 将$∠ A=β$代入$∠ A + α =90°$，即可得到$α + β = 90°$。
【答案】
$\boldsymbol{α + β = 90°}$
【知识点】
1. 直径所对圆周角为直角
2. 圆内接四边形外角性质
3. 直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆周角相关性质的基础应用题型，解题的核心是找到∠A作为中间量沟通两个角的关系，只要熟练掌握圆的相关基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.75
6.如图，在$\odot O$中，将$\overset{\frown}{AB}$沿着弦AB所在的直线折叠，交弦BC于点D，连接AC，AD.若$BD=2$，$AB=2\sqrt{3}$，$∠ B=30°$，则AC的长是.
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
解题时先利用折叠的性质结合圆周角定理推导角的等量关系，得到AC=AD，将求AC的问题转化为求AD的长度；再过点A作AH垂直BC于点H，在Rt△ABH中利用30°直角三角形的性质求出AH、BH的长度，结合BD的长度算出HD的长度；最后在Rt△AHD中用勾股定理求出AD的长度，即可得到AC的长。
【解析】
过点A作AH⊥BC于点H。
1. 在Rt△ABH中，∠B=30°，AB=2√3，
∴ AH = $\frac{1}{2}$AB = $\sqrt{3}$，
由勾股定理得：BH = $\sqrt{AB^2 - AH^2}$ = $\sqrt{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2}$ = 3。
2. 已知BD=2，
∴ HD = BH - BD = 3 - 2 = 1。
3. 由折叠的性质可知，折叠前后弧AB所对的圆周角互补，即∠ADB + ∠ACB = 180°，
又
∵ ∠ADB + ∠ADC = 180°（邻补角和为180°），
∴ ∠ACB = ∠ADC，
∴ AC = AD（等角对等边）。
4. 在Rt△AHD中，由勾股定理得：
AD = $\sqrt{AH^2 + HD^2}$ = $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}$ = 2，
∴ AC = AD = 2。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
翻折的性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆与折叠结合的基础综合题，解题的核心是通过角的等量关系将未知线段AC转化为AD，再结合直角三角形的性质与勾股定理计算，很好地考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
解题时先利用折叠的性质结合圆周角定理推导角的等量关系，得到AC=AD，将求AC的问题转化为求AD的长度；再过点A作AH垂直BC于点H，在Rt△ABH中利用30°直角三角形的性质求出AH、BH的长度，结合BD的长度算出HD的长度；最后在Rt△AHD中用勾股定理求出AD的长度，即可得到AC的长。
【解析】
过点A作AH⊥BC于点H。
1. 在Rt△ABH中，∠B=30°，AB=2√3，
∴ AH = $\frac{1}{2}$AB = $\sqrt{3}$，
由勾股定理得：BH = $\sqrt{AB^2 - AH^2}$ = $\sqrt{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2}$ = 3。
2. 已知BD=2，
∴ HD = BH - BD = 3 - 2 = 1。
3. 由折叠的性质可知，折叠前后弧AB所对的圆周角互补，即∠ADB + ∠ACB = 180°，
又
∵ ∠ADB + ∠ADC = 180°（邻补角和为180°），
∴ ∠ACB = ∠ADC，
∴ AC = AD（等角对等边）。
4. 在Rt△AHD中，由勾股定理得：
AD = $\sqrt{AH^2 + HD^2}$ = $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}$ = 2，
∴ AC = AD = 2。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
翻折的性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆与折叠结合的基础综合题，解题的核心是通过角的等量关系将未知线段AC转化为AD，再结合直角三角形的性质与勾股定理计算，很好地考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
7.如图,四边形ABCD内接于$\odot O,AD=CD,∠ ABC=135°$.若$AC=2\sqrt{2}$,则$△ ADC$的面积为.
第6题图 第7题图
第6题图 第7题图
答案
$\boldsymbol{2\sqrt{2}+2}$
解析
【分析】
解题可按以下步骤思考：1. 首先利用圆内接四边形对角互补的性质，由已知的∠ABC=135°求出∠ADC的度数；2. 根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出弧AC对应的圆心角∠AOC=90°，结合OA=OC得到△AOC是等腰直角三角形，进而求出圆的半径和圆心O到AC的距离；3. 由AD=CD可知D在AC的垂直平分线上，结合圆心O也在AC的垂直平分线上，可知D、O、AC中点三点共线，从而求出△ADC底边AC上的高；4. 最后用三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ ABC + ∠ ADC = 180°$（圆内接四边形对角互补），
∵ $∠ ABC=135°$，
∴ $∠ ADC=180°-135°=45°$。
连接OA、OC，
∵ 弧AC所对的圆周角是$∠ ADC$，所对的圆心角是$∠ AOC$，
∴ $∠ AOC=2∠ ADC=90°$（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）。
∵ OA=OC（圆的半径相等），$AC=2\sqrt{2}$，
∴ $△ AOC$是等腰直角三角形。
过点O作$OE⊥ AC$于E，过点D作$DF⊥ AC$于F，
∵ $AD=CD$，$OA=OC$，
∴ 点D和点O都在AC的垂直平分线上，即D、O、E三点共线，且E为AC中点，
∵ $△ AOC$是等腰直角三角形，$OE⊥ AC$，
∴ $OE=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$（等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半），
由勾股定理得$OA^2 + OC^2 = AC^2$，即$2OA^2=(2\sqrt{2})^2$，解得$OA=2$，即$\odot O$的半径为2，
∴ $OD=2$。
由图可知D、O在AC同侧，圆心O在$△ ADC$内部，
∴ $DF=OD + OE=2+\sqrt{2}$，
∴ $△ ADC$的面积$=\frac{1}{2} × AC × DF = \frac{1}{2} × 2\sqrt{2} × (2+\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}+2$。
【答案】
$2\sqrt{2}+2$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查了圆的相关性质与三角形面积计算，解题的关键是先推导得到$△ AOC$为等腰直角三角形，进而求出$△ ADC$的高，需要学生具备一定的几何综合分析能力，能够串联多个基础知识点解题。
【难度系数】
0.6
解题可按以下步骤思考：1. 首先利用圆内接四边形对角互补的性质，由已知的∠ABC=135°求出∠ADC的度数；2. 根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出弧AC对应的圆心角∠AOC=90°，结合OA=OC得到△AOC是等腰直角三角形，进而求出圆的半径和圆心O到AC的距离；3. 由AD=CD可知D在AC的垂直平分线上，结合圆心O也在AC的垂直平分线上，可知D、O、AC中点三点共线，从而求出△ADC底边AC上的高；4. 最后用三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ ABC + ∠ ADC = 180°$（圆内接四边形对角互补），
∵ $∠ ABC=135°$，
∴ $∠ ADC=180°-135°=45°$。
连接OA、OC，
∵ 弧AC所对的圆周角是$∠ ADC$，所对的圆心角是$∠ AOC$，
∴ $∠ AOC=2∠ ADC=90°$（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）。
∵ OA=OC（圆的半径相等），$AC=2\sqrt{2}$，
∴ $△ AOC$是等腰直角三角形。
过点O作$OE⊥ AC$于E，过点D作$DF⊥ AC$于F，
∵ $AD=CD$，$OA=OC$，
∴ 点D和点O都在AC的垂直平分线上，即D、O、E三点共线，且E为AC中点，
∵ $△ AOC$是等腰直角三角形，$OE⊥ AC$，
∴ $OE=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$（等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半），
由勾股定理得$OA^2 + OC^2 = AC^2$，即$2OA^2=(2\sqrt{2})^2$，解得$OA=2$，即$\odot O$的半径为2，
∴ $OD=2$。
由图可知D、O在AC同侧，圆心O在$△ ADC$内部，
∴ $DF=OD + OE=2+\sqrt{2}$，
∴ $△ ADC$的面积$=\frac{1}{2} × AC × DF = \frac{1}{2} × 2\sqrt{2} × (2+\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}+2$。
【答案】
$2\sqrt{2}+2$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查了圆的相关性质与三角形面积计算，解题的关键是先推导得到$△ AOC$为等腰直角三角形，进而求出$△ ADC$的高，需要学生具备一定的几何综合分析能力，能够串联多个基础知识点解题。
【难度系数】
0.6
