登录
1. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币,则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{4}$
A
）A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{4}$
答案
1.A
解析
【分析】
这是一道两步试验的概率计算问题，解题思路如下：首先明确先后两次抛硬币是互不影响的独立试验，每次抛硬币都有正面向上、反面向上2种等可能的结果；接着用列举法列出两次抛掷所有等可能的结果，统计总结果数；最后找出“第一次正面向上、第二次反面向上”的结果数，根据古典概型“概率=所求情况数÷总情况数”的公式计算即可。
【解析】
先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，所有等可能的结果有：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），共4种。
其中满足“第一次正面向上、第二次反面向上”的结果只有1种。
根据概率公式，所求概率为$P=\frac{1}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
列举法求概率；古典概型；概率计算
【点评】
本题属于概率计算的基础题型，主要考查两步试验的概率求解，核心是要准确列举出所有等可能的结果，避免漏算或重复计算。
【难度系数】
0.8
这是一道两步试验的概率计算问题，解题思路如下：首先明确先后两次抛硬币是互不影响的独立试验，每次抛硬币都有正面向上、反面向上2种等可能的结果；接着用列举法列出两次抛掷所有等可能的结果，统计总结果数；最后找出“第一次正面向上、第二次反面向上”的结果数，根据古典概型“概率=所求情况数÷总情况数”的公式计算即可。
【解析】
先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，所有等可能的结果有：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），共4种。
其中满足“第一次正面向上、第二次反面向上”的结果只有1种。
根据概率公式，所求概率为$P=\frac{1}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
列举法求概率；古典概型；概率计算
【点评】
本题属于概率计算的基础题型，主要考查两步试验的概率求解，核心是要准确列举出所有等可能的结果，避免漏算或重复计算。
【难度系数】
0.8
2. 某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{12}$
C
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{12}$
答案
2.C
解析
【分析】
本题考查古典概型的概率计算，解题思路如下：首先明确这是从4个项目中无序选取2个的等可能事件，第一步我们可以通过列举法算出所有等可能的总情况数；第二步找出符合“选择100米和400米两个项目”的情况数；最后代入概率公式“概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数”计算即可得到结果。
【解析】
我们将四个项目分别标记为：A（跳高）、B（跳远）、C（100米）、D（400米）。从四个项目中随机选择两项，不考虑选择顺序，所有等可能的结果有：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种。其中恰好选中“100米（C）”和“400米（D）”的结果只有1种。根据概率计算公式，所求概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 古典概型概率计算 2. 列举法计数
【点评】
本题是概率基础应用题，重点考查对无序选取事件的计数能力，解题时要注意避免将不同顺序的同一组选项重复计数，熟练掌握概率公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题考查古典概型的概率计算，解题思路如下：首先明确这是从4个项目中无序选取2个的等可能事件，第一步我们可以通过列举法算出所有等可能的总情况数；第二步找出符合“选择100米和400米两个项目”的情况数；最后代入概率公式“概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数”计算即可得到结果。
【解析】
我们将四个项目分别标记为：A（跳高）、B（跳远）、C（100米）、D（400米）。从四个项目中随机选择两项，不考虑选择顺序，所有等可能的结果有：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种。其中恰好选中“100米（C）”和“400米（D）”的结果只有1种。根据概率计算公式，所求概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 古典概型概率计算 2. 列举法计数
【点评】
本题是概率基础应用题，重点考查对无序选取事件的计数能力，解题时要注意避免将不同顺序的同一组选项重复计数，熟练掌握概率公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3.小丽准备通过爱心热线捐款，她只记得号码的前5位，并且知道号码的后3位是由5，2，1这三个数字组成的，但具体顺序忘了，她第一次就拨对电话的概率是
$\frac{1}{6}$
。答案
3.$\frac{1}{6}$
解析
【分析】
本题是等可能事件的概率计算问题，解题思路很明确：首先要找出后三位由5、2、1三个数字组成的所有等可能的排列结果总数，再明确拨对号码的结果只有1种，最后根据概率公式“事件发生的概率=所求事件的结果数÷所有等可能的结果总数”计算即可。
【解析】
解：已知号码后三位由5、2、1三个不同数字组成，枚举所有可能的排列情况为：125、152、215、251、512、521，共6种等可能的结果。
其中正确的号码只有1种，根据概率公式可得：
$P(\mathrm{第一次拨对})=\frac{\mathrm{拨对的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{1}{6}$
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
等可能事件概率计算，简单数字排列，概率公式
【点评】
本题属于概率基础题，解题的关键是不重不漏地列出所有排列结果，主要考查学生的逻辑严谨性和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
本题是等可能事件的概率计算问题，解题思路很明确：首先要找出后三位由5、2、1三个数字组成的所有等可能的排列结果总数，再明确拨对号码的结果只有1种，最后根据概率公式“事件发生的概率=所求事件的结果数÷所有等可能的结果总数”计算即可。
【解析】
解：已知号码后三位由5、2、1三个不同数字组成，枚举所有可能的排列情况为：125、152、215、251、512、521，共6种等可能的结果。
其中正确的号码只有1种，根据概率公式可得：
$P(\mathrm{第一次拨对})=\frac{\mathrm{拨对的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{1}{6}$
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
等可能事件概率计算，简单数字排列，概率公式
【点评】
本题属于概率基础题，解题的关键是不重不漏地列出所有排列结果，主要考查学生的逻辑严谨性和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
4.甲、乙、丙三名同学站成一排拍合影照留念.
（1）请按从左向右的顺序列出所有可能站位的结果；
（2）求出甲同学站在中间位置的概率.
（1）请按从左向右的顺序列出所有可能站位的结果；
（2）求出甲同学站在中间位置的概率.
答案
4. (1)甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲；
(2)$P(甲同学站在中间)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
(2)$P(甲同学站在中间)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
解析
【分析】
（1）要列出三人从左到右的所有站位结果，可采用固定首位法有序枚举：依次固定左起第一位的人员，再排列剩余两位的位置，即可做到不重复、不遗漏地列出所有情况。
（2）求甲站在中间的概率属于等可能事件概率计算，先从第一问的所有结果中找出甲在中间的结果数，再根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
【解析】
解：（1）按从左向右的顺序，固定左起第一位分别为甲、乙、丙枚举所有结果：
① 左起第一位为甲时：甲乙丙，甲丙乙；
② 左起第一位为乙时：乙甲丙，乙丙甲；
③ 左起第一位为丙时：丙甲乙，丙乙甲。
因此所有可能站位共6种。
（2）由（1）可知，总共有6种等可能的站位结果，其中甲站在中间位置的结果有乙甲丙、丙甲乙，共2种。
根据概率公式计算：
$P(甲同学站在中间)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
【答案】
（1）甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲；
（2）$\frac{1}{3}$
【知识点】
枚举法，概率公式
【点评】
本题为概率基础题型，解题核心是掌握有序枚举的方法，避免结果重复或遗漏，结合概率公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
（1）要列出三人从左到右的所有站位结果，可采用固定首位法有序枚举：依次固定左起第一位的人员，再排列剩余两位的位置，即可做到不重复、不遗漏地列出所有情况。
（2）求甲站在中间的概率属于等可能事件概率计算，先从第一问的所有结果中找出甲在中间的结果数，再根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
【解析】
解：（1）按从左向右的顺序，固定左起第一位分别为甲、乙、丙枚举所有结果：
① 左起第一位为甲时：甲乙丙，甲丙乙；
② 左起第一位为乙时：乙甲丙，乙丙甲；
③ 左起第一位为丙时：丙甲乙，丙乙甲。
因此所有可能站位共6种。
（2）由（1）可知，总共有6种等可能的站位结果，其中甲站在中间位置的结果有乙甲丙、丙甲乙，共2种。
根据概率公式计算：
$P(甲同学站在中间)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
【答案】
（1）甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲；
（2）$\frac{1}{3}$
【知识点】
枚举法，概率公式
【点评】
本题为概率基础题型，解题核心是掌握有序枚举的方法，避免结果重复或遗漏，结合概率公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5.在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（
A.频率就是概率
B.频率与试验次数无关
C.概率是随机的，与频率无关
D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D
）A.频率就是概率
B.频率与试验次数无关
C.概率是随机的，与频率无关
D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
答案
5.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确频率和概率的核心概念及二者的关系，再逐一判断每个选项的正误：①概率是随机事件本身固有的稳定属性，是固定不变的；②频率是某次试验中，事件发生次数与总试验次数的比值，会随试验次数变化；③大量重复试验时，频率会逐渐稳定在概率附近，可通过频率估计概率，结合这三点逐个辨析选项即可。
【解析】
结合频率、概率的定义和性质逐一分析选项：
A. 频率是试验得到的统计值，概率是事件固有的固定值，二者不能等同，该选项错误；
B. 频率是事件发生次数与试验总次数的比值，和试验次数直接相关，该选项错误；
C. 概率是固定不变的，不属于随机值，且大量重复试验的频率可用来估计概率，二者并非无关，该选项错误；
D. 根据频率的稳定性规律，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
频率与概率的关系；频率的稳定性
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对频率、概率概念的区分以及二者关联的理解，是概率模块的常见基础考点，准确掌握概念即可正确作答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确频率和概率的核心概念及二者的关系，再逐一判断每个选项的正误：①概率是随机事件本身固有的稳定属性，是固定不变的；②频率是某次试验中，事件发生次数与总试验次数的比值，会随试验次数变化；③大量重复试验时，频率会逐渐稳定在概率附近，可通过频率估计概率，结合这三点逐个辨析选项即可。
【解析】
结合频率、概率的定义和性质逐一分析选项：
A. 频率是试验得到的统计值，概率是事件固有的固定值，二者不能等同，该选项错误；
B. 频率是事件发生次数与试验总次数的比值，和试验次数直接相关，该选项错误；
C. 概率是固定不变的，不属于随机值，且大量重复试验的频率可用来估计概率，二者并非无关，该选项错误；
D. 根据频率的稳定性规律，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
频率与概率的关系；频率的稳定性
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对频率、概率概念的区分以及二者关联的理解，是概率模块的常见基础考点，准确掌握概念即可正确作答。
【难度系数】
0.8
6.(贵州省中考)某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如下表：
则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为
（
A.0.52
B.0.55
C.0.58
D.0.63
则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为
（
B
）A.0.52
B.0.55
C.0.58
D.0.63
答案
6.B
解析
【分析】
本题可根据频率估计概率的相关知识求解。解题思路如下：首先明确大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定，这个稳定的频率值就可以作为该事件发生概率的估计值；接下来观察表格中抛掷次数逐渐增大时，“正面朝上”的频率的变化趋势，找到最终稳定的频率数值，即为所求的概率估计值。
【解析】
根据频率估计概率的原理：当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率。
观察表格数据可知，随着抛掷次数n从20逐渐增加到5000，“正面朝上”的频率从最初的0.60、0.63等逐渐波动，最终稳定在0.55附近，因此抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为0.55。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
频率估计概率；频率的稳定性
【点评】
本题是基础题，核心考查利用频率估计概率的应用，解题时要注意只有试验次数足够多时的稳定频率才能用来估计概率，不要被试验次数较少时的波动频率干扰。
【难度系数】
0.85
本题可根据频率估计概率的相关知识求解。解题思路如下：首先明确大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定，这个稳定的频率值就可以作为该事件发生概率的估计值；接下来观察表格中抛掷次数逐渐增大时，“正面朝上”的频率的变化趋势，找到最终稳定的频率数值，即为所求的概率估计值。
【解析】
根据频率估计概率的原理：当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率。
观察表格数据可知，随着抛掷次数n从20逐渐增加到5000，“正面朝上”的频率从最初的0.60、0.63等逐渐波动，最终稳定在0.55附近，因此抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为0.55。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
频率估计概率；频率的稳定性
【点评】
本题是基础题，核心考查利用频率估计概率的应用，解题时要注意只有试验次数足够多时的稳定频率才能用来估计概率，不要被试验次数较少时的波动频率干扰。
【难度系数】
0.85
7.某玩具公司承接了一种吉祥物公仔的生产任务,现对一批公仔进行抽检,其结果统计如下.
| 抽取的公仔数$n$ | 优等品的频数$m$ | 优等品的频率$\frac{m}{n}$ |
| --- | --- | --- |
| 10 | 9 | 0.9 |
| 100 | 96 | 0.96 |
| 1000 |
| $a$ |
| 2000 | 1900 | 0.95 |
| 3000 | 2856 | 0.952 |
| 5000 | 4750 | $b$ |
(1)$a=$
(2)从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是
(3)若该公司这一批次生产了10000只公仔,则这批公仔中优等品大约有多少只?
| 抽取的公仔数$n$ | 优等品的频数$m$ | 优等品的频率$\frac{m}{n}$ |
| --- | --- | --- |
| 10 | 9 | 0.9 |
| 100 | 96 | 0.96 |
| 1000 |
| $a$ || 2000 | 1900 | 0.95 |
| 3000 | 2856 | 0.952 |
| 5000 | 4750 | $b$ |
(1)$a=$
0.951
$,b=$0.95
.(2)从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是
0.95
.(结果精确到0.01)(3)若该公司这一批次生产了10000只公仔,则这批公仔中优等品大约有多少只?
答案
7. (1)0.951 0.95
(2)0.95
(3)解：$10000×0.95=9500$(只).答：这批公仔中优等品大约有9500只.
(2)0.95
(3)解：$10000×0.95=9500$(只).答：这批公仔中优等品大约有9500只.
解析
【分析】
本题围绕频率与概率的相关知识展开：(1)根据频率的计算公式“频率=频数÷抽取总数”，代入对应数据即可求出a、b的值；(2)根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是事件发生概率的估计值，观察表格中频率的变化趋势即可得到概率估计值；(3)用总生产数量乘以优等品的概率估计值，即可估算出优等品的总数量。
【解析】
(1) 根据频率公式$\frac{m}{n}$计算：
$a = 951÷1000 = 0.951$，$b = 4750÷5000 = 0.95$。
(2) 观察表格中的频率数据，随着抽取公仔的数量不断增大，优等品的频率逐渐稳定在0.95附近，因此任意抽取1只公仔是优等品的概率估计值为0.95。
(3) 用总数量乘以概率估计值计算优等品数量：
$10000×0.95 = 9500$（只）
答：这批公仔中优等品大约有9500只。
【答案】
(1)0.951；0.95
(2)0.95
(3)9500只
【知识点】
频率的计算，用频率估计概率，概率的实际应用
【点评】
本题属于基础题，考查对频率计算公式的掌握，以及对“大量重复试验时，频率的稳定值即为概率估计值”这一规律的理解，同时结合生产实际考查概率的简单应用，熟练掌握基础概念即可轻松解题。
【难度系数】
0.85
本题围绕频率与概率的相关知识展开：(1)根据频率的计算公式“频率=频数÷抽取总数”，代入对应数据即可求出a、b的值；(2)根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是事件发生概率的估计值，观察表格中频率的变化趋势即可得到概率估计值；(3)用总生产数量乘以优等品的概率估计值，即可估算出优等品的总数量。
【解析】
(1) 根据频率公式$\frac{m}{n}$计算：
$a = 951÷1000 = 0.951$，$b = 4750÷5000 = 0.95$。
(2) 观察表格中的频率数据，随着抽取公仔的数量不断增大，优等品的频率逐渐稳定在0.95附近，因此任意抽取1只公仔是优等品的概率估计值为0.95。
(3) 用总数量乘以概率估计值计算优等品数量：
$10000×0.95 = 9500$（只）
答：这批公仔中优等品大约有9500只。
【答案】
(1)0.951；0.95
(2)0.95
(3)9500只
【知识点】
频率的计算，用频率估计概率，概率的实际应用
【点评】
本题属于基础题，考查对频率计算公式的掌握，以及对“大量重复试验时，频率的稳定值即为概率估计值”这一规律的理解，同时结合生产实际考查概率的简单应用，熟练掌握基础概念即可轻松解题。
【难度系数】
0.85
