1.化简$\frac{4}{a+2}+a-2$，结果是 （）

A.$1$
B.$\frac{a^2}{a+2}$
C.$\frac{a^2}{a^2 -4}$
D.$\frac{a}{a+2}$

1.B

【分析】
这是一道分式与整式的加减化简题，解题思路如下：首先，分式加减运算中遇到整式时，可将整式看作分母为1的“分式”；其次，异分母分式加减要先通分，本题的公分母为$a+2$，将整式$a-2$通分转化为分母是$a+2$的分式；最后按照同分母分式加减法法则，分母不变，分子相加，再利用乘法公式化简分子，合并同类项后得到最终结果。
【解析】
解：$\begin{aligned}\frac{4}{a+2}+a-2&=\frac{4}{a+2}+\frac{a-2}{1}\\&=\frac{4}{a+2}+\frac{(a-2)(a+2)}{a+2}\\&=\frac{4+a^2-4}{a+2}\\&=\frac{a^2}{a+2}\end{aligned}$
因此结果对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
异分母分式加减法、平方差公式、通分
【点评】
本题属于基础运算题，重点考察分式加减的运算规则和乘法公式的应用，解题的关键是正确对整式进行通分，计算时注意不要遗漏整式部分的分子乘法运算，掌握基础运算规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

2. 化简分式$\frac{1}{x^2 -1} ÷ \frac{1}{x^2 -2x +1} + \frac{2}{x+1}$，结果是（）

A.$\frac{x-1}{x+1}$
B.$\frac{x+1}{x-1}$
C.$1$
D.$\frac{x^2 +4x -1}{x^2 -1}$

2.C

【分析】
本题属于分式混合运算类题目，解题遵循先乘除后加减的运算顺序：首先先对各个分式的分子、分母进行因式分解，方便后续约分；再将分式除法转化为乘法运算，约分后得到最简结果；最后按照同分母分式加法法则计算，化简后即可得到最终结果，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：先对原式中各多项式因式分解：
$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$
根据分式除法法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，可得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{(x+1)(x-1)} × (x-1)^2 + \frac{2}{x+1}\\&=\frac{x-1}{x+1} + \frac{2}{x+1}\\&=\frac{x-1+2}{x+1}\\&=\frac{x+1}{x+1}\\&=1 \quad (x≠\pm1，保证原式有意义)\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，分式的约分通分
【点评】
本题侧重考查分式运算的基础能力，掌握分式运算顺序、因式分解的方法以及分式加减乘除的运算法则是解题的核心，运算过程中要注意结果需化简为最简形式。
【难度系数】
0.8

3.试卷上一个正确的式子$(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a-b})÷ \bigstar=\dfrac{2}{a+b}$被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式为（）

A.$\dfrac{a}{a-b}$
B.$\dfrac{a-b}{a}$
C.$\dfrac{a}{a+b}$
D.$\dfrac{4a}{a^2 - b^2}$

3.A

【分析】
要计算被墨汁遮住的代数式，首先根据除法各部分的关系：除数=被除数÷商，确定被除数为括号内的分式和，商为$\dfrac{2}{a+b}$。解题按三步进行：第一步计算括号内的分式加法，通分后合并；第二步将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘以它的倒数）；第三步通过约分得到最简结果，对应选项即可。
【解析】
设被墨汁遮住的部分为$\bigstar$，根据除法各部分关系可得：
$\bigstar = (\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a-b}) ÷ \dfrac{2}{a+b}$
第一步，计算括号内的分式加法，取公分母$(a+b)(a-b)$通分：
$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a-b}=\dfrac{a-b}{(a+b)(a-b)}+\dfrac{a+b}{(a+b)(a-b)}=\dfrac{(a-b)+(a+b)}{(a+b)(a-b)}=\dfrac{2a}{(a+b)(a-b)}$
第二步，将除法转化为乘法：
$\bigstar = \dfrac{2a}{(a+b)(a-b)} × \dfrac{a+b}{2}$
第三步，约分计算：
约去分子分母的公因式2和$(a+b)$，可得$\bigstar=\dfrac{a}{a-b}$
【答案】
A
【知识点】
分式的加减运算、分式的乘除运算、分式约分
【点评】
本题考查分式的混合运算，解题核心是先利用除法运算的结构关系明确待求式，再熟练运用分式加减、乘除的运算法则计算，计算过程中要注意通分的正确性和约分的彻底性。
【难度系数】
0.8

4. 计算：$(1+\dfrac{a}{1-a})÷\dfrac{1}{a^2 - a}=$ .

4.$-a$

【分析】
本题是分式的混合运算题，解题思路如下：第一步先计算括号内的异分母分式加法，先通分把1转化为分母是(1-a)的分式，再相加化简；第二步将分式除法转化为乘法，除以一个数等于乘它的倒数，同时对多项式$a^2-a$进行因式分解；第三步注意到$(1-a)$和$(a-1)$互为相反数，约分的时候要注意符号变化，最后化简得到结果。
【解析】
先计算括号内的加法：
$1+\dfrac{a}{1-a}=\dfrac{1-a}{1-a}+\dfrac{a}{1-a}=\dfrac{1-a+a}{1-a}=\dfrac{1}{1-a}$
再将除法转化为乘法，同时因式分解$a^2 - a = a(a-1)$：
原式$=\dfrac{1}{1-a} × (a^2 - a)=\dfrac{1}{1-a} × a(a-1)$
因为$a-1=-(1-a)$，代入后约分：
$=\dfrac{1}{1-a} × a × [-(1-a)]=-a$
【答案】
$-a$
【知识点】
分式的混合运算、因式分解、分式的约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考察分式运算的顺序和符号处理能力，解题时要注意互为相反数的因式约分时需要变号，熟练掌握通分、约分、因式分解是正确解题的关键。
【难度系数】
0.7

5.已知$\frac{2}{x} - \frac{1}{y} = 1$且$x ≠ y$，则$\frac{xy - x}{y - x} =$ .

5.2

【分析】
本题属于分式化简求值类题目，解题时无需单独求出x、y的具体值，可先对已知的分式等式通分变形，得到xy与x、y的整体关系，再将该关系代入所求代数式，约分后即可得到结果，解题核心是运用整体代入的思想简化计算。
【解析】
解：先对已知等式$\frac{2}{x}-\frac{1}{y}=1$进行变形：
对左边通分，公分母为$xy$，得：
$\frac{2y - x}{xy}=1$
因为x、y均为分母，所以$x≠0$，$y≠0$，等式两边同乘$xy$得：
$2y - x = xy$
将$xy=2y - x$代入所求代数式$\frac{xy - x}{y - x}$中：
分子$xy - x = (2y - x) - x = 2y - 2x = 2(y - x)$
则原式$=\frac{2(y - x)}{y - x}$
已知$x≠y$，即$y - x≠0$，约分后得：
原式$=2$
【答案】
2
【知识点】
分式通分运算，分式化简求值，整体代入法
【点评】
本题侧重考查分式的基本运算和代数式变形能力，解题的关键是通过对已知等式变形得到整体关系式，避免单独求解未知数，能有效提升对整体思想的运用能力。
【难度系数】
0.7

6.已知$\frac{3x - 4}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2}$，则$A+B$的值为（）

A.1
B.2
C.3
D.4

6.C

【分析】
本题是分式恒等变形的问题，解题思路如下：首先等式右边是两个异分母分式相加，我们可以先对右边进行通分，由于左右两边分式的分母相同，因此两个分式的分子必然相等，得到关于x的恒等式；接下来可以通过代入特殊的x值（让其中一个未知数的系数为0）快速求出A、B的值，最后计算A+B即可；也可以将右边的整式整理后对比左右两边同类项的系数求解。
【解析】
首先对等式右边的分式通分：
$\frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2} = \frac{A(x-2) + B(x-1)}{(x-1)(x-2)}$
已知左右两边分式相等且分母相同（分母不为0），因此分子相等：
$3x - 4 = A(x-2) + B(x-1)$
我们用代入特殊值法求解：
令$x=1$，代入上式得：$3×1 - 4 = A(1-2) + B×0$，即$-1 = -A$，解得$A=1$；
令$x=2$，代入上式得：$3×2 - 4 = A×0 + B(2-1)$，即$2 = B$，解得$B=2$；
因此$A+B=1+2=3$。
【答案】
C
【知识点】
分式加减运算、多项式恒等变形、代数式求值
【点评】
本题考查分式运算中的恒等变形技巧，既可以用代入特殊值的方法快速求解系数，也可以通过对比同类项系数直接得到所求的A+B的值，解题方法灵活，是分式运算部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7

7.小明上学时要走一段上坡路，他上坡的速度为 m km/h，放学回家时，原路返回，下坡的速度为 n km/h，则小明上学和放学路上经过该坡路的平均速度为
（）

A.$\frac{m+n}{2}$ km/h
B.$\frac{mn}{m+n}$ km/h
C.$\frac{2mn}{m+n}$ km/h
D.$\frac{m+n}{mn}$ km/h

7.C

【分析】
要计算往返坡路的平均速度，需牢记平均速度的计算公式为总路程÷总时间，不能直接求两个速度的平均值。解题时可先设坡路单程路程为$s$，分别计算上坡、下坡的行驶时间，再结合总路程、总时间代入公式，通过分式运算化简即可得到结果。
【解析】
设这段坡路的单程路程为$s\ \mathrm{km}$。
1. 计算上学上坡的时间：$t_1=\frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{速度}}=\frac{s}{m}\ \mathrm{h}$
2. 计算放学下坡的时间：$t_2=\frac{s}{n}\ \mathrm{h}$
3. 计算往返总路程：$s_{\mathrm{总}}=s+s=2s\ \mathrm{km}$
4. 计算往返总时间：$t_{\mathrm{总}}=t_1+t_2=\frac{s}{m}+\frac{s}{n}=\frac{sn+sm}{mn}=\frac{s(m+n)}{mn}\ \mathrm{h}$
5. 代入平均速度公式计算：
$v_{\mathrm{平均}}=\frac{s_{\mathrm{总}}}{t_{\mathrm{总}}}=\frac{2s}{\frac{s(m+n)}{mn}}=2s×\frac{mn}{s(m+n)}=\frac{2mn}{m+n}\ \mathrm{km/h}$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平均速度计算、分式混合运算、分式约分
【点评】
本题是行程类典型易错题，很多同学容易误将两个速度的算术平均数当作平均速度，解题核心是抓住平均速度的定义：总路程与对应总时间的比值，计算过程中要注意分式运算的通分、约分规则，避免计算错误。
【难度系数】
0.6

8.已知$a_1 = x+1(x≠0且x≠-1),a_2=\frac{1}{1-a_1},a_3=\frac{1}{1-a_2},\dots,a_n=\frac{1}{1-a_{n-1}}$，则$a_{2026}$的值为。

8.$x+1$

【分析】
本题给出了数列的递推公式，由于所求的项数2026很大，无法逐项计算，因此优先考虑寻找数列的周期规律：先依次计算前几项的表达式，观察是否存在循环；确定周期后，用2026除以周期得到余数，根据余数即可确定$a_{2026}$对应周期内的第几项，进而求出结果，计算过程中要正确进行分式的化简。
【解析】
根据题意依次计算前几项：
1. 已知$a_1 = x+1$
2. 计算$a_2$：
$a_2=\frac{1}{1-a_1}=\frac{1}{1-(x+1)}=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}$
3. 计算$a_3$：
$a_3=\frac{1}{1-a_2}=\frac{1}{1-(-\frac{1}{x})}=\frac{1}{\frac{x+1}{x}}=\frac{x}{x+1}$
4. 计算$a_4$：
$a_4=\frac{1}{1-a_3}=\frac{1}{1-\frac{x}{x+1}}=\frac{1}{\frac{1}{x+1}}=x+1$
由此可得$a_4=a_1$，说明该数列每3项为一个周期循环。
接下来计算2026除以3的余数：$2026÷3=675······1$，余数为1，即$a_{2026}=a_1$。
【答案】
$x+1$
【知识点】
分式的化简，周期规律探究
【点评】
本题核心是通过计算前几项归纳数列的循环周期，再结合余数定位所求项，既考查了分式的基本运算能力，也考查了规律探究的思维方法，掌握“大数项找周期”的解题思路是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7