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9.已知分式$\frac{x+3}{x}$的值为整数，则满足条件的整数$x$的值有
$4$
个.答案
9.$4$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先明确分式有意义的前提：分母不为0，因此x≠0；2. 对分式进行拆分化简，将其转化为“整数+仅含x的分式”的形式，这样原分式值为整数的条件就等价于仅含x的分式的值为整数；3. 根据整除的性质，x必须是分式分子的整数因数，同时要考虑正、负因数两种情况，最后统计符合条件的x的个数即可。
【解析】
先化简分式：
$\frac{x+3}{x}=\frac{x}{x}+\frac{3}{x}=1+\frac{3}{x}$
∵ 分式的值为整数，且x是整数，同时分母x≠0
∴ $\frac{3}{x}$必须为整数，即x是3的整数因数
3的整数因数有：$\pm1,\pm3$，共4个，均满足x≠0的要求
∴ 符合条件的整数x的值有4个。
【答案】
4
【知识点】
分式有意义的条件、分式的化简、整数整除的性质
【点评】
本题是分式值相关的典型题，解题关键是通过拆分分式将问题转化为整除问题，易错点是容易遗漏负因数的情况，解题时要全面考虑正负整数两种情况。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 首先明确分式有意义的前提：分母不为0，因此x≠0；2. 对分式进行拆分化简，将其转化为“整数+仅含x的分式”的形式，这样原分式值为整数的条件就等价于仅含x的分式的值为整数；3. 根据整除的性质，x必须是分式分子的整数因数，同时要考虑正、负因数两种情况，最后统计符合条件的x的个数即可。
【解析】
先化简分式：
$\frac{x+3}{x}=\frac{x}{x}+\frac{3}{x}=1+\frac{3}{x}$
∵ 分式的值为整数，且x是整数，同时分母x≠0
∴ $\frac{3}{x}$必须为整数，即x是3的整数因数
3的整数因数有：$\pm1,\pm3$，共4个，均满足x≠0的要求
∴ 符合条件的整数x的值有4个。
【答案】
4
【知识点】
分式有意义的条件、分式的化简、整数整除的性质
【点评】
本题是分式值相关的典型题，解题关键是通过拆分分式将问题转化为整除问题，易错点是容易遗漏负因数的情况，解题时要全面考虑正负整数两种情况。
【难度系数】
0.7
10.计算:
(1)$\frac{2x^2}{x+1}-\frac{2}{x+1}$;
(2)$\frac{a-3b}{a-b}-\frac{a+b}{b-a}$;
(3)$\frac{24}{x^2-16}+\frac{3}{4-x}$;
(4)$\frac{a^2}{a-2}-a-2$.
(1)$\frac{2x^2}{x+1}-\frac{2}{x+1}$;
(2)$\frac{a-3b}{a-b}-\frac{a+b}{b-a}$;
(3)$\frac{24}{x^2-16}+\frac{3}{4-x}$;
(4)$\frac{a^2}{a-2}-a-2$.
答案
10.(1)$2x-2$ (2)$2$ (3)$-\frac{3}{x+4}$ (4)$\frac{4}{a-2}$
解析
【分析】
这四道题均属于分式的加减运算，解题思路可按以下步骤展开：①先判断分式类型：同分母分式直接遵循“分母不变，分子相加减”的法则计算；异分母分式先找最简公分母通分，转化为同分母分式后再计算。②特殊分母处理：若两个分母互为相反数，可通过提取负号统一分母，减少计算量；若运算中含有整式，可将整式看作分母为1的“分式”再通分。③结果化简：计算后对分子因式分解，约去分子分母的公因式，将结果化为最简分式或整式，计算过程中要特别注意去括号时的符号变化。
【解析】
(1) 两个分式为同分母分式，按同分母分式减法法则计算：
原式 = $\frac{2x^2 - 2}{x+1}$
对分子因式分解：$2x^2 -2 = 2(x^2 -1) = 2(x+1)(x-1)$
约分可得：$\frac{2(x+1)(x-1)}{x+1} = 2(x-1) = 2x-2$
(2) 观察分母$b-a = -(a-b)$，先统一分母：
原式 = $\frac{a-3b}{a-b} + \frac{a+b}{a-b}$
按同分母分式加法法则计算，分子合并：
$\frac{(a-3b)+(a+b)}{a-b} = \frac{2a - 2b}{a-b}$
对分子因式分解后约分：$\frac{2(a-b)}{a-b}=2$
(3) 先对分母因式分解：$x^2-16=(x+4)(x-4)$，且$4-x=-(x-4)$，统一分母：
原式 = $\frac{24}{(x+4)(x-4)} - \frac{3}{x-4}$
取最简公分母$(x+4)(x-4)$通分：
$\frac{24}{(x+4)(x-4)} - \frac{3(x+4)}{(x+4)(x-4)}$
分子相减并整理：$24 - 3(x+4) = 24 -3x -12 = -3(x-4)$
约分可得：$\frac{-3(x-4)}{(x+4)(x-4)} = -\frac{3}{x+4}$
(4) 将整式$-a-2$变形为$-(a+2)$，看作分母为1的分式通分，最简公分母为$a-2$：
原式 = $\frac{a^2}{a-2} - \frac{(a+2)(a-2)}{a-2}$
利用平方差公式计算分子：$a^2 - (a^2 -4) = 4$
最终结果为$\frac{4}{a-2}$
【答案】
(1)$2x-2$；(2)$2$；(3)$-\frac{3}{x+4}$；(4)$\frac{4}{a-2}$
【知识点】
分式加减运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式加减运算的常规基础题，重点考查分式加减的运算法则，解题时要注意互为相反数的分母的转化技巧，以及整式参与分式运算时的通分方法，计算时注意符号变化，最后结果化为最简形式即可。
【难度系数】
0.7
这四道题均属于分式的加减运算，解题思路可按以下步骤展开：①先判断分式类型：同分母分式直接遵循“分母不变，分子相加减”的法则计算；异分母分式先找最简公分母通分，转化为同分母分式后再计算。②特殊分母处理：若两个分母互为相反数，可通过提取负号统一分母，减少计算量；若运算中含有整式，可将整式看作分母为1的“分式”再通分。③结果化简：计算后对分子因式分解，约去分子分母的公因式，将结果化为最简分式或整式，计算过程中要特别注意去括号时的符号变化。
【解析】
(1) 两个分式为同分母分式，按同分母分式减法法则计算：
原式 = $\frac{2x^2 - 2}{x+1}$
对分子因式分解：$2x^2 -2 = 2(x^2 -1) = 2(x+1)(x-1)$
约分可得：$\frac{2(x+1)(x-1)}{x+1} = 2(x-1) = 2x-2$
(2) 观察分母$b-a = -(a-b)$，先统一分母：
原式 = $\frac{a-3b}{a-b} + \frac{a+b}{a-b}$
按同分母分式加法法则计算，分子合并：
$\frac{(a-3b)+(a+b)}{a-b} = \frac{2a - 2b}{a-b}$
对分子因式分解后约分：$\frac{2(a-b)}{a-b}=2$
(3) 先对分母因式分解：$x^2-16=(x+4)(x-4)$，且$4-x=-(x-4)$，统一分母：
原式 = $\frac{24}{(x+4)(x-4)} - \frac{3}{x-4}$
取最简公分母$(x+4)(x-4)$通分：
$\frac{24}{(x+4)(x-4)} - \frac{3(x+4)}{(x+4)(x-4)}$
分子相减并整理：$24 - 3(x+4) = 24 -3x -12 = -3(x-4)$
约分可得：$\frac{-3(x-4)}{(x+4)(x-4)} = -\frac{3}{x+4}$
(4) 将整式$-a-2$变形为$-(a+2)$，看作分母为1的分式通分，最简公分母为$a-2$：
原式 = $\frac{a^2}{a-2} - \frac{(a+2)(a-2)}{a-2}$
利用平方差公式计算分子：$a^2 - (a^2 -4) = 4$
最终结果为$\frac{4}{a-2}$
【答案】
(1)$2x-2$；(2)$2$；(3)$-\frac{3}{x+4}$；(4)$\frac{4}{a-2}$
【知识点】
分式加减运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式加减运算的常规基础题，重点考查分式加减的运算法则，解题时要注意互为相反数的分母的转化技巧，以及整式参与分式运算时的通分方法，计算时注意符号变化，最后结果化为最简形式即可。
【难度系数】
0.7
11.先化简$(a+1-\dfrac{3}{a-1})÷\dfrac{a^2+4a+4}{a-1}$，再从$-2,0,1,2$中选取一个合适的数代入求值。
答案
11.$\frac{a-2}{a+2}$,$a=0$时,原式$=-1$;$a=2$时,原式$=0$
解析
【分析】
这是一道分式化简求值题，解题思路分为两步：第一步先化简分式，按照分式混合运算顺序，先计算括号内的异分母分式减法，通分后合并分子，再将除法运算转化为乘法运算，通过因式分解约分得到最简结果；第二步要先确定a的可取范围，根据分式有意义的条件：分母不为0、除式不为0，排除不合适的取值，再选符合要求的数代入最简式计算结果。
【解析】
解：先化简原式
$\begin{aligned}&(a+1-\frac{3}{a-1})÷\frac{a^2+4a+4}{a-1}\\=&[\frac{(a+1)(a-1)}{a-1}-\frac{3}{a-1}]·\frac{a-1}{(a+2)^2}\\=&\frac{a^2-1-3}{a-1}·\frac{a-1}{(a+2)^2}\\=&\frac{a^2-4}{a-1}·\frac{a-1}{(a+2)^2}\\=&\frac{(a-2)(a+2)}{a-1}·\frac{a-1}{(a+2)^2}\\=&\frac{a-2}{a+2}\end{aligned}$
要使分式有意义，需满足分母和除式均不为0：
$a-1≠0$，即$a≠1$；$a^2+4a+4=(a+2)^2≠0$，即$a≠-2$；
因此可选$a=0$或$a=2$代入：
当$a=0$时，原式$=\frac{0-2}{0+2}=-1$；
当$a=2$时，原式$=\frac{2-2}{2+2}=0$。
【答案】
$\frac{a-2}{a+2}$，$a=0$时，原式$=-1$；$a=2$时，原式$=0$
【知识点】
分式混合运算，分式有意义的条件，化简求值
【点评】
本题是分式运算的常规题型，重点考查分式运算规则和分式有意义的限制条件，解题时要注意先确定字母的取值范围，不能盲目代入使分母为0的数值，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.7
这是一道分式化简求值题，解题思路分为两步：第一步先化简分式，按照分式混合运算顺序，先计算括号内的异分母分式减法，通分后合并分子，再将除法运算转化为乘法运算，通过因式分解约分得到最简结果；第二步要先确定a的可取范围，根据分式有意义的条件：分母不为0、除式不为0，排除不合适的取值，再选符合要求的数代入最简式计算结果。
【解析】
解：先化简原式
$\begin{aligned}&(a+1-\frac{3}{a-1})÷\frac{a^2+4a+4}{a-1}\\=&[\frac{(a+1)(a-1)}{a-1}-\frac{3}{a-1}]·\frac{a-1}{(a+2)^2}\\=&\frac{a^2-1-3}{a-1}·\frac{a-1}{(a+2)^2}\\=&\frac{a^2-4}{a-1}·\frac{a-1}{(a+2)^2}\\=&\frac{(a-2)(a+2)}{a-1}·\frac{a-1}{(a+2)^2}\\=&\frac{a-2}{a+2}\end{aligned}$
要使分式有意义，需满足分母和除式均不为0：
$a-1≠0$，即$a≠1$；$a^2+4a+4=(a+2)^2≠0$，即$a≠-2$；
因此可选$a=0$或$a=2$代入：
当$a=0$时，原式$=\frac{0-2}{0+2}=-1$；
当$a=2$时，原式$=\frac{2-2}{2+2}=0$。
【答案】
$\frac{a-2}{a+2}$，$a=0$时，原式$=-1$；$a=2$时，原式$=0$
【知识点】
分式混合运算，分式有意义的条件，化简求值
【点评】
本题是分式运算的常规题型，重点考查分式运算规则和分式有意义的限制条件，解题时要注意先确定字母的取值范围，不能盲目代入使分母为0的数值，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.7
12.已知$a-b-1=0$，求代数式$\dfrac{3(a-2b)+3b}{a^2-2ab+b^2}$的值.
答案
12.$3$
解析
【分析】
解题时先观察已知条件与所求代数式的特征：已知条件可转化为$a-b=1$，未给出$a$、$b$的单独值，因此优先考虑将代数式化简为含$(a-b)$的形式，再整体代入计算。步骤思路：①先对分子去括号、合并同类项，提取公因式整理为含$(a-b)$的式子；②逆用完全平方公式将分母因式分解，也转化为含$(a-b)$的式子；③对分式约分得到最简形式，再将$a-b=1$代入求值即可。
【解析】
解：由$a - b - 1 = 0$，可得$a - b = 1$。
先化简代数式：
分子：$3(a - 2b) + 3b = 3a - 6b + 3b = 3a - 3b = 3(a - b)$
分母：$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
因此原式可化为：
$\dfrac{3(a - b)}{(a - b)^2}$
∵$a - b = 1 ≠ 0$，可约去分子分母的公因式$(a - b)$，得：
原式$=\dfrac{3}{a - b}$
将$a - b = 1$代入，得：
原式$=\dfrac{3}{1}=3$
【答案】
3
【知识点】
分式化简求值，完全平方公式，整式加减运算
【点评】
本题是典型的代数式整体代入求值类题目，解题的核心是先通过整式运算、因式分解、分式约分将代数式化简，再整体代入已知条件的结论，无需单独求解$a$、$b$的数值，能大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知条件与所求代数式的特征：已知条件可转化为$a-b=1$，未给出$a$、$b$的单独值，因此优先考虑将代数式化简为含$(a-b)$的形式，再整体代入计算。步骤思路：①先对分子去括号、合并同类项，提取公因式整理为含$(a-b)$的式子；②逆用完全平方公式将分母因式分解，也转化为含$(a-b)$的式子；③对分式约分得到最简形式，再将$a-b=1$代入求值即可。
【解析】
解：由$a - b - 1 = 0$，可得$a - b = 1$。
先化简代数式：
分子：$3(a - 2b) + 3b = 3a - 6b + 3b = 3a - 3b = 3(a - b)$
分母：$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
因此原式可化为：
$\dfrac{3(a - b)}{(a - b)^2}$
∵$a - b = 1 ≠ 0$，可约去分子分母的公因式$(a - b)$，得：
原式$=\dfrac{3}{a - b}$
将$a - b = 1$代入，得：
原式$=\dfrac{3}{1}=3$
【答案】
3
【知识点】
分式化简求值，完全平方公式，整式加减运算
【点评】
本题是典型的代数式整体代入求值类题目，解题的核心是先通过整式运算、因式分解、分式约分将代数式化简，再整体代入已知条件的结论，无需单独求解$a$、$b$的数值，能大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.8
