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8.一个不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中。通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，则袋中约有红球
12
个。答案
8.12
解析
【分析】
大量重复摸球试验中，事件发生的频率会稳定在其对应的概率附近，因此摸到白球的频率0.4可近似看作摸到白球的概率。我们可以先设红球的个数为x，根据概率公式“某事件的概率=该事件对应的情况数÷总情况数”列方程求解，即可得到红球的数量。
【解析】
设袋中红球有$x$个，则袋中球的总个数为$(8+x)$个。
根据大量重复试验中频率可估计概率的规律，可知摸到白球的概率约为0.4，结合概率公式列方程得：
$\frac{8}{8+x}=0.4$
解方程：
$8=0.4×(8+x)$
$8=3.2+0.4x$
$0.4x=8-3.2$
$0.4x=4.8$
$x=12$
经检验，$x=12$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
12
【知识点】
频率估计概率；概率公式应用
【点评】
本题是频率与概率结合的基础应用题，解题核心是利用频率估计概率得到白球的概率，再结合概率公式列方程求解，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
大量重复摸球试验中，事件发生的频率会稳定在其对应的概率附近，因此摸到白球的频率0.4可近似看作摸到白球的概率。我们可以先设红球的个数为x，根据概率公式“某事件的概率=该事件对应的情况数÷总情况数”列方程求解，即可得到红球的数量。
【解析】
设袋中红球有$x$个，则袋中球的总个数为$(8+x)$个。
根据大量重复试验中频率可估计概率的规律，可知摸到白球的概率约为0.4，结合概率公式列方程得：
$\frac{8}{8+x}=0.4$
解方程：
$8=0.4×(8+x)$
$8=3.2+0.4x$
$0.4x=8-3.2$
$0.4x=4.8$
$x=12$
经检验，$x=12$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
12
【知识点】
频率估计概率；概率公式应用
【点评】
本题是频率与概率结合的基础应用题，解题核心是利用频率估计概率得到白球的概率，再结合概率公式列方程求解，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
9.(扬州市中考)一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上.
(1)甲坐在①号座位的概率是
(2)用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率.
(1)甲坐在①号座位的概率是
$\frac{1}{3}$
；(2)用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率.
答案
9. (1)$\frac{1}{3}$
(2)解：画树状图如图：
共有6种等可能的结果，甲与乙恰好相邻而坐的结果有4种，$\therefore P(甲与乙相邻而坐)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
解析
【分析】
(1) 甲可选的座位有①、②、③共3种，每种选择的可能性相等，甲坐在①号座位的情况仅1种，直接根据等可能事件概率公式即可求解。
(2) 甲、乙两人从3个座位中选2个就坐属于不放回的有序选择，首先明确座位相邻关系：①与②相邻、②与③相邻、①与③不相邻；再通过画树状图列举所有等可能的结果，筛选出甲、乙相邻的结果数，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到对应概率。
【解析】
(1) 甲从①、②、③3个座位中随机选1个就坐，总共有3种等可能的结果，其中甲坐在①号座位的结果有1种，因此$P(甲坐在①号座位)=\frac{1}{3}$。
(2) 画树状图如下：
由树状图可得，共有6种等可能的结果，其中甲与乙相邻而坐的结果有4种，因此$P(甲与乙相邻而坐)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{3}$
(2)解：画树状图如图：
共有6种等可能的结果，甲与乙恰好相邻而坐的结果有4种，$\therefore P(甲与乙相邻而坐)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
【知识点】
简单概率计算，树状图法，概率公式
【点评】
本题是概率基础题型，解题核心是不重不漏地列举出所有等可能的事件结果，再结合题意筛选符合要求的结果代入概率公式计算即可，注意两人选座位是有序选择，避免漏算或重复计算结果。
【难度系数】
0.75
(1) 甲可选的座位有①、②、③共3种，每种选择的可能性相等，甲坐在①号座位的情况仅1种，直接根据等可能事件概率公式即可求解。
(2) 甲、乙两人从3个座位中选2个就坐属于不放回的有序选择，首先明确座位相邻关系：①与②相邻、②与③相邻、①与③不相邻；再通过画树状图列举所有等可能的结果，筛选出甲、乙相邻的结果数，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到对应概率。
【解析】
(1) 甲从①、②、③3个座位中随机选1个就坐，总共有3种等可能的结果，其中甲坐在①号座位的结果有1种，因此$P(甲坐在①号座位)=\frac{1}{3}$。
(2) 画树状图如下：
由树状图可得，共有6种等可能的结果，其中甲与乙相邻而坐的结果有4种，因此$P(甲与乙相邻而坐)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{3}$
(2)解：画树状图如图：
共有6种等可能的结果，甲与乙恰好相邻而坐的结果有4种，$\therefore P(甲与乙相邻而坐)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
【知识点】
简单概率计算，树状图法，概率公式
【点评】
本题是概率基础题型，解题核心是不重不漏地列举出所有等可能的事件结果，再结合题意筛选符合要求的结果代入概率公式计算即可，注意两人选座位是有序选择，避免漏算或重复计算结果。
【难度系数】
0.75
10.(核心素养·数据观念)数学活动课上，某兴趣小组为了探究频率与概率之间的关系，对某品种大豆幼苗光合作用速率进行了研究.该兴趣小组通过查询大量数据，统计了8000株该品种的大豆幼苗光合作用速率(单位:$μ mol· m^{-2}· s^{-1}$),结果如下($m,n$分别表示光合作用速率不低于$24μ mol· m^{-2}· s^{-1}$的大豆幼苗的频数和频率):
【特例感知】
(1)统计表中$a=$
【情境探究】
(2)从这批大豆幼苗中任意选择一株,其光合作用速率不低于$24μ mol· m^{-2}· s^{-1}$的概率是多少?
【问题解决】
(3)研究表明,该品种大豆幼苗光合作用速率不低于$24μ mol· m^{-2}· s^{-1}$时的结果率为$90\%$,则这8000株大豆幼苗中,约有多少株光合作用速率不低于$24μ mol· m^{-2}· s^{-1}$的幼苗能结果?
【特例感知】
(1)统计表中$a=$
0.62
,$b=$660
;【情境探究】
(2)从这批大豆幼苗中任意选择一株,其光合作用速率不低于$24μ mol· m^{-2}· s^{-1}$的概率是多少?
【问题解决】
(3)研究表明,该品种大豆幼苗光合作用速率不低于$24μ mol· m^{-2}· s^{-1}$时的结果率为$90\%$,则这8000株大豆幼苗中,约有多少株光合作用速率不低于$24μ mol· m^{-2}· s^{-1}$的幼苗能结果?
答案
10. (1)0.62，660(答案不唯一，在655～664范围内均可以)
(2)随着试验大豆幼苗数量的增加，光合作用速率不低于$24μ mol· m^{-2}· s^{-1}$的频率稳定在0.65附近，$\therefore$光合作用速率不低于$24μ mol· m^{-2}· s^{-1}$的概率约为0.65
(3)$8000×0.65×90\% =4680$(株)，$\therefore$这8000株大豆幼苗中，约有4680株光合作用速率不低于$24μ mol· m^{-2}· s^{-1}$的幼苗能结果.
(2)随着试验大豆幼苗数量的增加，光合作用速率不低于$24μ mol· m^{-2}· s^{-1}$的频率稳定在0.65附近，$\therefore$光合作用速率不低于$24μ mol· m^{-2}· s^{-1}$的概率约为0.65
(3)$8000×0.65×90\% =4680$(株)，$\therefore$这8000株大豆幼苗中，约有4680株光合作用速率不低于$24μ mol· m^{-2}· s^{-1}$的幼苗能结果.
解析
【分析】
(1) 求a、b可利用频率与频数的关系公式：频率=频数÷总数量，频数=总数量×频率。第一组总数量为50，对应频数是31，代入公式可求a；第四组总数量为1000，对应频率是0.66，代入公式可求b，误差允许范围内数值均合理。
(2) 求事件概率可依据频率估计概率的原理：当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在概率附近。观察表格中频率的变化趋势，随着大豆幼苗数量增加，频率稳定在0.65附近，即可得到对应概率。
(3) 求能结果的幼苗株数，先用总株数乘光合速率达标的概率，得到达标幼苗的数量，再乘结果率90%即可算出最终结果。
【解析】
(1) 根据频率计算公式$n=\frac{m}{\mathrm{大豆幼苗数量}}$：
$a = 31÷50 = 0.62$；
$b = 1000×0.66 = 660$（取值在655~664之间均正确）。
(2) 观察表格数据可知，随着试验的大豆幼苗数量不断增加，光合作用速率不低于$24μ mol· m^{-2}· s^{-1}$的频率逐渐稳定在0.65附近，因此该事件发生的概率约为0.65。
(3) 先计算8000株中光合速率达标的幼苗数量，再乘以结果率：
$8000×0.65×90\% = 5200×0.9 = 4680$（株）。
【答案】
(1) $0.62$，$660$（655~664范围内均可）
(2) $0.65$
(3) $4680$株
【知识点】
频率与频数计算，频率估计概率，概率实际应用
【点评】
本题结合实际研究场景考查频率与概率的相关知识，需要掌握频率和频数的换算方法，理解大量重复试验下频率与概率的关系，能运用概率解决实际计算问题，注重对数据处理能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 求a、b可利用频率与频数的关系公式：频率=频数÷总数量，频数=总数量×频率。第一组总数量为50，对应频数是31，代入公式可求a；第四组总数量为1000，对应频率是0.66，代入公式可求b，误差允许范围内数值均合理。
(2) 求事件概率可依据频率估计概率的原理：当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在概率附近。观察表格中频率的变化趋势，随着大豆幼苗数量增加，频率稳定在0.65附近，即可得到对应概率。
(3) 求能结果的幼苗株数，先用总株数乘光合速率达标的概率，得到达标幼苗的数量，再乘结果率90%即可算出最终结果。
【解析】
(1) 根据频率计算公式$n=\frac{m}{\mathrm{大豆幼苗数量}}$：
$a = 31÷50 = 0.62$；
$b = 1000×0.66 = 660$（取值在655~664之间均正确）。
(2) 观察表格数据可知，随着试验的大豆幼苗数量不断增加，光合作用速率不低于$24μ mol· m^{-2}· s^{-1}$的频率逐渐稳定在0.65附近，因此该事件发生的概率约为0.65。
(3) 先计算8000株中光合速率达标的幼苗数量，再乘以结果率：
$8000×0.65×90\% = 5200×0.9 = 4680$（株）。
【答案】
(1) $0.62$，$660$（655~664范围内均可）
(2) $0.65$
(3) $4680$株
【知识点】
频率与频数计算，频率估计概率，概率实际应用
【点评】
本题结合实际研究场景考查频率与概率的相关知识，需要掌握频率和频数的换算方法，理解大量重复试验下频率与概率的关系，能运用概率解决实际计算问题，注重对数据处理能力的考查。
【难度系数】
0.7
