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8.利用圆周角定理可研究关于圆内接四边形的一个性质:圆内接四边形的对角互补.
(1)完成上述性质的证明过程:
如图①,已知点A,B,C,D在$\odot O$上,求证:$∠ BAD+∠ BCD=180°$;
(2)如图②,已知点A,B,C,D在$\odot O$上,若$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BCD$,$\odot O$的半径为4,求BD的长.
(1)完成上述性质的证明过程:
如图①,已知点A,B,C,D在$\odot O$上,求证:$∠ BAD+∠ BCD=180°$;
(2)如图②,已知点A,B,C,D在$\odot O$上,若$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BCD$,$\odot O$的半径为4,求BD的长.
答案
(1) 证明：
连接OB，OD。
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。
∠BAD所对的弧为弧BCD，∠BCD所对的弧为弧BAD，
弧BCD与弧BAD的度数之和为周角360°，
因此：
$∠ BAD = \frac{1}{2} × \overset{\frown}{BCD}\mathrm{的度数}, \quad ∠ BCD = \frac{1}{2} × \overset{\frown}{BAD}\mathrm{的度数}$
$∠ BAD + ∠ BCD = \frac{1}{2} × (\overset{\frown}{BCD}\mathrm{的度数} + \overset{\frown}{BAD}\mathrm{的度数}) = \frac{1}{2} × 360° = 180°$
---
(2) 解：
∵ 点A,B,C,D在$\odot O$上，
由(1)的结论得：$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$。
将$∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BCD$代入得：
$\frac{1}{2}∠ BCD + ∠ BCD = 180°$
解得$∠ BCD = 120°$，$∠ BAD = 60°$。
连接OB，OD，由圆周角定理得：
$∠ BOD = 2∠ BAD = 120°$
过点O作$OE ⊥ BD$于点E，
∵ $OB=OD$，由垂径定理得：$BD=2BE$，$∠ BOE = \frac{1}{2}∠ BOD = 60°$。
在$Rt△ BOE$中，$OB=4$：
$BE = OB · \sin60° = 4 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$
$BD = 2BE = 4\sqrt{3}$
答：BD的长为$4\sqrt{3}$。
连接OB，OD。
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。
∠BAD所对的弧为弧BCD，∠BCD所对的弧为弧BAD，
弧BCD与弧BAD的度数之和为周角360°，
因此：
$∠ BAD = \frac{1}{2} × \overset{\frown}{BCD}\mathrm{的度数}, \quad ∠ BCD = \frac{1}{2} × \overset{\frown}{BAD}\mathrm{的度数}$
$∠ BAD + ∠ BCD = \frac{1}{2} × (\overset{\frown}{BCD}\mathrm{的度数} + \overset{\frown}{BAD}\mathrm{的度数}) = \frac{1}{2} × 360° = 180°$
---
(2) 解：
∵ 点A,B,C,D在$\odot O$上，
由(1)的结论得：$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$。
将$∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BCD$代入得：
$\frac{1}{2}∠ BCD + ∠ BCD = 180°$
解得$∠ BCD = 120°$，$∠ BAD = 60°$。
连接OB，OD，由圆周角定理得：
$∠ BOD = 2∠ BAD = 120°$
过点O作$OE ⊥ BD$于点E，
∵ $OB=OD$，由垂径定理得：$BD=2BE$，$∠ BOE = \frac{1}{2}∠ BOD = 60°$。
在$Rt△ BOE$中，$OB=4$：
$BE = OB · \sin60° = 4 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$
$BD = 2BE = 4\sqrt{3}$
答：BD的长为$4\sqrt{3}$。
解析
【分析】
(1) 要证明圆内接四边形对角互补，需借助圆周角定理建立圆周角和所对应弧的关系。首先连接圆心与B、D两点得到圆心角，∠BAD和∠BCD所对的弧合起来为整圆，度数和为360°，结合圆周角等于所对圆心角的一半，即可推出两个角的和为180°。
(2) 首先利用(1)的圆内接四边形对角互补的结论，结合已知的两个角的数量关系先求出∠BAD的度数；再根据圆周角定理求出弧BD对应的圆心角∠BOD的度数，求弦BD长时，过圆心作BD的垂线，利用垂径定理将BD转化为两倍的直角边，最后在直角三角形中用三角函数计算边长即可。
【解析】
(1) 证明：
连接OB，OD。
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。
∠BAD所对的弧为$\overset{\frown}{BCD}$，∠BCD所对的弧为$\overset{\frown}{BAD}$，
$\overset{\frown}{BCD}$与$\overset{\frown}{BAD}$的度数之和为周角360°，
因此：
$∠ BAD = \frac{1}{2} × \overset{\frown}{BCD}\mathrm{的度数}, \quad ∠ BCD = \frac{1}{2} × \overset{\frown}{BAD}\mathrm{的度数}$
$∠ BAD + ∠ BCD = \frac{1}{2} × (\overset{\frown}{BCD}\mathrm{的度数} + \overset{\frown}{BAD}\mathrm{的度数}) = \frac{1}{2} × 360° = 180°$，原命题得证。
(2) 解：
∵ 点A,B,C,D在$\odot O$上，
由(1)的结论得：$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$。
将$∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BCD$代入得：
$\frac{1}{2}∠ BCD + ∠ BCD = 180°$
解得$∠ BCD = 120°$，$∠ BAD = 60°$。
连接OB，OD，由圆周角定理得：
$∠ BOD = 2∠ BAD = 120°$
过点O作$OE ⊥ BD$于点E，
∵ $OB=OD$，由垂径定理得：$BD=2BE$，$∠ BOE = \frac{1}{2}∠ BOD = 60°$。
在$Rt△ BOE$中，$OB=4$：
$BE = OB · \sin60° = 4 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$
$BD = 2BE = 4\sqrt{3}$
【答案】
(1) 圆内接四边形对角互补，证明成立；
(2) BD的长为$4\sqrt{3}$。
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形性质，垂径定理
【点评】
本题分为性质证明和应用两部分，第一问考察圆周角定理的基础应用，推导逻辑清晰直观；第二问是性质的延伸应用，结合了垂径定理与解直角三角形求弦长的知识，既考察基础定理的识记，也考察定理的综合应用能力，是圆章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明圆内接四边形对角互补，需借助圆周角定理建立圆周角和所对应弧的关系。首先连接圆心与B、D两点得到圆心角，∠BAD和∠BCD所对的弧合起来为整圆，度数和为360°，结合圆周角等于所对圆心角的一半，即可推出两个角的和为180°。
(2) 首先利用(1)的圆内接四边形对角互补的结论，结合已知的两个角的数量关系先求出∠BAD的度数；再根据圆周角定理求出弧BD对应的圆心角∠BOD的度数，求弦BD长时，过圆心作BD的垂线，利用垂径定理将BD转化为两倍的直角边，最后在直角三角形中用三角函数计算边长即可。
【解析】
(1) 证明：
连接OB，OD。
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。
∠BAD所对的弧为$\overset{\frown}{BCD}$，∠BCD所对的弧为$\overset{\frown}{BAD}$，
$\overset{\frown}{BCD}$与$\overset{\frown}{BAD}$的度数之和为周角360°，
因此：
$∠ BAD = \frac{1}{2} × \overset{\frown}{BCD}\mathrm{的度数}, \quad ∠ BCD = \frac{1}{2} × \overset{\frown}{BAD}\mathrm{的度数}$
$∠ BAD + ∠ BCD = \frac{1}{2} × (\overset{\frown}{BCD}\mathrm{的度数} + \overset{\frown}{BAD}\mathrm{的度数}) = \frac{1}{2} × 360° = 180°$，原命题得证。
(2) 解：
∵ 点A,B,C,D在$\odot O$上，
由(1)的结论得：$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$。
将$∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BCD$代入得：
$\frac{1}{2}∠ BCD + ∠ BCD = 180°$
解得$∠ BCD = 120°$，$∠ BAD = 60°$。
连接OB，OD，由圆周角定理得：
$∠ BOD = 2∠ BAD = 120°$
过点O作$OE ⊥ BD$于点E，
∵ $OB=OD$，由垂径定理得：$BD=2BE$，$∠ BOE = \frac{1}{2}∠ BOD = 60°$。
在$Rt△ BOE$中，$OB=4$：
$BE = OB · \sin60° = 4 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$
$BD = 2BE = 4\sqrt{3}$
【答案】
(1) 圆内接四边形对角互补，证明成立；
(2) BD的长为$4\sqrt{3}$。
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形性质，垂径定理
【点评】
本题分为性质证明和应用两部分，第一问考察圆周角定理的基础应用，推导逻辑清晰直观；第二问是性质的延伸应用，结合了垂径定理与解直角三角形求弦长的知识，既考察基础定理的识记，也考察定理的综合应用能力，是圆章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
9.研究发现:当四边形的对角线互相垂直时,该四边形的面积等于对角线乘积的一半.如图1,已知四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC=BD,且AC⊥BD.
(1)求证:AB=CD;
(2)若⊙O的半径为8,弧BD所对的圆心角为120°,求四边形ABCD的面积;
(3)如图2,作OM⊥BC于点M,请猜测OM与AD的数量关系,并证明你的结论.
(1)求证:AB=CD;
(2)若⊙O的半径为8,弧BD所对的圆心角为120°,求四边形ABCD的面积;
(3)如图2,作OM⊥BC于点M,请猜测OM与AD的数量关系,并证明你的结论.
答案
(1) 证明：
∵ $AC=BD$，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $\overset{\frown}{AC}-\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}-\overset{\frown}{AD}$，即 $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $AB=CD$。
---
(2) 解：
过点$O$作$OH⊥ BD$于$H$，连接$OB$、$OD$。
∵ 弧$BD$所对的圆心角为$120°$，∴ $∠ BOD=120°$，
∵ $OB=OD=8$，$OH⊥ BD$，
∴ $∠ BOH=\frac{1}{2}∠ BOD=60°$，$BH=DH$，
在$\mathrm{Rt}△ BOH$中，$BH=OB·\sin60°=8×\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$，
∴ $BD=2BH=8\sqrt{3}$，
又∵ $AC=BD$，∴ $AC=8\sqrt{3}$，
已知$AC⊥ BD$，对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半，
∴ $S_{\mathrm{四边形}ABCD}=\frac{1}{2}· AC· BD=\frac{1}{2}×8\sqrt{3}×8\sqrt{3}=96$。
---
(3) 猜测：$OM=\frac{1}{2}AD$，证明如下：
连接$BO$并延长交$\odot O$于点$E$，连接$CE$。
∵ $OM⊥ BC$，∴ $M$是$BC$的中点，
又∵ $O$是$BE$的中点，
∴ $OM$是$△ BCE$的中位线，
∴ $OM=\frac{1}{2}CE$。
∵ $BE$是$\odot O$的直径，∴ $∠ BCE=90°$，
∴ $∠ EBC+∠ BEC=90°$。
设$AC$与$BD$交于点$P$，∵ $AC⊥ BD$，∴ $∠ APB=90°$，
∴ $∠ BAC+∠ ABD=90°$。
∵ $∠ BAC$和$∠ BEC$都是弧$BC$所对的圆周角，∴ $∠ BAC=∠ BEC$，
∴ $∠ ABD=∠ EBC$，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CE}$，∴ $AD=CE$，
∴ $OM=\frac{1}{2}AD$。
∵ $AC=BD$，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $\overset{\frown}{AC}-\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}-\overset{\frown}{AD}$，即 $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $AB=CD$。
---
(2) 解：
过点$O$作$OH⊥ BD$于$H$，连接$OB$、$OD$。
∵ 弧$BD$所对的圆心角为$120°$，∴ $∠ BOD=120°$，
∵ $OB=OD=8$，$OH⊥ BD$，
∴ $∠ BOH=\frac{1}{2}∠ BOD=60°$，$BH=DH$，
在$\mathrm{Rt}△ BOH$中，$BH=OB·\sin60°=8×\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$，
∴ $BD=2BH=8\sqrt{3}$，
又∵ $AC=BD$，∴ $AC=8\sqrt{3}$，
已知$AC⊥ BD$，对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半，
∴ $S_{\mathrm{四边形}ABCD}=\frac{1}{2}· AC· BD=\frac{1}{2}×8\sqrt{3}×8\sqrt{3}=96$。
---
(3) 猜测：$OM=\frac{1}{2}AD$，证明如下：
连接$BO$并延长交$\odot O$于点$E$，连接$CE$。
∵ $OM⊥ BC$，∴ $M$是$BC$的中点，
又∵ $O$是$BE$的中点，
∴ $OM$是$△ BCE$的中位线，
∴ $OM=\frac{1}{2}CE$。
∵ $BE$是$\odot O$的直径，∴ $∠ BCE=90°$，
∴ $∠ EBC+∠ BEC=90°$。
设$AC$与$BD$交于点$P$，∵ $AC⊥ BD$，∴ $∠ APB=90°$，
∴ $∠ BAC+∠ ABD=90°$。
∵ $∠ BAC$和$∠ BEC$都是弧$BC$所对的圆周角，∴ $∠ BAC=∠ BEC$，
∴ $∠ ABD=∠ EBC$，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CE}$，∴ $AD=CE$，
∴ $OM=\frac{1}{2}AD$。
解析
【分析】
(1) 要证明圆内两条弦相等，可转化为证明两条弦所对的弧相等。已知AC=BD，根据同圆中相等的弦对应相等的弧，可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，两条弧同时减去公共的$\overset{\frown}{AD}$，即可得到$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，进而推出AB=CD。
(2) 题目已给出对角线垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，已知AC=BD，因此只需计算出BD的长度即可。已知弧BD对应的圆心角为120°，⊙O半径为8，过圆心作BD的垂线，结合垂径定理和锐角三角函数即可求出BD的长度，代入面积公式计算即可。
(3) 猜测$OM=\frac{1}{2}AD$。已知OM⊥BC，根据垂径定理可知M是BC中点，可构造直径BE，连接CE，得到OM是△BCE的中位线，即可得$OM=\frac{1}{2}CE$，接下来只需证明AD=CE即可，结合AC⊥BD的条件和圆周角定理，推导$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CE}$，即可得到对应弦AD=CE，从而得证。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AC=BD$，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $\overset{\frown}{AC}-\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}-\overset{\frown}{AD}$，即 $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $AB=CD$。
(2) 解：
过点$O$作$OH⊥ BD$于$H$，连接$OB$、$OD$。
∵ 弧$BD$所对的圆心角为$120°$，
∴ $∠ BOD=120°$，
∵ $OB=OD=8$，$OH⊥ BD$，
∴ $∠ BOH=\frac{1}{2}∠ BOD=60°$，$BH=DH$，
在$\mathrm{Rt}△ BOH$中，$BH=OB·\sin60°=8×\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$，
∴ $BD=2BH=8\sqrt{3}$，
又
∵ $AC=BD$，
∴ $AC=8\sqrt{3}$，
已知$AC⊥ BD$，对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半，
∴ $S_{\mathrm{四边形}ABCD}=\frac{1}{2}· AC· BD=\frac{1}{2}×8\sqrt{3}×8\sqrt{3}=96$。
(3) 猜测：$OM=\frac{1}{2}AD$，证明如下：
连接$BO$并延长交$\odot O$于点$E$，连接$CE$。
∵ $OM⊥ BC$，
∴ $M$是$BC$的中点，
又
∵ $O$是$BE$的中点，
∴ $OM$是$△ BCE$的中位线，
∴ $OM=\frac{1}{2}CE$。
∵ $BE$是$\odot O$的直径，
∴ $∠ BCE=90°$，
∴ $∠ EBC+∠ BEC=90°$。
设$AC$与$BD$交于点$P$，
∵ $AC⊥ BD$，
∴ $∠ APB=90°$，
∴ $∠ BAC+∠ ABD=90°$。
∵ $∠ BAC$和$∠ BEC$都是弧$BC$所对的圆周角，
∴ $∠ BAC=∠ BEC$，
∴ $∠ ABD=∠ EBC$，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CE}$，
∴ $AD=CE$，
∴ $OM=\frac{1}{2}AD$。
【答案】
(1) $AB=CD$得证；
(2) $96$；
(3) $OM=\frac{1}{2}AD$。
【知识点】
1. 弦弧关系
2. 垂径定理
3. 圆周角定理
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与三角形相关知识的应用，解题的关键是熟练掌握弦、弧、圆周角之间的转化方法，合理构造辅助线将待证线段建立关联，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明圆内两条弦相等，可转化为证明两条弦所对的弧相等。已知AC=BD，根据同圆中相等的弦对应相等的弧，可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，两条弧同时减去公共的$\overset{\frown}{AD}$，即可得到$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，进而推出AB=CD。
(2) 题目已给出对角线垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，已知AC=BD，因此只需计算出BD的长度即可。已知弧BD对应的圆心角为120°，⊙O半径为8，过圆心作BD的垂线，结合垂径定理和锐角三角函数即可求出BD的长度，代入面积公式计算即可。
(3) 猜测$OM=\frac{1}{2}AD$。已知OM⊥BC，根据垂径定理可知M是BC中点，可构造直径BE，连接CE，得到OM是△BCE的中位线，即可得$OM=\frac{1}{2}CE$，接下来只需证明AD=CE即可，结合AC⊥BD的条件和圆周角定理，推导$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CE}$，即可得到对应弦AD=CE，从而得证。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AC=BD$，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $\overset{\frown}{AC}-\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}-\overset{\frown}{AD}$，即 $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $AB=CD$。
(2) 解：
过点$O$作$OH⊥ BD$于$H$，连接$OB$、$OD$。
∵ 弧$BD$所对的圆心角为$120°$，
∴ $∠ BOD=120°$，
∵ $OB=OD=8$，$OH⊥ BD$，
∴ $∠ BOH=\frac{1}{2}∠ BOD=60°$，$BH=DH$，
在$\mathrm{Rt}△ BOH$中，$BH=OB·\sin60°=8×\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$，
∴ $BD=2BH=8\sqrt{3}$，
又
∵ $AC=BD$，
∴ $AC=8\sqrt{3}$，
已知$AC⊥ BD$，对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半，
∴ $S_{\mathrm{四边形}ABCD}=\frac{1}{2}· AC· BD=\frac{1}{2}×8\sqrt{3}×8\sqrt{3}=96$。
(3) 猜测：$OM=\frac{1}{2}AD$，证明如下：
连接$BO$并延长交$\odot O$于点$E$，连接$CE$。
∵ $OM⊥ BC$，
∴ $M$是$BC$的中点，
又
∵ $O$是$BE$的中点，
∴ $OM$是$△ BCE$的中位线，
∴ $OM=\frac{1}{2}CE$。
∵ $BE$是$\odot O$的直径，
∴ $∠ BCE=90°$，
∴ $∠ EBC+∠ BEC=90°$。
设$AC$与$BD$交于点$P$，
∵ $AC⊥ BD$，
∴ $∠ APB=90°$，
∴ $∠ BAC+∠ ABD=90°$。
∵ $∠ BAC$和$∠ BEC$都是弧$BC$所对的圆周角，
∴ $∠ BAC=∠ BEC$，
∴ $∠ ABD=∠ EBC$，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CE}$，
∴ $AD=CE$，
∴ $OM=\frac{1}{2}AD$。
【答案】
(1) $AB=CD$得证；
(2) $96$；
(3) $OM=\frac{1}{2}AD$。
【知识点】
1. 弦弧关系
2. 垂径定理
3. 圆周角定理
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与三角形相关知识的应用，解题的关键是熟练掌握弦、弧、圆周角之间的转化方法，合理构造辅助线将待证线段建立关联，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
