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13.若$(x+3)^2 + |y-4|=0$，求$[\frac{1}{2(x-y)}]^2 · (\frac{2xy^2}{x+y})^3 ÷ (\frac{xy^3}{x^2 - y^2})^2$的值.
答案
$-6$
解析
【分析】
解题分为两步：第一步先根据非负数的性质求x、y的值，因为平方和绝对值都具有非负性，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，由此可得x+3=0、y-4=0，解出x、y。第二步化简待求的分式代数式，按照分式混合运算顺序，先计算乘方，再将除法转化为乘法，结合平方差公式分解$x^2-y^2$，通过约分化为最简式后，代入x、y的值计算即可，先化简再代值能减少计算量、降低出错率。
【解析】
1. 求x、y的值：
∵ $(x+3)^2≥0$，$|y-4|≥0$，且$(x+3)^2 + |y-4|=0$
∴ $x+3=0$，$y-4=0$
解得：$x=-3$，$y=4$
2. 化简分式：
先计算各部分的乘方，再将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}&[\frac{1}{2(x-y)}]^2 · (\frac{2xy^2}{x+y})^3 ÷ (\frac{xy^3}{x^2 - y^2})^2\\=&\frac{1}{4(x-y)^2} · \frac{8x^3y^6}{(x+y)^3} ÷ \frac{x^2y^6}{(x^2-y^2)^2}\\=&\frac{1}{4(x-y)^2} · \frac{8x^3y^6}{(x+y)^3} · \frac{(x-y)^2(x+y)^2}{x^2y^6}&(利用x^2-y^2=(x-y)(x+y))\\=&\frac{8x^3y^6(x-y)^2(x+y)^2}{4(x-y)^2(x+y)^3x^2y^6}\\=&\frac{2x}{x+y}\end{aligned}$
3. 代值计算：
将$x=-3$，$y=4$代入化简后的式子：
$\frac{2x}{x+y}=\frac{2×(-3)}{-3+4}=\frac{-6}{1}=-6$
【答案】
$-6$
【知识点】
非负数的性质，分式混合运算，平方差公式
【点评】
本题是代数综合基础题，既考察了非负数性质的应用，又考察了分式乘方、乘除的运算规则，解题时优先化简代数式再代值计算是提高正确率的关键，要注意约分过程中相同因式要彻底约去，代值时注意符号的准确性。
【难度系数】
0.6
解题分为两步：第一步先根据非负数的性质求x、y的值，因为平方和绝对值都具有非负性，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，由此可得x+3=0、y-4=0，解出x、y。第二步化简待求的分式代数式，按照分式混合运算顺序，先计算乘方，再将除法转化为乘法，结合平方差公式分解$x^2-y^2$，通过约分化为最简式后，代入x、y的值计算即可，先化简再代值能减少计算量、降低出错率。
【解析】
1. 求x、y的值：
∵ $(x+3)^2≥0$，$|y-4|≥0$，且$(x+3)^2 + |y-4|=0$
∴ $x+3=0$，$y-4=0$
解得：$x=-3$，$y=4$
2. 化简分式：
先计算各部分的乘方，再将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}&[\frac{1}{2(x-y)}]^2 · (\frac{2xy^2}{x+y})^3 ÷ (\frac{xy^3}{x^2 - y^2})^2\\=&\frac{1}{4(x-y)^2} · \frac{8x^3y^6}{(x+y)^3} ÷ \frac{x^2y^6}{(x^2-y^2)^2}\\=&\frac{1}{4(x-y)^2} · \frac{8x^3y^6}{(x+y)^3} · \frac{(x-y)^2(x+y)^2}{x^2y^6}&(利用x^2-y^2=(x-y)(x+y))\\=&\frac{8x^3y^6(x-y)^2(x+y)^2}{4(x-y)^2(x+y)^3x^2y^6}\\=&\frac{2x}{x+y}\end{aligned}$
3. 代值计算：
将$x=-3$，$y=4$代入化简后的式子：
$\frac{2x}{x+y}=\frac{2×(-3)}{-3+4}=\frac{-6}{1}=-6$
【答案】
$-6$
【知识点】
非负数的性质，分式混合运算，平方差公式
【点评】
本题是代数综合基础题，既考察了非负数性质的应用，又考察了分式乘方、乘除的运算规则，解题时优先化简代数式再代值计算是提高正确率的关键，要注意约分过程中相同因式要彻底约去，代值时注意符号的准确性。
【难度系数】
0.6
14. (1)计算：$(-\dfrac{2a}{b^2})^2 · (\dfrac{2b}{a})^2 ÷ (-\dfrac{2b^2}{a})$；
(2)已知$x+2y=4$，$x-2y=-1$，先化简，再求值：$\dfrac{x^2 -4y^2}{x^2 +2xy + y^2} ÷ (\dfrac{x+2y}{x+y})^2$；
(3)已知$x-y=\dfrac{1}{2}$，$xy=-\dfrac{3}{4}$，先分解因式，再求值：$x^3y -2x^2y^2 +xy^3$。
(2)已知$x+2y=4$，$x-2y=-1$，先化简，再求值：$\dfrac{x^2 -4y^2}{x^2 +2xy + y^2} ÷ (\dfrac{x+2y}{x+y})^2$；
(3)已知$x-y=\dfrac{1}{2}$，$xy=-\dfrac{3}{4}$，先分解因式，再求值：$x^3y -2x^2y^2 +xy^3$。
答案
(1)$-\dfrac{8a}{b^4}$
(2)$\dfrac{x-2y}{x+2y}, -\dfrac{1}{4}$
(3)$xy(x-y)^2, -\dfrac{3}{16}$
(2)$\dfrac{x-2y}{x+2y}, -\dfrac{1}{4}$
(3)$xy(x-y)^2, -\dfrac{3}{16}$
解析
【分析】
(1) 本题是分式的乘方、乘除混合运算，解题思路为先计算各分式的乘方，再将除法转化为乘法，最后通过约分化简得到结果，运算时注意符号的处理。
(2) 本题是分式化简求值题，先利用平方差公式、完全平方公式对分子分母因式分解，再计算分式的乘方，将除法转化为乘法，约分后得到最简形式，观察最简式的结构，可直接代入已知的$x+2y$、$x-2y$的值计算，无需单独求$x$、$y$的数值，简化运算。
(3) 本题是因式分解求值题，先提取公因式，再利用完全平方公式对多项式分解因式，最后整体代入$x-y$、$xy$的值计算即可。
【解析】
(1) 原式=$\dfrac{4a^2}{b^4} · \dfrac{4b^2}{a^2} · (-\dfrac{a}{2b^2})$
=$\dfrac{4a^2×4b^2×(-a)}{b^4×a^2×2b^2}$
=$-\dfrac{16a^3b^2}{2a^2b^6}$
=$-\dfrac{8a}{b^4}$
(2) 原式=$\dfrac{(x+2y)(x-2y)}{(x+y)^2} ÷ \dfrac{(x+2y)^2}{(x+y)^2}$
=$\dfrac{(x+2y)(x-2y)}{(x+y)^2} × \dfrac{(x+y)^2}{(x+2y)^2}$
=$\dfrac{x-2y}{x+2y}$
把$x+2y=4$，$x-2y=-1$代入得：
原式=$\dfrac{-1}{4}=-\dfrac{1}{4}$
(3) 原式=$xy(x^2-2xy+y^2)$
=$xy(x-y)^2$
把$x-y=\dfrac{1}{2}$，$xy=-\dfrac{3}{4}$代入得：
原式=$-\dfrac{3}{4} × (\dfrac{1}{2})^2=-\dfrac{3}{4}×\dfrac{1}{4}=-\dfrac{3}{16}$
【答案】
(1)$-\dfrac{8a}{b^4}$
(2)化简结果为$\dfrac{x-2y}{x+2y}$，值为$-\dfrac{1}{4}$
(3)分解因式结果为$xy(x-y)^2$，值为$-\dfrac{3}{16}$
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、整体代入求值
【点评】
三道题均围绕代数运算设计，重点考察运算顺序、因式分解方法的运用，其中整体代入思想的使用可大幅降低运算量，减少计算错误，需要熟练掌握分式运算规则和常见的因式分解方法。
【难度系数】
0.7
(1) 本题是分式的乘方、乘除混合运算，解题思路为先计算各分式的乘方，再将除法转化为乘法，最后通过约分化简得到结果，运算时注意符号的处理。
(2) 本题是分式化简求值题，先利用平方差公式、完全平方公式对分子分母因式分解，再计算分式的乘方，将除法转化为乘法，约分后得到最简形式，观察最简式的结构，可直接代入已知的$x+2y$、$x-2y$的值计算，无需单独求$x$、$y$的数值，简化运算。
(3) 本题是因式分解求值题，先提取公因式，再利用完全平方公式对多项式分解因式，最后整体代入$x-y$、$xy$的值计算即可。
【解析】
(1) 原式=$\dfrac{4a^2}{b^4} · \dfrac{4b^2}{a^2} · (-\dfrac{a}{2b^2})$
=$\dfrac{4a^2×4b^2×(-a)}{b^4×a^2×2b^2}$
=$-\dfrac{16a^3b^2}{2a^2b^6}$
=$-\dfrac{8a}{b^4}$
(2) 原式=$\dfrac{(x+2y)(x-2y)}{(x+y)^2} ÷ \dfrac{(x+2y)^2}{(x+y)^2}$
=$\dfrac{(x+2y)(x-2y)}{(x+y)^2} × \dfrac{(x+y)^2}{(x+2y)^2}$
=$\dfrac{x-2y}{x+2y}$
把$x+2y=4$，$x-2y=-1$代入得：
原式=$\dfrac{-1}{4}=-\dfrac{1}{4}$
(3) 原式=$xy(x^2-2xy+y^2)$
=$xy(x-y)^2$
把$x-y=\dfrac{1}{2}$，$xy=-\dfrac{3}{4}$代入得：
原式=$-\dfrac{3}{4} × (\dfrac{1}{2})^2=-\dfrac{3}{4}×\dfrac{1}{4}=-\dfrac{3}{16}$
【答案】
(1)$-\dfrac{8a}{b^4}$
(2)化简结果为$\dfrac{x-2y}{x+2y}$，值为$-\dfrac{1}{4}$
(3)分解因式结果为$xy(x-y)^2$，值为$-\dfrac{3}{16}$
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、整体代入求值
【点评】
三道题均围绕代数运算设计，重点考察运算顺序、因式分解方法的运用，其中整体代入思想的使用可大幅降低运算量，减少计算错误，需要熟练掌握分式运算规则和常见的因式分解方法。
【难度系数】
0.7
