登录
10. 在 1~2 026 这 2 026 个整数中,使得$\frac{n^2 +1}{n+1}$是最简分数的 n 共有
1 013
个.答案
1 013
解析
【分析】
要判断$\frac{n^2 +1}{n+1}$是最简分数，需满足分子$n^2+1$和分母$n+1$的最大公因数为1。我们可以先用平方差公式对分子变形，将其拆分为含因式$(n+1)$的式子，再根据公因数的性质推导分子、分母的最大公因数的可能取值，进而得到满足条件的n的特征，最后统计1~2026中符合要求的n的数量即可。
【解析】
1. 对分子做变形：利用平方差公式可得
$n^2 +1 = n^2 -1 + 2 = (n+1)(n-1) + 2$
2. 分析分子分母的公因数：
若正整数d同时整除$n+1$和$n^2+1$，则d一定整除$n^2+1$与$(n-1)(n+1)$的差，即：
$d ∣ [n^2+1 - (n+1)(n-1)] = 2$
因此d只能取1或2。
3. 确定最简分数的条件：
要使分数为最简分数，需最大公因数$d=1$，即d不能为2，也就是2不能同时整除$n+1$和$n^2+1$。
当n为奇数时，$n+1$是偶数，$n^2$为奇数，$n^2+1$也是偶数，此时2同时整除分子分母，$d=2$，分数不是最简；
当n为偶数时，$n+1$是奇数，2不整除$n+1$，此时$d=1$，分数是最简。
4. 统计符合条件的n的个数：
1~2026中共有偶数$2026 ÷ 2 = 1013$个。
【答案】
1013
【知识点】
最简分数定义；平方差公式；公因数性质
【点评】
本题将整式变形和数的整除性质结合考查，解题的关键是通过因式分解简化分子分母公因数的判断，属于对基础知识灵活运用的考查。
【难度系数】
0.6
要判断$\frac{n^2 +1}{n+1}$是最简分数，需满足分子$n^2+1$和分母$n+1$的最大公因数为1。我们可以先用平方差公式对分子变形，将其拆分为含因式$(n+1)$的式子，再根据公因数的性质推导分子、分母的最大公因数的可能取值，进而得到满足条件的n的特征，最后统计1~2026中符合要求的n的数量即可。
【解析】
1. 对分子做变形：利用平方差公式可得
$n^2 +1 = n^2 -1 + 2 = (n+1)(n-1) + 2$
2. 分析分子分母的公因数：
若正整数d同时整除$n+1$和$n^2+1$，则d一定整除$n^2+1$与$(n-1)(n+1)$的差，即：
$d ∣ [n^2+1 - (n+1)(n-1)] = 2$
因此d只能取1或2。
3. 确定最简分数的条件：
要使分数为最简分数，需最大公因数$d=1$，即d不能为2，也就是2不能同时整除$n+1$和$n^2+1$。
当n为奇数时，$n+1$是偶数，$n^2$为奇数，$n^2+1$也是偶数，此时2同时整除分子分母，$d=2$，分数不是最简；
当n为偶数时，$n+1$是奇数，2不整除$n+1$，此时$d=1$，分数是最简。
4. 统计符合条件的n的个数：
1~2026中共有偶数$2026 ÷ 2 = 1013$个。
【答案】
1013
【知识点】
最简分数定义；平方差公式；公因数性质
【点评】
本题将整式变形和数的整除性质结合考查，解题的关键是通过因式分解简化分子分母公因数的判断，属于对基础知识灵活运用的考查。
【难度系数】
0.6
11.计算：
(1) $4a^2b ÷ (-\dfrac{a}{2b})^2 · (-\dfrac{b}{8a})$；
(2) $(\dfrac{a^2b}{-c})^3 · (\dfrac{c^2}{-ab})^2 ÷ (\dfrac{bc}{a})^4$；
(3) $(\dfrac{x^2 - y^2}{xy})^2 ÷ (x + y) · (\dfrac{x}{x - y})^3$。
(1) $4a^2b ÷ (-\dfrac{a}{2b})^2 · (-\dfrac{b}{8a})$；
(2) $(\dfrac{a^2b}{-c})^3 · (\dfrac{c^2}{-ab})^2 ÷ (\dfrac{bc}{a})^4$；
(3) $(\dfrac{x^2 - y^2}{xy})^2 ÷ (x + y) · (\dfrac{x}{x - y})^3$。
答案
(1)$-\dfrac{2b^4}{a}$
(2)$-\dfrac{a^8}{b^3 c^3}$
(3)$\dfrac{x^2 + xy}{xy^2 - y^3}$
(2)$-\dfrac{a^8}{b^3 c^3}$
(3)$\dfrac{x^2 + xy}{xy^2 - y^3}$
解析
【分析】
分式乘除混合运算的解题思路为：① 先算乘方，运算时分子、分母分别乘方，注意系数和符号的处理；② 将所有除法转化为乘法，统一为乘法运算；③ 判断整体符号（负因式个数为奇数时结果为负，偶数时结果为正）；④ 对分子分母的因式约分，有多项式的先因式分解再约分，最终化简为最简分式。
【解析】
(1) 第一步先计算乘方：$(-\dfrac{a}{2b})^2=\dfrac{a^2}{4b^2}$，原式转化为：
$4a^2b ÷ \dfrac{a^2}{4b^2} · (-\dfrac{b}{8a})$
第二步将除法转为乘法：$4a^2b · \dfrac{4b^2}{a^2} · (-\dfrac{b}{8a})$
第三步确定符号为负，再约分计算：
$-(4×4×\dfrac{1}{8})·\dfrac{a^2b·b^2·b}{a^2·a}=-\dfrac{2b^4}{a}$
(2) 第一步分别计算各乘方：
$(\dfrac{a^2b}{-c})^3=-\dfrac{a^6b^3}{c^3}$，$(\dfrac{c^2}{-ab})^2=\dfrac{c^4}{a^2b^2}$，$(\dfrac{bc}{a})^4=\dfrac{b^4c^4}{a^4}$
原式转化为：$-\dfrac{a^6b^3}{c^3} · \dfrac{c^4}{a^2b^2} ÷ \dfrac{b^4c^4}{a^4}$
第二步将除法转为乘法：$-\dfrac{a^6b^3}{c^3} · \dfrac{c^4}{a^2b^2} · \dfrac{a^4}{b^4c^4}$
第三步约分计算：
$-\dfrac{a^6·a^4·b^3·c^4}{a^2·b^2·b^4·c^3·c^4}=-\dfrac{a^8}{b^3c^3}$
(3) 第一步先因式分解再算乘方：
$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，则$(\dfrac{x^2-y^2}{xy})^2=\dfrac{(x+y)^2(x-y)^2}{x^2y^2}$，$(\dfrac{x}{x-y})^3=\dfrac{x^3}{(x-y)^3}$
原式转化为：$\dfrac{(x+y)^2(x-y)^2}{x^2y^2} ÷ (x+y) · \dfrac{x^3}{(x-y)^3}$
第二步将除法转为乘法：$\dfrac{(x+y)^2(x-y)^2}{x^2y^2} · \dfrac{1}{x+y} · \dfrac{x^3}{(x-y)^3}$
第三步约分计算：
$\dfrac{(x+y)·x}{y^2(x-y)}=\dfrac{x(x+y)}{y^2(x-y)}=\dfrac{x^2+xy}{xy^2-y^3}$
【答案】
(1)$-\dfrac{2b^4}{a}$
(2)$-\dfrac{a^8}{b^3 c^3}$
(3)$\dfrac{x^2 + xy}{xy^2 - y^3}$
【知识点】
分式乘方运算、分式乘除运算、因式分解应用
【点评】
本题考察分式混合运算能力，解题的关键是严格遵循运算顺序，重视符号判断和因式分解的应用，约分过程能大幅简化计算，减少出错概率。
【难度系数】
0.65
分式乘除混合运算的解题思路为：① 先算乘方，运算时分子、分母分别乘方，注意系数和符号的处理；② 将所有除法转化为乘法，统一为乘法运算；③ 判断整体符号（负因式个数为奇数时结果为负，偶数时结果为正）；④ 对分子分母的因式约分，有多项式的先因式分解再约分，最终化简为最简分式。
【解析】
(1) 第一步先计算乘方：$(-\dfrac{a}{2b})^2=\dfrac{a^2}{4b^2}$，原式转化为：
$4a^2b ÷ \dfrac{a^2}{4b^2} · (-\dfrac{b}{8a})$
第二步将除法转为乘法：$4a^2b · \dfrac{4b^2}{a^2} · (-\dfrac{b}{8a})$
第三步确定符号为负，再约分计算：
$-(4×4×\dfrac{1}{8})·\dfrac{a^2b·b^2·b}{a^2·a}=-\dfrac{2b^4}{a}$
(2) 第一步分别计算各乘方：
$(\dfrac{a^2b}{-c})^3=-\dfrac{a^6b^3}{c^3}$，$(\dfrac{c^2}{-ab})^2=\dfrac{c^4}{a^2b^2}$，$(\dfrac{bc}{a})^4=\dfrac{b^4c^4}{a^4}$
原式转化为：$-\dfrac{a^6b^3}{c^3} · \dfrac{c^4}{a^2b^2} ÷ \dfrac{b^4c^4}{a^4}$
第二步将除法转为乘法：$-\dfrac{a^6b^3}{c^3} · \dfrac{c^4}{a^2b^2} · \dfrac{a^4}{b^4c^4}$
第三步约分计算：
$-\dfrac{a^6·a^4·b^3·c^4}{a^2·b^2·b^4·c^3·c^4}=-\dfrac{a^8}{b^3c^3}$
(3) 第一步先因式分解再算乘方：
$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，则$(\dfrac{x^2-y^2}{xy})^2=\dfrac{(x+y)^2(x-y)^2}{x^2y^2}$，$(\dfrac{x}{x-y})^3=\dfrac{x^3}{(x-y)^3}$
原式转化为：$\dfrac{(x+y)^2(x-y)^2}{x^2y^2} ÷ (x+y) · \dfrac{x^3}{(x-y)^3}$
第二步将除法转为乘法：$\dfrac{(x+y)^2(x-y)^2}{x^2y^2} · \dfrac{1}{x+y} · \dfrac{x^3}{(x-y)^3}$
第三步约分计算：
$\dfrac{(x+y)·x}{y^2(x-y)}=\dfrac{x(x+y)}{y^2(x-y)}=\dfrac{x^2+xy}{xy^2-y^3}$
【答案】
(1)$-\dfrac{2b^4}{a}$
(2)$-\dfrac{a^8}{b^3 c^3}$
(3)$\dfrac{x^2 + xy}{xy^2 - y^3}$
【知识点】
分式乘方运算、分式乘除运算、因式分解应用
【点评】
本题考察分式混合运算能力，解题的关键是严格遵循运算顺序，重视符号判断和因式分解的应用，约分过程能大幅简化计算，减少出错概率。
【难度系数】
0.65
12.先化简,再求值:$\dfrac{16 - a^2}{a^2 + 8a + 16} ÷ \dfrac{a - 4}{2a + 8} · \dfrac{a - 2}{a + 2}$,其中$a=3$.
答案
$-\dfrac{2(a-2)}{a+2}, -\dfrac{2}{5}$
解析
【分析】
这是一道分式化简求值题，解题思路清晰：第一步先根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算，统一为分式连乘的形式；第二步对每个分子、分母中的多项式进行因式分解（用到提公因式、完全平方公式、平方差公式），再通过交叉约分化为最简分式；第三步将a=3代入最简分式计算结果，代入前需确认a的取值能使原分式所有分母不为0，本题a=3符合要求。
【解析】
解：先对原式化简：
$\begin{aligned}$原式$&=\frac{16-a^2}{a^2+8a+16} ÷ \frac{a-4}{2a+8} · \frac{a-2}{a+2}\\&=\frac{-(a^2-16)}{(a+4)^2} · \frac{2(a+4)}{a-4} · \frac{a-2}{a+2}\\&=\frac{-(a-4)(a+4)}{(a+4)^2} · \frac{2(a+4)}{a-4} · \frac{a-2}{a+2}\\&=-\frac{2(a-2)}{a+2}\end{aligned}$
再代入a=3求值：
当a=3时，原式$=-\frac{2×(3-2)}{3+2}=-\frac{2×1}{5}=-\frac{2}{5}$
【答案】
化简结果为$\boldsymbol{-\dfrac{2(a-2)}{a+2}}$，求值结果为$\boldsymbol{-\dfrac{2}{5}}$
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、分式化简求值
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题核心是先将除法转化为乘法再计算，易错点是分解$16-a^2$时容易忽略负号，约分时要找准公因式，避免符号错误或约分遗漏。
【难度系数】
0.7
这是一道分式化简求值题，解题思路清晰：第一步先根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算，统一为分式连乘的形式；第二步对每个分子、分母中的多项式进行因式分解（用到提公因式、完全平方公式、平方差公式），再通过交叉约分化为最简分式；第三步将a=3代入最简分式计算结果，代入前需确认a的取值能使原分式所有分母不为0，本题a=3符合要求。
【解析】
解：先对原式化简：
$\begin{aligned}$原式$&=\frac{16-a^2}{a^2+8a+16} ÷ \frac{a-4}{2a+8} · \frac{a-2}{a+2}\\&=\frac{-(a^2-16)}{(a+4)^2} · \frac{2(a+4)}{a-4} · \frac{a-2}{a+2}\\&=\frac{-(a-4)(a+4)}{(a+4)^2} · \frac{2(a+4)}{a-4} · \frac{a-2}{a+2}\\&=-\frac{2(a-2)}{a+2}\end{aligned}$
再代入a=3求值：
当a=3时，原式$=-\frac{2×(3-2)}{3+2}=-\frac{2×1}{5}=-\frac{2}{5}$
【答案】
化简结果为$\boldsymbol{-\dfrac{2(a-2)}{a+2}}$，求值结果为$\boldsymbol{-\dfrac{2}{5}}$
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、分式化简求值
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题核心是先将除法转化为乘法再计算，易错点是分解$16-a^2$时容易忽略负号，约分时要找准公因式，避免符号错误或约分遗漏。
【难度系数】
0.7
