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9.已知实数$a$满足$a^2 + 4a + 1 = 0$，则$a - \frac{2}{a+1} =$
$-3$
.答案
9.$-3$
解析
【分析】
本题是代数式化简求值题，解题思路如下：第一步先对所求的异分母分式减法进行通分，将其转化为同分母分式运算，得到分子含$a^2$的代数式；第二步利用已知的$a$满足的方程，将$a^2$用含$a$的一次式整体代入分子，实现降次；第三步化简分子后约分即可得到结果，注意要先判断分母不为0，保证分式有意义。
【解析】
首先对所求式子通分计算：
$a - \frac{2}{a+1} = \frac{a(a+1)}{a+1} - \frac{2}{a+1} = \frac{a(a+1) - 2}{a+1}$
展开分子得：$\frac{a^2 + a - 2}{a+1}$
已知$a^2 + 4a + 1 = 0$，变形可得$a^2 = -4a -1$，将其代入分子：
分子$= (-4a -1) + a - 2 = -3a - 3 = -3(a+1)$
把$a=-1$代入$a^2+4a+1$得$1-4+1=-2≠0$，因此$a+1≠0$，可以约分：
原式$= \frac{-3(a+1)}{a+1} = -3$
【答案】
$-3$
【知识点】
分式的加减运算，代数式化简求值，整体代入法
【点评】
本题不需要求解$a$的具体数值，通过整体代入降次的方法简化计算，考察了分式运算的基本功和灵活处理已知条件的能力，解题时要注意先验证分母不为0，保证约分的合法性。
【难度系数】
0.7
本题是代数式化简求值题，解题思路如下：第一步先对所求的异分母分式减法进行通分，将其转化为同分母分式运算，得到分子含$a^2$的代数式；第二步利用已知的$a$满足的方程，将$a^2$用含$a$的一次式整体代入分子，实现降次；第三步化简分子后约分即可得到结果，注意要先判断分母不为0，保证分式有意义。
【解析】
首先对所求式子通分计算：
$a - \frac{2}{a+1} = \frac{a(a+1)}{a+1} - \frac{2}{a+1} = \frac{a(a+1) - 2}{a+1}$
展开分子得：$\frac{a^2 + a - 2}{a+1}$
已知$a^2 + 4a + 1 = 0$，变形可得$a^2 = -4a -1$，将其代入分子：
分子$= (-4a -1) + a - 2 = -3a - 3 = -3(a+1)$
把$a=-1$代入$a^2+4a+1$得$1-4+1=-2≠0$，因此$a+1≠0$，可以约分：
原式$= \frac{-3(a+1)}{a+1} = -3$
【答案】
$-3$
【知识点】
分式的加减运算，代数式化简求值，整体代入法
【点评】
本题不需要求解$a$的具体数值，通过整体代入降次的方法简化计算，考察了分式运算的基本功和灵活处理已知条件的能力，解题时要注意先验证分母不为0，保证约分的合法性。
【难度系数】
0.7
10.计算:
(1)$(x+2)· \dfrac{2x}{x^2 -4} - \dfrac{4}{x-2}$；
(2)$(1 - \dfrac{1}{x-1}) ÷ \dfrac{x^2 -4x +4}{x^2 -1}$。
(1)$(x+2)· \dfrac{2x}{x^2 -4} - \dfrac{4}{x-2}$；
(2)$(1 - \dfrac{1}{x-1}) ÷ \dfrac{x^2 -4x +4}{x^2 -1}$。
答案
10.(1)2 (2)$\frac{x+1}{x-2}$
解析
【分析】
这两道题属于分式的混合运算题，解题思路如下：
（1）第一题首先观察到分母$x^2-4$符合平方差公式特征，先对其因式分解，再对第一项约分转化为同分母分式，最后按照同分母分式减法法则计算、约分即可得到结果；
（2）第二题遵循“先算括号内，再算乘除”的运算顺序：先将括号内的整数通分计算减法，再将除法转化为乘法，同时对除式的分子、分母分别用完全平方公式、平方差公式因式分解，最后约分得到最简结果。
【解析】
(1) 先利用平方差公式对分母因式分解：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(x+2)·\frac{2x}{(x+2)(x-2)} - \frac{4}{x-2}\\&=\frac{2x}{x-2} - \frac{4}{x-2}\\&=\frac{2x-4}{x-2}\\&=\frac{2(x-2)}{x-2}\\&=2\end{aligned}$
(2) 先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，同时对分子分母因式分解：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{x-1}{x-1}-\frac{1}{x-1}) ÷ \frac{(x-2)^2}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{x-2}{x-1} · \frac{(x+1)(x-1)}{(x-2)^2}\\&=\frac{x+1}{x-2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{\dfrac{x+1}{x-2}}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础常考题，解题核心是先对分子分母正确因式分解，严格遵循分式运算顺序计算，约分过程注意不要忽略原分式有意义的隐含条件。
【难度系数】
0.7
这两道题属于分式的混合运算题，解题思路如下：
（1）第一题首先观察到分母$x^2-4$符合平方差公式特征，先对其因式分解，再对第一项约分转化为同分母分式，最后按照同分母分式减法法则计算、约分即可得到结果；
（2）第二题遵循“先算括号内，再算乘除”的运算顺序：先将括号内的整数通分计算减法，再将除法转化为乘法，同时对除式的分子、分母分别用完全平方公式、平方差公式因式分解，最后约分得到最简结果。
【解析】
(1) 先利用平方差公式对分母因式分解：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(x+2)·\frac{2x}{(x+2)(x-2)} - \frac{4}{x-2}\\&=\frac{2x}{x-2} - \frac{4}{x-2}\\&=\frac{2x-4}{x-2}\\&=\frac{2(x-2)}{x-2}\\&=2\end{aligned}$
(2) 先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，同时对分子分母因式分解：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{x-1}{x-1}-\frac{1}{x-1}) ÷ \frac{(x-2)^2}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{x-2}{x-1} · \frac{(x+1)(x-1)}{(x-2)^2}\\&=\frac{x+1}{x-2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{\dfrac{x+1}{x-2}}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础常考题，解题核心是先对分子分母正确因式分解，严格遵循分式运算顺序计算，约分过程注意不要忽略原分式有意义的隐含条件。
【难度系数】
0.7
11.先化简,再求值:$(1-\dfrac{1}{m+1})÷\dfrac{m}{m^2+2m+1}$,并从$-1,0,1$中选一个合适的数代入求值.
答案
11.$m+1,2$
解析
【分析】
这是一道分式化简求值题，解题可按三步进行：第一步处理括号内的分式减法，把1转化为和括号内分式同分母的形式，通分后计算差；第二步将分式除法转化为乘法，同时对多项式$m^2+2m+1$用完全平方公式因式分解，再约分得到最简结果；第三步选代入数值时，先根据分式有意义的条件（分母不为0、除数不为0）排除不符合要求的数，再代入最简式计算结果。
【解析】
解：先化简式子：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{m+1}{m+1}-\frac{1}{m+1})÷\frac{m}{(m+1)^2}\\&=\frac{m+1-1}{m+1}×\frac{(m+1)^2}{m}\\&=\frac{m}{m+1}×\frac{(m+1)^2}{m}\\&=m+1\end{aligned}$
要使原式有意义，需满足分母和除数不为0，即$m+1≠0$且$m≠0$，因此$m$不能取-1和0，只能选$m=1$代入。
当$m=1$时，原式$=1+1=2$。
【答案】
化简结果为$m+1$，代入求值结果为2
【知识点】
分式混合运算，分式有意义的条件，完全平方公式
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，化简时要遵循运算顺序，先算括号内的运算，除法转乘法后再约分，选值时要保证原式所有分式都有意义，不能仅看化简后的式子判断取值范围。
【难度系数】
0.7
这是一道分式化简求值题，解题可按三步进行：第一步处理括号内的分式减法，把1转化为和括号内分式同分母的形式，通分后计算差；第二步将分式除法转化为乘法，同时对多项式$m^2+2m+1$用完全平方公式因式分解，再约分得到最简结果；第三步选代入数值时，先根据分式有意义的条件（分母不为0、除数不为0）排除不符合要求的数，再代入最简式计算结果。
【解析】
解：先化简式子：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{m+1}{m+1}-\frac{1}{m+1})÷\frac{m}{(m+1)^2}\\&=\frac{m+1-1}{m+1}×\frac{(m+1)^2}{m}\\&=\frac{m}{m+1}×\frac{(m+1)^2}{m}\\&=m+1\end{aligned}$
要使原式有意义，需满足分母和除数不为0，即$m+1≠0$且$m≠0$，因此$m$不能取-1和0，只能选$m=1$代入。
当$m=1$时，原式$=1+1=2$。
【答案】
化简结果为$m+1$，代入求值结果为2
【知识点】
分式混合运算，分式有意义的条件，完全平方公式
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，化简时要遵循运算顺序，先算括号内的运算，除法转乘法后再约分，选值时要保证原式所有分式都有意义，不能仅看化简后的式子判断取值范围。
【难度系数】
0.7
12.已知$M=\frac{x+2}{2},N=\frac{4x}{x+2}.$
(1)当$x＞0$时，判断$M-N$与0的关系，并说明理由；
(2)设$y=\frac{16x}{M^2}+N^2$，若$x$是正整数，求$y$的正整数值。
(1)当$x＞0$时，判断$M-N$与0的关系，并说明理由；
(2)设$y=\frac{16x}{M^2}+N^2$，若$x$是正整数，求$y$的正整数值。
答案
12.(1)当$x＞0$时,$M-N≥0$ (2)若$x$是正整数,则$y$的正整数值是12或15
解析
【分析】
(1)要判断M-N与0的大小关系，可先将M、N代入M-N的表达式，通过通分、因式分解将差式化简，再结合x＞0的条件判断分式的符号即可；(2)先将M、N代入y的表达式，通过分式的四则运算化简y，再根据x、y均为正整数的限制条件，分析分母的取值，进而求出符合条件的y的正整数值。
【解析】
(1) $M-N≥0$，理由如下：
将$M=\frac{x+2}{2},N=\frac{4x}{x+2}$代入$M-N$得：
$M-N=\frac{x+2}{2}-\frac{4x}{x+2}$
通分，取公分母为$2(x+2)$：
$=\frac{(x+2)^2}{2(x+2)}-\frac{8x}{2(x+2)}$
$=\frac{(x+2)^2-8x}{2(x+2)}$
展开并化简分子：
$(x+2)^2-8x=x^2+4x+4-8x=x^2-4x+4=(x-2)^2$
因此$M-N=\frac{(x-2)^2}{2(x+2)}$
因为$x＞0$，所以分母$2(x+2)＞0$，又因为平方数非负，即$(x-2)^2≥0$，故$\frac{(x-2)^2}{2(x+2)}≥0$，即$M-N≥0$（当$x=2$时取等号）。
(2) 先化简$y=\frac{16x}{M^2}+N^2$：
将$M=\frac{x+2}{2}$代入得$M^2=\frac{(x+2)^2}{4}$，因此$\frac{16x}{M^2}=16x÷\frac{(x+2)^2}{4}=\frac{64x}{(x+2)^2}$；
将$N=\frac{4x}{x+2}$代入得$N^2=\frac{16x^2}{(x+2)^2}$；
因此$y=\frac{64x}{(x+2)^2}+\frac{16x^2}{(x+2)^2}=\frac{16x^2+64x}{(x+2)^2}$。
对分子变形：$16x^2+64x=16(x^2+4x)=16[(x+2)^2-4]$，代入得：
$y=\frac{16[(x+2)^2-4]}{(x+2)^2}=16-\frac{64}{(x+2)^2}$。
因为x是正整数，y是正整数，所以$\frac{64}{(x+2)^2}$必须是小于16的正整数，即$(x+2)^2$是64的正因数，且为完全平方数。
x为正整数时$x+2≥3$，符合条件的$(x+2)^2$取值为16和64：
①当$(x+2)^2=16$时，$x+2=4$，得$x=2$，此时$y=16-\frac{64}{16}=12$；
②当$(x+2)^2=64$时，$x+2=8$，得$x=6$，此时$y=16-\frac{64}{64}=15$。
【答案】
(1)当$x＞0$时,$M-N≥0$；(2)y的正整数值是12或15
【知识点】
分式的运算、完全平方公式、分式化简求值
【点评】
本题将分式运算与整数性质结合考查，核心是先通过通分、因式分解完成分式化简，再结合取值限制筛选符合条件的结果，运算时需注意分母不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.6
(1)要判断M-N与0的大小关系，可先将M、N代入M-N的表达式，通过通分、因式分解将差式化简，再结合x＞0的条件判断分式的符号即可；(2)先将M、N代入y的表达式，通过分式的四则运算化简y，再根据x、y均为正整数的限制条件，分析分母的取值，进而求出符合条件的y的正整数值。
【解析】
(1) $M-N≥0$，理由如下：
将$M=\frac{x+2}{2},N=\frac{4x}{x+2}$代入$M-N$得：
$M-N=\frac{x+2}{2}-\frac{4x}{x+2}$
通分，取公分母为$2(x+2)$：
$=\frac{(x+2)^2}{2(x+2)}-\frac{8x}{2(x+2)}$
$=\frac{(x+2)^2-8x}{2(x+2)}$
展开并化简分子：
$(x+2)^2-8x=x^2+4x+4-8x=x^2-4x+4=(x-2)^2$
因此$M-N=\frac{(x-2)^2}{2(x+2)}$
因为$x＞0$，所以分母$2(x+2)＞0$，又因为平方数非负，即$(x-2)^2≥0$，故$\frac{(x-2)^2}{2(x+2)}≥0$，即$M-N≥0$（当$x=2$时取等号）。
(2) 先化简$y=\frac{16x}{M^2}+N^2$：
将$M=\frac{x+2}{2}$代入得$M^2=\frac{(x+2)^2}{4}$，因此$\frac{16x}{M^2}=16x÷\frac{(x+2)^2}{4}=\frac{64x}{(x+2)^2}$；
将$N=\frac{4x}{x+2}$代入得$N^2=\frac{16x^2}{(x+2)^2}$；
因此$y=\frac{64x}{(x+2)^2}+\frac{16x^2}{(x+2)^2}=\frac{16x^2+64x}{(x+2)^2}$。
对分子变形：$16x^2+64x=16(x^2+4x)=16[(x+2)^2-4]$，代入得：
$y=\frac{16[(x+2)^2-4]}{(x+2)^2}=16-\frac{64}{(x+2)^2}$。
因为x是正整数，y是正整数，所以$\frac{64}{(x+2)^2}$必须是小于16的正整数，即$(x+2)^2$是64的正因数，且为完全平方数。
x为正整数时$x+2≥3$，符合条件的$(x+2)^2$取值为16和64：
①当$(x+2)^2=16$时，$x+2=4$，得$x=2$，此时$y=16-\frac{64}{16}=12$；
②当$(x+2)^2=64$时，$x+2=8$，得$x=6$，此时$y=16-\frac{64}{64}=15$。
【答案】
(1)当$x＞0$时,$M-N≥0$；(2)y的正整数值是12或15
【知识点】
分式的运算、完全平方公式、分式化简求值
【点评】
本题将分式运算与整数性质结合考查，核心是先通过通分、因式分解完成分式化简，再结合取值限制筛选符合条件的结果，运算时需注意分母不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.6
