1. 计算$\frac{1}{x-1} - \frac{2}{x^2 -1}$，结果等于 （）

A.$-1$
B.$x-1$
C.$\frac{1}{x+1}$
D.$\frac{1}{x^2 -1}$

1.C

【分析】
这是异分母分式的减法运算，解题思路清晰可分为三步：第一步先对分母因式分解，确定两个分式的最简公分母；第二步将异分母分式通分转化为同分母分式，按照同分母分式减法规则计算，即分母不变，分子相减；第三步对计算结果约分化简，得到最简分式后匹配选项即可。观察算式可知第二个分式的分母$x^2-1$符合平方差公式结构，可分解为$(x-1)(x+1)$，因此最简公分母就是$(x-1)(x+1)$，按步骤计算即可得到结果。
【解析】
解：首先利用平方差公式分解分母：$x^2-1=(x-1)(x+1)$
1. 确定最简公分母为$(x-1)(x+1)$，将第一个分式通分：
$\frac{1}{x-1}=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}$
2. 转化为同分母分式减法运算：
$\frac{1}{x-1} - \frac{2}{x^2 -1}=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)} - \frac{2}{(x-1)(x+1)}$
根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
$=\frac{(x+1)-2}{(x-1)(x+1)}$
3. 化简分子并约分：
分子化简得$x+1-2=x-1$，因此原式为：
$=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$
约去分子分母的公因式$x-1$（分式有意义前提下$x≠1$），得：
$=\frac{1}{x+1}$
因此选择C选项。
【答案】
C
【知识点】
异分母分式减法，平方差公式，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考察异分母分式加减的运算流程，解题关键是先对分母因式分解确定最简公分母，通分计算后要注意将结果化为最简分式，计算时需注意分子相减的符号问题。
【难度系数】
0.8

2.化简$\frac{4}{x+2} + x - 2$，结果是（）

A.$1$
B.$\frac{x^2}{x^2 -4}$
C.$\frac{x}{x+2}$
D.$\frac{x^2}{x+2}$

2.D

【分析】
这是分式与整式的加法化简题，解题思路如下：首先把整式看作分母为1的特殊分式，找到两个分式的最简公分母进行通分，转化为同分母分式的加法运算；再对分子进行计算化简，最终得到最简结果后匹配选项即可。
【解析】
解：原式可变形为：
$\frac{4}{x+2} + \frac{x-2}{1}$
取最简公分母为$x+2$，通分得：
$\frac{4}{x+2} + \frac{(x-2)(x+2)}{x+2}$
根据同分母分式加法法则，分母不变，分子相加：
$\frac{4 + (x-2)(x+2)}{x+2}$
利用平方差公式计算$(x-2)(x+2)=x^2-4$，代入分子得：
$\frac{4 + x^2 - 4}{x+2}$
合并分子同类项后得：
$\frac{x^2}{x+2}$
因此结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式、通分
【点评】
本题核心考查分式与整式的加减运算，解题关键是将整式转化为分母为1的分式再通分，计算分子时合理运用乘法公式可简化运算，注意通分时不要漏乘整式部分，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.8

3. 已知A为整式，若计算$\frac{A}{xy+y^2} - \frac{y}{x^2+xy}$的结果为$\frac{x-y}{xy}$，则$A=$（）

A.$x$
B.$y$
C.$x+y$
D.$x-y$

3.A

【分析】
本题是已知分式运算结果求整式A的问题，解题思路如下：首先将原式变形，把含A的项单独放在等号一侧，其余项移到等号另一侧；接着对各个分式的分母进行因式分解，方便后续通分计算；再按照分式加减的运算法则对右侧的式子进行通分、约分化简；最后将化简后的式子乘左侧的分母，即可求出A的值。
【解析】
由题意可得：
$\frac{A}{xy+y^2} = \frac{x-y}{xy} + \frac{y}{x^2+xy}$
第一步：对分母因式分解
$xy+y^2 = y(x+y)$，$x^2+xy = x(x+y)$，代入上式得：
$\frac{A}{y(x+y)} = \frac{x-y}{xy} + \frac{y}{x(x+y)}$
第二步：对右侧分式通分，公分母为$xy(x+y)$
$\frac{x-y}{xy} = \frac{(x-y)(x+y)}{xy(x+y)} = \frac{x^2-y^2}{xy(x+y)}$
$\frac{y}{x(x+y)} = \frac{y· y}{xy(x+y)} = \frac{y^2}{xy(x+y)}$
第三步：计算右侧的和
$\frac{x^2-y^2}{xy(x+y)} + \frac{y^2}{xy(x+y)} = \frac{x^2-y^2+y^2}{xy(x+y)} = \frac{x^2}{xy(x+y)} = \frac{x}{y(x+y)}$
第四步：两边同乘$y(x+y)$求A
$A = \frac{x}{y(x+y)} · y(x+y) = x$
【答案】
A
【知识点】
1.分式的加减运算 2.因式分解 3.分式的通分约分
【点评】
本题核心考查分式运算的基本规则，解题的关键是先通过等式变形把待求的A分离出来，再结合因式分解、通分约分的方法逐步化简计算，运算时注意符号和因式分解的正确性，即可轻松求解。
【难度系数】
0.7

4.设$ p=\frac{a}{a+1}-\frac{b}{b+1}, q=\frac{1}{a+1}-\frac{1}{b+1} $，则$ p,q $的关系是（）

A.$ p=q $
B.$ p＞q $
C.$ p+q=0 $
D.$ p＜q $

4.C

【分析】
要判断p和q的数量关系，常见方法有分别化简代数式对比、计算p-q判断大小、计算p+q判断是否互为相反数等。观察本题中p和q的表达式，分母均为(a+1)和(b+1)，我们可以先计算p+q的结果，利用同分母分式加减法则合并同类项，化简后即可快速得出二者的关系。
【解析】
计算p+q，代入已知表达式：
$\begin{aligned}p+q&=( \frac{a}{a+1}-\frac{b}{b+1} )+( \frac{1}{a+1}-\frac{1}{b+1} )\\&=( \frac{a}{a+1}+\frac{1}{a+1} )+( -\frac{b}{b+1}-\frac{1}{b+1} )\\&=\frac{a+1}{a+1}+\frac{-(b+1)}{b+1}\\&=1-1\\&=0\end{aligned}$
其中由分式有意义的条件可得a≠-1、b≠-1，分母不为0，可正常约分化简，因此可得p+q=0。
【答案】
C
【知识点】
分式的加减运算，代数式化简
【点评】
本题考查分式加减运算的应用，解题时注意观察代数式的结构特征，选择计算p+q的方法可快速得到结果，比分别化简p、q更高效，运算时要注意分式有意义的前提是分母不为0。
【难度系数】
0.8

5.计算$\frac{x^2}{x-1}+\frac{x}{1-x}$，结果是。

5.$x$

【分析】
首先观察两个分式的分母，可发现$x-1$和$1-x$互为相反数，解题第一步先利用分式的符号法则将两个分式的分母统一为$x-1$，再根据同分母分式的加减法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，得到新的分式后对分子因式分解，最后约分化简即可得到结果。
【解析】
解：$\frac{x^2}{x-1}+\frac{x}{1-x}$
$=\frac{x^2}{x-1}-\frac{x}{x-1}$（将第二个分式的分母变形为$-(x-1)$，分子相应变号，统一两个分式的分母）
$=\frac{x^2 - x}{x-1}$（根据同分母分式加法法则，分母不变，分子相加）
$=\frac{x(x-1)}{x-1}$（对分子提取公因式$x$进行因式分解）
$=x$（$x≠1$时，约去分子分母的公因式$x-1$）
【答案】
$x$
【知识点】
分式的加减运算；分式约分；提公因式法因式分解
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是先把互为相反数的分母转化为相同分母，再按照同分母分式的运算法则计算，最终结果要化为最简分式或整式。
【难度系数】
0.85

6.若$x+y=2,xy=-2$,则$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=$.

6.$-4$

【分析】
要求$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$的值，首先观察所求式子是两个异分母分式的和，第一步需要先通分化简，将其转化为用$x+y$和$xy$表示的形式。通分后可得到分子为$x^2+y^2$，分母为$xy$，再根据完全平方公式的变形$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，就可以把已知的$x+y=2$和$xy=-2$整体代入计算，不需要单独求出x和y的具体值。
【解析】
首先对所求式子进行通分化简：
$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{y^2}{xy}+\frac{x^2}{xy}=\frac{x^2+y^2}{xy}$
根据完全平方公式变形可得：$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，将其代入上式得：
$\frac{(x+y)^2-2xy}{xy}$
把$x+y=2$，$xy=-2$代入式子计算：
分子$=2^2 - 2×(-2)=4+4=8$，分母$=-2$
因此原式$=\frac{8}{-2}=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
分式的加减法，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题是典型的代数式求值问题，解题的关键是先化简所求的分式，再利用完全平方公式的变形将式子转化为含有已知条件的形式，运用整体代入思想计算即可，避免了求解x、y的繁琐过程。
【难度系数】
0.7

7.对于任意的$x$值都有$\frac{2x+7}{(x+2)(x-1)}=\frac{M}{x+2}+\frac{N}{x-1}$，则$M,N$的值为 （）

A.$M=1,N=3$
B.$M=-1,N=3$
C.$M=2,N=4$
D.$M=1,N=4$

7.B

【分析】
本题是分式恒等问题，解题思路如下：首先等式左右两边的分母相同，要使等式对任意x都成立，只需左右两边的分子相等即可。因此先对等式右边的两个分式通分、合并为一个分式，再将合并后的分子与左边的分子对比，根据多项式恒等时对应项系数相等的性质，列出关于M、N的二元一次方程组，解方程组即可求出M、N的值。
【解析】
第一步，对等式右边通分并合并：
$\frac{M}{x+2}+\frac{N}{x-1}=\frac{M(x-1)+N(x+2)}{(x+2)(x-1)}$
第二步，由于等式左右两边分母相同，且对任意x都成立，因此分子相等：
$2x+7 = M(x-1)+N(x+2)$
第三步，展开右边的多项式：
$2x+7 = (M+N)x + (-M + 2N)$
第四步，根据多项式恒等时对应项系数相等，列方程组：
$\begin{cases}M+N=2\\-M+2N=7\end{cases}$
第五步，解方程组：将两个方程相加，得$3N=9$，解得$N=3$；将$N=3$代入$M+N=2$，得$M=2-3=-1$。
因此$M=-1,N=3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式加减运算、多项式恒等、二元一次方程组求解
【点评】
本题是分式运算的典型基础题，解题核心是利用分式恒等的性质，将问题转化为方程组求解，熟练掌握分式通分合并的方法是解题的前提。
【难度系数】
0.7

8.已知$b＞a＞0$，则分式$\frac{a}{b}$与$\frac{a+1}{b+1}$的大小关系是（）

A.$\frac{a}{b}＜\frac{a+1}{b+1}$
B.$\frac{a}{b}=\frac{a+1}{b+1}$
C.$\frac{a}{b}＞\frac{a+1}{b+1}$
D.不能确定

8.A

【分析】
比较两个分式的大小，可采用作差法：先计算两个分式的差，通过判断差的正负来确定两个分式的大小关系。首先对两个分式作差，再利用分式加减法法则通分计算差值，最后结合已知条件$b＞a＞0$判断差值的正负，即可得出大小关系。
【解析】
用作差法比较$\frac{a}{b}$和$\frac{a+1}{b+1}$的大小：
1. 计算两式的差：
$\frac{a}{b} - \frac{a+1}{b+1}$
2. 通分，公分母为$b(b+1)$：
$=\frac{a(b+1) - b(a+1)}{b(b+1)}$
3. 化简分子：
分子$a(b+1)-b(a+1)=ab + a - ab - b = a - b$，因此原式化简为$\frac{a - b}{b(b+1)}$
4. 判断差值符号：
已知$b＞a＞0$，可得$a - b ＜ 0$，且$b＞0$、$b+1＞0$，因此分母$b(b+1)＞0$，则$\frac{a - b}{b(b+1)} ＜ 0$
即$\frac{a}{b} - \frac{a+1}{b+1} ＜ 0$，移项得$\frac{a}{b} ＜ \frac{a+1}{b+1}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
分式的加减运算，作差法比较大小，不等式的性质
【点评】
本题是分式大小比较的基础常考题，核心考查作差法的应用，只要掌握分式加减的通分化简规则，结合已知条件判断差值正负即可求解，该方法在代数式大小比较类问题中应用广泛。
【难度系数】
0.7