登录
1. 下列方程中,是二元一次方程的是 （
A.$3x - 2y = 4z$
B.$6xy + 9 = 0$
C.$\frac{1}{x} + 4y = 6$
D.$4x = \frac{y - 2}{4}$
D
）A.$3x - 2y = 4z$
B.$6xy + 9 = 0$
C.$\frac{1}{x} + 4y = 6$
D.$4x = \frac{y - 2}{4}$
答案
1.D
解析
【分析】
解题的核心是紧扣二元一次方程的三个判定标准：①只含有2个未知数；②含有未知数的项的次数都为1；③是整式方程（分母不含未知数）。我们只需用这三个标准逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项，即可选出正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。
对各选项逐一分析：
选项A：方程$3x - 2y = 4z$中含有$x、y、z$共3个未知数，不符合“二元”的要求，排除；
选项B：方程$6xy + 9 = 0$中，$xy$项的次数是$1+1=2$，不符合“未知数的项的次数为1”的要求，排除；
选项C：方程$\frac{1}{x} + 4y = 6$中，分母含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，排除；
选项D：整理方程$4x = \frac{y - 2}{4}$可得$16x - y + 2 = 0$，该方程只含$x、y$两个未知数，含未知数的项的次数都是1，且是整式方程，符合二元一次方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程的定义；整式方程的判定；单项式次数的判定
【点评】
本题是二元一次方程概念的基础考查题，解题的关键是牢记定义的三个核心要点，排查时需注意两类常见易错点：一是误将多个未知数的次数相加当作单个未知数的次数，二是忽略整式方程的要求（分母含未知数的不是整式方程），掌握定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题的核心是紧扣二元一次方程的三个判定标准：①只含有2个未知数；②含有未知数的项的次数都为1；③是整式方程（分母不含未知数）。我们只需用这三个标准逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项，即可选出正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。
对各选项逐一分析：
选项A：方程$3x - 2y = 4z$中含有$x、y、z$共3个未知数，不符合“二元”的要求，排除；
选项B：方程$6xy + 9 = 0$中，$xy$项的次数是$1+1=2$，不符合“未知数的项的次数为1”的要求，排除；
选项C：方程$\frac{1}{x} + 4y = 6$中，分母含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，排除；
选项D：整理方程$4x = \frac{y - 2}{4}$可得$16x - y + 2 = 0$，该方程只含$x、y$两个未知数，含未知数的项的次数都是1，且是整式方程，符合二元一次方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程的定义；整式方程的判定；单项式次数的判定
【点评】
本题是二元一次方程概念的基础考查题，解题的关键是牢记定义的三个核心要点，排查时需注意两类常见易错点：一是误将多个未知数的次数相加当作单个未知数的次数，二是忽略整式方程的要求（分母含未知数的不是整式方程），掌握定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2.若$y-(a-1)x=5$是关于$x,y$的二元一次方程，则$a$满足的条件是
$a≠1$
。答案
2.$a≠1$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆二元一次方程的核心判定要求：一是必须含有2个不同的未知数，二是含未知数的项的次数都是1，三是含未知数的项的系数不能为0。本题中的方程已经明确是关于x、y的方程，已经满足有2个未知数、未知数次数为1的条件，接下来只需要保证x的系数不为0即可，若x的系数为0，x项就会消失，方程就只剩y一个未知数，不再是二元一次方程，因此我们只需要列不等式求解a的范围即可。
【解析】
解：根据二元一次方程的定义，方程$y-(a-1)x=5$要满足是二元一次方程，需保证含x的项的系数不为0，即：
$-(a-1) ≠ 0$
化简得：$a-1 ≠ 0$
解得：$a ≠ 1$
【答案】
$a≠1$
【知识点】
1. 二元一次方程的概念
2. 一元一次不等式求解
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点检验对二元一次方程定义的理解程度，易错点是容易忽略未知数系数不能为0的限制条件，牢记二元一次方程的核心判定要点就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆二元一次方程的核心判定要求：一是必须含有2个不同的未知数，二是含未知数的项的次数都是1，三是含未知数的项的系数不能为0。本题中的方程已经明确是关于x、y的方程，已经满足有2个未知数、未知数次数为1的条件，接下来只需要保证x的系数不为0即可，若x的系数为0，x项就会消失，方程就只剩y一个未知数，不再是二元一次方程，因此我们只需要列不等式求解a的范围即可。
【解析】
解：根据二元一次方程的定义，方程$y-(a-1)x=5$要满足是二元一次方程，需保证含x的项的系数不为0，即：
$-(a-1) ≠ 0$
化简得：$a-1 ≠ 0$
解得：$a ≠ 1$
【答案】
$a≠1$
【知识点】
1. 二元一次方程的概念
2. 一元一次不等式求解
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点检验对二元一次方程定义的理解程度，易错点是容易忽略未知数系数不能为0的限制条件，牢记二元一次方程的核心判定要点就能快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 下列方程组中，是二元一次方程组的是(
A.$\begin{cases} xy=1, \\ x+y=2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} 5x-2y=3, \\ \dfrac{1}{x}+y=3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} 2x+z=0, \\ 3x-y=\dfrac{1}{5} \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=5, \\ \dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}=7 \end{cases}$
D
)A.$\begin{cases} xy=1, \\ x+y=2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} 5x-2y=3, \\ \dfrac{1}{x}+y=3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} 2x+z=0, \\ 3x-y=\dfrac{1}{5} \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=5, \\ \dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}=7 \end{cases}$
答案
3.D
解析
【分析】
要判断是否为二元一次方程组，首先要明确二元一次方程组的三个核心判定条件：1. 方程组中的所有方程都必须是整式方程（分母不含未知数）；2. 整个方程组总共只含有2个不同的未知数；3. 每个方程中未知数的最高次数为1。解题时我们用这三个条件逐一排查每个选项，排除不符合的即可得到正确答案。
【解析】
根据二元一次方程组的定义，满足三个条件即为正确选项：
选项A：第一个方程$xy=1$中，$xy$的次数是2，不符合“未知数最高次数为1”的要求，排除；
选项B：第二个方程$\dfrac{1}{x}+y=3$的分母含有未知数$x$，属于分式方程，不符合“所有方程都是整式方程”的要求，排除；
选项C：方程组中出现了$x、y、z$共3个未知数，不符合“总共只含2个未知数”的要求，排除；
选项D：两个方程都是整式方程，仅含有$x、y$2个未知数，且每个方程中未知数的最高次数都是1，符合二元一次方程组的定义。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的定义；整式方程的识别；单项式的次数
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢记二元一次方程组的三个判定要点，逐一核对选项即可，注意不要遗漏“整式方程”“未知数个数”“未知数次数”任一判定条件，避免因概念理解不全面选错。
【难度系数】
0.85
要判断是否为二元一次方程组，首先要明确二元一次方程组的三个核心判定条件：1. 方程组中的所有方程都必须是整式方程（分母不含未知数）；2. 整个方程组总共只含有2个不同的未知数；3. 每个方程中未知数的最高次数为1。解题时我们用这三个条件逐一排查每个选项，排除不符合的即可得到正确答案。
【解析】
根据二元一次方程组的定义，满足三个条件即为正确选项：
选项A：第一个方程$xy=1$中，$xy$的次数是2，不符合“未知数最高次数为1”的要求，排除；
选项B：第二个方程$\dfrac{1}{x}+y=3$的分母含有未知数$x$，属于分式方程，不符合“所有方程都是整式方程”的要求，排除；
选项C：方程组中出现了$x、y、z$共3个未知数，不符合“总共只含2个未知数”的要求，排除；
选项D：两个方程都是整式方程，仅含有$x、y$2个未知数，且每个方程中未知数的最高次数都是1，符合二元一次方程组的定义。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的定义；整式方程的识别；单项式的次数
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢记二元一次方程组的三个判定要点，逐一核对选项即可，注意不要遗漏“整式方程”“未知数个数”“未知数次数”任一判定条件，避免因概念理解不全面选错。
【难度系数】
0.85
4. 下列方程(组):①$x+2=0$；②$3x-2y=1$；③$xy+1=0$；④$2x-\frac{1}{x}=1$；⑤$\begin{cases}x+y=1, \\x-y=3;\end{cases}$⑥$\begin{cases}2x-y=0, \\x+z=1.\end{cases}$ 其中,是一元一次方程的是 ______ ,是二元一次方程的是 ______ ,是二元一次方程组的是 ______ .(均填序号)
答案
4. ① ② ⑤
解析
【分析】
解题前先回忆三个核心定义的判断要点：1.一元一次方程：仅含1个未知数、未知数次数为1、是整式方程；2.二元一次方程：含2个未知数、未知数次数均为1、是整式方程；3.二元一次方程组：方程组内共含2个未知数、每个方程都是一次整式方程。接下来按照定义逐个排查给出的式子，排除不符合要求的，即可得到对应结果。
【解析】
我们逐个分析所给的方程（组）：
1. 判断一元一次方程：
①$x+2=0$：仅含1个未知数$x$，$x$的次数为1，且是整式方程，符合一元一次方程定义；
②含2个未知数，③中$xy$项次数为2，④是分式方程，⑤⑥是方程组，均不符合一元一次方程要求，故一元一次方程为①。
2. 判断二元一次方程：
②$3x-2y=1$：含$x$、$y$2个未知数，两个未知数的次数均为1，且是整式方程，符合二元一次方程定义；
其余单个方程均不符合要求，故二元一次方程为②。
3. 判断二元一次方程组：
⑤$\begin{cases}x+y=1, \\x-y=3;\end{cases}$：方程组中共含$x$、$y$2个未知数，两个方程均为一次整式方程，符合二元一次方程组定义；
⑥中含$x$、$y$、$z$3个未知数，不符合二元要求，故二元一次方程组为⑤。
【答案】
①；②；⑤
【知识点】
一元一次方程的定义；二元一次方程的定义；二元一次方程组的定义
【点评】
本题是基础的概念辨析题，解题的核心是准确掌握各类方程、方程组的判断标准，需注意三个易错点：一是要区分整式方程和分式方程，二是未知数项的次数是所有未知数的指数和，三是二元一次方程组的未知数总个数为2。
【难度系数】
0.8
解题前先回忆三个核心定义的判断要点：1.一元一次方程：仅含1个未知数、未知数次数为1、是整式方程；2.二元一次方程：含2个未知数、未知数次数均为1、是整式方程；3.二元一次方程组：方程组内共含2个未知数、每个方程都是一次整式方程。接下来按照定义逐个排查给出的式子，排除不符合要求的，即可得到对应结果。
【解析】
我们逐个分析所给的方程（组）：
1. 判断一元一次方程：
①$x+2=0$：仅含1个未知数$x$，$x$的次数为1，且是整式方程，符合一元一次方程定义；
②含2个未知数，③中$xy$项次数为2，④是分式方程，⑤⑥是方程组，均不符合一元一次方程要求，故一元一次方程为①。
2. 判断二元一次方程：
②$3x-2y=1$：含$x$、$y$2个未知数，两个未知数的次数均为1，且是整式方程，符合二元一次方程定义；
其余单个方程均不符合要求，故二元一次方程为②。
3. 判断二元一次方程组：
⑤$\begin{cases}x+y=1, \\x-y=3;\end{cases}$：方程组中共含$x$、$y$2个未知数，两个方程均为一次整式方程，符合二元一次方程组定义；
⑥中含$x$、$y$、$z$3个未知数，不符合二元要求，故二元一次方程组为⑤。
【答案】
①；②；⑤
【知识点】
一元一次方程的定义；二元一次方程的定义；二元一次方程组的定义
【点评】
本题是基础的概念辨析题，解题的核心是准确掌握各类方程、方程组的判断标准，需注意三个易错点：一是要区分整式方程和分式方程，二是未知数项的次数是所有未知数的指数和，三是二元一次方程组的未知数总个数为2。
【难度系数】
0.8
5.端午节时,王老师用72元钱买了荷包和五彩绳共20个,其中荷包每个4元,五彩绳每个3元.设王老师购买荷包x个,五彩绳y个,根据题意,下面列出的方程组正确的是（
A.$\begin{cases} x+y=20, \\ 3x+4y=72 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=20, \\ 4x+3y=72 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=72, \\ 4x+3y=20 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=72, \\ 3x+4y=20 \end{cases}$
B
）A.$\begin{cases} x+y=20, \\ 3x+4y=72 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=20, \\ 4x+3y=72 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=72, \\ 4x+3y=20 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=72, \\ 3x+4y=20 \end{cases}$
答案
5.B
解析
【分析】
解决这类列方程组的题目，核心是先从题干中提取两个独立的等量关系。本题属于购物类问题，通常有两个典型等量关系：一是总数量等于各商品数量之和，二是总花费等于各商品花费之和。我们先通过总数量的关系缩小选项范围，再通过总花费的关系确定最终答案即可。
【解析】
第一步：根据总数量列第一个方程
已知荷包买了x个，五彩绳买了y个，两种物品共20个，可得等量关系：$\boldsymbol{x+y=20}$，据此可直接排除第一个方程为$x+y=72$的C、D选项。
第二步：根据总花费列第二个方程
荷包每个4元，x个荷包总花费为$4x$元；五彩绳每个3元，y个五彩绳总花费为$3y$元，两类物品总花费为72元，可得等量关系：$\boldsymbol{4x+3y=72}$，据此可排除系数错误的A选项。
最终符合要求的方程组是B选项的方程组。
【答案】
B
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 实际问题找等量关系
【点评】
本题是二元一次方程组应用的基础题，解题重点是找准两类等量关系，同时注意不要混淆两种商品对应的单价，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.85
解决这类列方程组的题目，核心是先从题干中提取两个独立的等量关系。本题属于购物类问题，通常有两个典型等量关系：一是总数量等于各商品数量之和，二是总花费等于各商品花费之和。我们先通过总数量的关系缩小选项范围，再通过总花费的关系确定最终答案即可。
【解析】
第一步：根据总数量列第一个方程
已知荷包买了x个，五彩绳买了y个，两种物品共20个，可得等量关系：$\boldsymbol{x+y=20}$，据此可直接排除第一个方程为$x+y=72$的C、D选项。
第二步：根据总花费列第二个方程
荷包每个4元，x个荷包总花费为$4x$元；五彩绳每个3元，y个五彩绳总花费为$3y$元，两类物品总花费为72元，可得等量关系：$\boldsymbol{4x+3y=72}$，据此可排除系数错误的A选项。
最终符合要求的方程组是B选项的方程组。
【答案】
B
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 实际问题找等量关系
【点评】
本题是二元一次方程组应用的基础题，解题重点是找准两类等量关系，同时注意不要混淆两种商品对应的单价，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.85
6.【数学文化】(四川南充)我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中.一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是:如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房.设有客房x间，客人y人，则可列方程组为
（
A.$\begin{cases}7x - 7 = y, \\9(x + 1) = y\end{cases}$
B.$\begin{cases}7x - 7 = y, \\9(x - 1) = y\end{cases}$
C.$\begin{cases}7x + 7 = y, \\9(x + 1) = y\end{cases}$
D.$\begin{cases}7x + 7 = y, \\9(x - 1) = y\end{cases}$
（
D
）A.$\begin{cases}7x - 7 = y, \\9(x + 1) = y\end{cases}$
B.$\begin{cases}7x - 7 = y, \\9(x - 1) = y\end{cases}$
C.$\begin{cases}7x + 7 = y, \\9(x + 1) = y\end{cases}$
D.$\begin{cases}7x + 7 = y, \\9(x - 1) = y\end{cases}$
答案
6.D
解析
【分析】
本题是根据实际情境列二元一次方程组的题目，解题核心是找准题目中隐含的等量关系。首先明确两个不变量：客房总数量x、客人总数量y，我们只需根据两种住宿安排下总客人数不变，分别列等式即可。第一步先分析“每间住7人，7人无房住”的情况：x间房总共能住7x人，加上没房住的7人就是总客人数；第二步分析“每间住9人，空出一间房”的情况：空出1间说明实际住了(x-1)间房，总客人数就是9乘以住满的房间数，最后把两个方程联立得到对应方程组，再匹配选项即可。
【解析】
根据题意分别推导两个方程：
1. 当每间客房住7人时，x间房可容纳7x人，还有7人无房可住，因此总客人数$ y = 7x + 7 $；
2. 当每间客房住9人时，空出1间客房，实际住人的客房数量为$ x-1 $间，因此总客人数$ y = 9(x-1) $。
联立两个方程可得方程组：
$\begin{cases}7x + 7 = y, \\9(x - 1) = y\end{cases}$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 实际问题抽象二元一次方程组 2. 等量关系判定
【点评】
本题结合我国古代数学文化命题，考查根据实际情境列方程组的能力，解题关键是抓住总人数、总房间数不变的特点，准确梳理两种住宿方案下的数量关系，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
本题是根据实际情境列二元一次方程组的题目，解题核心是找准题目中隐含的等量关系。首先明确两个不变量：客房总数量x、客人总数量y，我们只需根据两种住宿安排下总客人数不变，分别列等式即可。第一步先分析“每间住7人，7人无房住”的情况：x间房总共能住7x人，加上没房住的7人就是总客人数；第二步分析“每间住9人，空出一间房”的情况：空出1间说明实际住了(x-1)间房，总客人数就是9乘以住满的房间数，最后把两个方程联立得到对应方程组，再匹配选项即可。
【解析】
根据题意分别推导两个方程：
1. 当每间客房住7人时，x间房可容纳7x人，还有7人无房可住，因此总客人数$ y = 7x + 7 $；
2. 当每间客房住9人时，空出1间客房，实际住人的客房数量为$ x-1 $间，因此总客人数$ y = 9(x-1) $。
联立两个方程可得方程组：
$\begin{cases}7x + 7 = y, \\9(x - 1) = y\end{cases}$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 实际问题抽象二元一次方程组 2. 等量关系判定
【点评】
本题结合我国古代数学文化命题，考查根据实际情境列方程组的能力，解题关键是抓住总人数、总房间数不变的特点，准确梳理两种住宿方案下的数量关系，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
7.将一摞笔记本分给若干个同学，每个同学分8本，则差了7本。若设共有x个同学，y本笔记本，则可列方程为
$y=8x-7$
。答案
7.$y=8x-7$
解析
【分析】
解题时先明确题中的等量关系，已知同学数量为x，笔记本总数为y：首先计算每个同学分8本时，x个同学总共需要的笔记本数量是8x本；题中“差了7本”说明现有的笔记本数量比需要的8x本少7本，根据“现有笔记本数=所需总本数-缺少的本数”的关系，就能列出对应方程。
【解析】
1. 计算分配所需总本数：x个同学每人分8本，一共需要$8x$本笔记本。
2. 分析实际数量和所需数量的关系：现有y本笔记本，分的时候差7本，说明实际笔记本数比所需的8x本少7本。
3. 列方程：根据上述等量关系可得$y=8x-7$。
【答案】
$y=8x-7$
【知识点】
列二元一次方程；实际问题等量分析
【点评】
本题是基础的方程应用类题目，结合分配场景考察提取等量关系、列方程的能力，理解“差7本”所代表的数量含义是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时先明确题中的等量关系，已知同学数量为x，笔记本总数为y：首先计算每个同学分8本时，x个同学总共需要的笔记本数量是8x本；题中“差了7本”说明现有的笔记本数量比需要的8x本少7本，根据“现有笔记本数=所需总本数-缺少的本数”的关系，就能列出对应方程。
【解析】
1. 计算分配所需总本数：x个同学每人分8本，一共需要$8x$本笔记本。
2. 分析实际数量和所需数量的关系：现有y本笔记本，分的时候差7本，说明实际笔记本数比所需的8x本少7本。
3. 列方程：根据上述等量关系可得$y=8x-7$。
【答案】
$y=8x-7$
【知识点】
列二元一次方程；实际问题等量分析
【点评】
本题是基础的方程应用类题目，结合分配场景考察提取等量关系、列方程的能力，理解“差7本”所代表的数量含义是解题的关键。
【难度系数】
0.9
8. 根据题意列二元一次方程组(不用解方程组)：
(1)两批货物，第一批 360 t，用5节火车皮和12辆汽车正好装完；第二批 500 t，用7节火车皮和16辆汽车正好装完.每节火车皮和每辆汽车平均各装货物多少吨？
(2)某校课外小组的学生准备外出活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则有一组只有3人.这个课外小组分成几组？共有多少人？
(1)两批货物，第一批 360 t，用5节火车皮和12辆汽车正好装完；第二批 500 t，用7节火车皮和16辆汽车正好装完.每节火车皮和每辆汽车平均各装货物多少吨？
(2)某校课外小组的学生准备外出活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则有一组只有3人.这个课外小组分成几组？共有多少人？
答案
8. 解:(1)设每节火车皮、每辆汽车平均各装货物 x t,y t. 根据题意,得 $\begin{cases}5x+12y=360,\\7x+16y=500;\end{cases}$
(2)设这个课外小组分成 x 组,共有 y 人. 根据题意,得 $\begin{cases}7x+3=y,\\8(x-1)+3=y.\end{cases}$
(2)设这个课外小组分成 x 组,共有 y 人. 根据题意,得 $\begin{cases}7x+3=y,\\8(x-1)+3=y.\end{cases}$
解析
【分析】
列二元一次方程组的核心思路为三步：第一步确定两个未知量，分别设为未知数；第二步从题干中提取两个与未知量相关的等量关系；第三步将等量关系转化为含未知数的方程，联立得到方程组。
第(1)问的两个未知量是每节火车皮、每辆汽车的平均载货量，对应等量关系为：①5节火车皮载货量+12辆汽车载货量=360t；②7节火车皮载货量+16辆汽车载货量=500t。
第(2)问的两个未知量是课外小组的分组数、总人数，对应等量关系为：①每组7人×组数+余下3人=总人数；②每组8人×(组数-1)+最后一组3人=总人数。根据以上内容即可列写方程组。
【解析】
(1) 设每节火车皮平均装货物$x$ t，每辆汽车平均装货物$y$ t。
根据第一批货物装载总重量可得方程：$5x+12y=360$
根据第二批货物装载总重量可得方程：$7x+16y=500$
联立两个方程得到对应方程组。
(2) 设这个课外小组分成$x$组，共有$y$人。
根据每组7人余3人的总人数关系可得方程：$7x+3=y$
根据每组8人时有一组仅3人的总人数关系，前$(x-1)$组每组8人，加最后一组3人等于总人数，可得方程：$8(x-1)+3=y$
联立两个方程得到对应方程组。
【答案】
(1) $\begin{cases}5x+12y=360,\\7x+16y=500;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}7x+3=y,\\8(x-1)+3=y.\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组列写、实际问题等量关系分析
【点评】
本题是二元一次方程组应用的基础题，主要考查从实际场景中提取未知量和等量关系的能力，掌握“设未知数-找等量关系-列方程联立”的固定解题流程即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
列二元一次方程组的核心思路为三步：第一步确定两个未知量，分别设为未知数；第二步从题干中提取两个与未知量相关的等量关系；第三步将等量关系转化为含未知数的方程，联立得到方程组。
第(1)问的两个未知量是每节火车皮、每辆汽车的平均载货量，对应等量关系为：①5节火车皮载货量+12辆汽车载货量=360t；②7节火车皮载货量+16辆汽车载货量=500t。
第(2)问的两个未知量是课外小组的分组数、总人数，对应等量关系为：①每组7人×组数+余下3人=总人数；②每组8人×(组数-1)+最后一组3人=总人数。根据以上内容即可列写方程组。
【解析】
(1) 设每节火车皮平均装货物$x$ t，每辆汽车平均装货物$y$ t。
根据第一批货物装载总重量可得方程：$5x+12y=360$
根据第二批货物装载总重量可得方程：$7x+16y=500$
联立两个方程得到对应方程组。
(2) 设这个课外小组分成$x$组，共有$y$人。
根据每组7人余3人的总人数关系可得方程：$7x+3=y$
根据每组8人时有一组仅3人的总人数关系，前$(x-1)$组每组8人，加最后一组3人等于总人数，可得方程：$8(x-1)+3=y$
联立两个方程得到对应方程组。
【答案】
(1) $\begin{cases}5x+12y=360,\\7x+16y=500;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}7x+3=y,\\8(x-1)+3=y.\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组列写、实际问题等量关系分析
【点评】
本题是二元一次方程组应用的基础题，主要考查从实际场景中提取未知量和等量关系的能力，掌握“设未知数-找等量关系-列方程联立”的固定解题流程即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
9.若方程组$\begin{cases}y-(a-1)x=5, \\ y^{|a|}+(b-5)xy=3\end{cases}$是关于$x,y$的二元一次方程组，则$a=$ ______ ，$b=$ ______ 。
答案
9.-1 5
解析
【分析】
解题时首先要紧扣二元一次方程组的定义：方程组共含有2个未知数，且所有含未知数的项的次数都为1，属于整式方程组。我们分两步推导：第一步先消去方程组中的二次项，求出b的值；第二步根据y的次数要求得到a的可能取值，再验证x的系数不能为0，排除不符合条件的a值即可。
【解析】
解：
∵该方程组是关于x，y的二元一次方程组
∴需满足两个要求：
1. 所有含未知数的项的最高次数为1：
（1）第二个方程中的$xy$项次数是2，属于二次项，因此它的系数必须为0：
$b-5=0$，解得$b=5$
（2）第二个方程中y的次数为$|a|$，需等于1：
$|a|=1$，解得$a=1$或$a=-1$
2. 方程组需同时含有x、y两个未知数，即x的系数不能为0：
第一个方程中x的系数为$-(a-1)$，若$a=1$，则$-(a-1)=0$，此时方程仅含未知数y，不符合二元的要求，因此$a≠1$
综上可得$a=-1$，$b=5$
【答案】
-1；5
【知识点】
1.二元一次方程组的定义
2.绝对值的性质
3.一元一次方程求解
【点评】
本题是二元一次方程组概念的基础应用题型，解题的核心是紧扣定义，既要保证含未知数的项次数为1，还要注意保证两个未知数的系数不为0，避免遗漏排除a=1的情况导致出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先要紧扣二元一次方程组的定义：方程组共含有2个未知数，且所有含未知数的项的次数都为1，属于整式方程组。我们分两步推导：第一步先消去方程组中的二次项，求出b的值；第二步根据y的次数要求得到a的可能取值，再验证x的系数不能为0，排除不符合条件的a值即可。
【解析】
解：
∵该方程组是关于x，y的二元一次方程组
∴需满足两个要求：
1. 所有含未知数的项的最高次数为1：
（1）第二个方程中的$xy$项次数是2，属于二次项，因此它的系数必须为0：
$b-5=0$，解得$b=5$
（2）第二个方程中y的次数为$|a|$，需等于1：
$|a|=1$，解得$a=1$或$a=-1$
2. 方程组需同时含有x、y两个未知数，即x的系数不能为0：
第一个方程中x的系数为$-(a-1)$，若$a=1$，则$-(a-1)=0$，此时方程仅含未知数y，不符合二元的要求，因此$a≠1$
综上可得$a=-1$，$b=5$
【答案】
-1；5
【知识点】
1.二元一次方程组的定义
2.绝对值的性质
3.一元一次方程求解
【点评】
本题是二元一次方程组概念的基础应用题型，解题的核心是紧扣定义，既要保证含未知数的项次数为1，还要注意保证两个未知数的系数不为0，避免遗漏排除a=1的情况导致出错。
【难度系数】
0.7
