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8.【数学文化】《九章算术》是中国古代的一部数学专著.其中关于“盈不足”问题:“今有人共买物,人出六,盈三;人出五,不足四.问人数几何?”其意思是“现有一些人共同买一个物品,每人出6元,还盈余3元;每人出5元,则还差4元.买这个物品的共有几个人?”
答案
8.解:设买这个物品的共有x个人.根据题意,得6x-3=5x+4.解得x=7.答:买这个物品的共有7个人.
解析
【分析】
这是一元一次方程实际应用类题目，解题核心是抓住题目中的不变量（即物品的总价）。首先我们可以设总人数为未知数，再根据两种出钱规则下物品总价相等的关系建立方程，最后解方程求出人数。具体思考逻辑：①设共有x人；②分别用含x的式子表示两种情况的物品总价：每人出6元盈余3元，说明物品总价比总出钱数少3元，即总价为6x-3；每人出5元差4元，说明物品总价比总出钱数多4元，即总价为5x+4；③根据总价相等列方程求解即可。
【解析】
解：设买这个物品的共有x个人。
根据物品总价不变的等量关系列方程：
$6x - 3 = 5x + 4$
移项得：$6x - 5x = 4 + 3$
合并同类项得：$x = 7$
答：买这个物品的共有7个人。
【答案】
买这个物品的共有7个人
【知识点】
一元一次方程的实际应用；找不变量列方程
【点评】
本题结合中国古代数学专著《九章算术》中的经典“盈不足”问题创设情境，既考查学生运用方程模型解决实际问题的能力，又能让学生感受到中国传统数学文化的魅力，解题关键是准确抓住物品总价不变的核心等量关系。
【难度系数】
0.8
这是一元一次方程实际应用类题目，解题核心是抓住题目中的不变量（即物品的总价）。首先我们可以设总人数为未知数，再根据两种出钱规则下物品总价相等的关系建立方程，最后解方程求出人数。具体思考逻辑：①设共有x人；②分别用含x的式子表示两种情况的物品总价：每人出6元盈余3元，说明物品总价比总出钱数少3元，即总价为6x-3；每人出5元差4元，说明物品总价比总出钱数多4元，即总价为5x+4；③根据总价相等列方程求解即可。
【解析】
解：设买这个物品的共有x个人。
根据物品总价不变的等量关系列方程：
$6x - 3 = 5x + 4$
移项得：$6x - 5x = 4 + 3$
合并同类项得：$x = 7$
答：买这个物品的共有7个人。
【答案】
买这个物品的共有7个人
【知识点】
一元一次方程的实际应用；找不变量列方程
【点评】
本题结合中国古代数学专著《九章算术》中的经典“盈不足”问题创设情境，既考查学生运用方程模型解决实际问题的能力，又能让学生感受到中国传统数学文化的魅力，解题关键是准确抓住物品总价不变的核心等量关系。
【难度系数】
0.8
9.一道条件缺失的问题情境:一项工程,甲队单独做需要12天完成,…,还需要几天完成任务.根据标准答案,老师在黑板上画出线段示意图,设两队合作还需$x$天完成任务,并列方程为$\frac{1}{12}×2 + (\frac{1}{8} + \frac{1}{12})x = 1$.根据上面信息,下面结论不正确的是 (
A.乙队单独做需要8天完成
B.D处代表的代数式为$(\frac{1}{8} + \frac{1}{12})x$
C.A处代表的实际意义为甲先做2天的工作量
D.甲先做2天,然后甲乙两队合作5天完成了整个工程
D
)A.乙队单独做需要8天完成
B.D处代表的代数式为$(\frac{1}{8} + \frac{1}{12})x$
C.A处代表的实际意义为甲先做2天的工作量
D.甲先做2天,然后甲乙两队合作5天完成了整个工程
答案
9.D
解析
【分析】
这是工程类一元一次方程应用题，解题思路为：工程问题默认总工作量为单位“1”，工作效率=1÷单独完成总时长，先从给出的方程中提取各部分对应的工作量信息：第一项是甲先做的工作量，第二项是甲乙合作的工作量，二者之和为总工作量1，再结合各选项逐一判断正误，最后通过解方程得到合作天数即可判断D选项。
【解析】
工程问题默认总工作量为单位“1”，已知甲队单独做12天完成，因此甲的工作效率为$\frac{1}{12}$。
结合给出的方程$\frac{1}{12}×2 + (\frac{1}{8} + \frac{1}{12})x = 1$分析：
1. 判断A选项：方程中$\frac{1}{8}$为乙队的工作效率，因此乙队单独完成工程需要$1÷\frac{1}{8}=8$天，A结论正确，不符合题意。
2. 判断B选项：方程第二项$(\frac{1}{8}+\frac{1}{12})x$代表甲乙两队合作x天的总工作量，对应图中D处，B结论正确，不符合题意。
3. 判断C选项：方程第一项$\frac{1}{12}×2$是甲队单独工作2天的工作量，对应图中A处，即A处代表甲先做2天的工作量，C结论正确，不符合题意。
4. 判断D选项：解方程求合作天数x：
$\frac{1}{6}+\frac{5}{24}x=1$
移项得：$\frac{5}{24}x=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$
解得：$x=\frac{5}{6}×\frac{24}{5}=4$，即两队合作4天即可完成，不是5天，D结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
工程问题，一元一次方程的应用，代数式的意义
【点评】
本题将一元一次方程与线段图结合，考查工程问题中工作效率、工作时间、工作量三者的关系，需要从给定的方程中提取隐含的工作效率、工作阶段等信息，再逐一验证选项，易错点是计算合作天数时出错。
【难度系数】
0.7
这是工程类一元一次方程应用题，解题思路为：工程问题默认总工作量为单位“1”，工作效率=1÷单独完成总时长，先从给出的方程中提取各部分对应的工作量信息：第一项是甲先做的工作量，第二项是甲乙合作的工作量，二者之和为总工作量1，再结合各选项逐一判断正误，最后通过解方程得到合作天数即可判断D选项。
【解析】
工程问题默认总工作量为单位“1”，已知甲队单独做12天完成，因此甲的工作效率为$\frac{1}{12}$。
结合给出的方程$\frac{1}{12}×2 + (\frac{1}{8} + \frac{1}{12})x = 1$分析：
1. 判断A选项：方程中$\frac{1}{8}$为乙队的工作效率，因此乙队单独完成工程需要$1÷\frac{1}{8}=8$天，A结论正确，不符合题意。
2. 判断B选项：方程第二项$(\frac{1}{8}+\frac{1}{12})x$代表甲乙两队合作x天的总工作量，对应图中D处，B结论正确，不符合题意。
3. 判断C选项：方程第一项$\frac{1}{12}×2$是甲队单独工作2天的工作量，对应图中A处，即A处代表甲先做2天的工作量，C结论正确，不符合题意。
4. 判断D选项：解方程求合作天数x：
$\frac{1}{6}+\frac{5}{24}x=1$
移项得：$\frac{5}{24}x=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$
解得：$x=\frac{5}{6}×\frac{24}{5}=4$，即两队合作4天即可完成，不是5天，D结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
工程问题，一元一次方程的应用，代数式的意义
【点评】
本题将一元一次方程与线段图结合，考查工程问题中工作效率、工作时间、工作量三者的关系，需要从给定的方程中提取隐含的工作效率、工作阶段等信息，再逐一验证选项，易错点是计算合作天数时出错。
【难度系数】
0.7
10.《九章算术》有这样一个问题:今有共买金，人出四百，盈三千四百;人出三百，盈一百.问人数，金价各几何?其大意是:假设合伙买金，每人出400钱，则多出3 400钱;每人出300钱，则多出100钱.则合伙买金人数共有 (
A.33人
B.32人
C.30人
D.29人
A
)A.33人
B.32人
C.30人
D.29人
答案
10.A
解析
【分析】
这是一道典型的盈亏类应用题，解题的关键是抓住题目中的不变量：金的总价格固定不变。我们可以先设合伙买金的人数为未知数，分别根据两种不同的出钱情况表示出金价，再根据金价相等列一元一次方程求解即可。
【解析】
设合伙买金的人数为$ x $人。
根据“每人出400钱，多出3400钱”，可得金价为$ 400x - 3400 $钱；
根据“每人出300钱，多出100钱”，可得金价为$ 300x - 100 $钱。
因为金价固定不变，因此可列方程：
$ 400x - 3400 = 300x - 100 $
移项得：$ 400x - 300x = 3400 - 100 $
合并同类项得：$ 100x = 3300 $
解得：$ x = 33 $
即合伙买金人数共有33人。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的应用、盈亏问题
【点评】
本题取材于古代经典数学著作，将实际问题转化为方程问题求解，核心是找准题目中的不变量建立等量关系，解题思路清晰，计算量较小。
【难度系数】
0.8
这是一道典型的盈亏类应用题，解题的关键是抓住题目中的不变量：金的总价格固定不变。我们可以先设合伙买金的人数为未知数，分别根据两种不同的出钱情况表示出金价，再根据金价相等列一元一次方程求解即可。
【解析】
设合伙买金的人数为$ x $人。
根据“每人出400钱，多出3400钱”，可得金价为$ 400x - 3400 $钱；
根据“每人出300钱，多出100钱”，可得金价为$ 300x - 100 $钱。
因为金价固定不变，因此可列方程：
$ 400x - 3400 = 300x - 100 $
移项得：$ 400x - 300x = 3400 - 100 $
合并同类项得：$ 100x = 3300 $
解得：$ x = 33 $
即合伙买金人数共有33人。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的应用、盈亏问题
【点评】
本题取材于古代经典数学著作，将实际问题转化为方程问题求解，核心是找准题目中的不变量建立等量关系，解题思路清晰，计算量较小。
【难度系数】
0.8
11.甲、乙两人原有的钱数之比是6:5，后来甲用去80元，乙得到20元，这时甲、乙两人的钱数比是10:9，则原来甲有
1 380
元。答案
11.1 380
解析
【分析】
遇到已知两个量的比例关系的问题，我们可以通过设每份为未知数的方法简化计算。本题中已知甲乙原有钱数比为6:5，可设每份钱数为x元，那么原来甲有6x元，乙有5x元；再根据甲用去80元、乙得到20元后的钱数比为10:9，利用比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积）列出方程，求解得到x的值后，乘6即可得到原来甲的钱数。
【解析】
解：设原来甲、乙钱数的每份为x元，则原来甲有6x元，乙有5x元。
根据题意可得比例式：
$(6x - 80):(5x + 20) = 10:9$
由比例的基本性质（内项积等于外项积）得：
$9×(6x - 80) = 10×(5x + 20)$
展开括号：
$54x - 720 = 50x + 200$
移项、合并同类项：
$54x - 50x = 200 + 720$
$4x = 920$
解得：$x = 230$
则原来甲的钱数为：$6x = 6×230 = 1380$（元）
【答案】
1380
【知识点】
比例的基本性质，一元一次方程应用，比例问题
【点评】
本题是典型的比例应用类题型，设每份为未知数的方法可以避免分数运算，降低解题难度，解题的核心是找准变化后两个量的对应关系，正确列出比例方程求解。
【难度系数】
0.7
遇到已知两个量的比例关系的问题，我们可以通过设每份为未知数的方法简化计算。本题中已知甲乙原有钱数比为6:5，可设每份钱数为x元，那么原来甲有6x元，乙有5x元；再根据甲用去80元、乙得到20元后的钱数比为10:9，利用比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积）列出方程，求解得到x的值后，乘6即可得到原来甲的钱数。
【解析】
解：设原来甲、乙钱数的每份为x元，则原来甲有6x元，乙有5x元。
根据题意可得比例式：
$(6x - 80):(5x + 20) = 10:9$
由比例的基本性质（内项积等于外项积）得：
$9×(6x - 80) = 10×(5x + 20)$
展开括号：
$54x - 720 = 50x + 200$
移项、合并同类项：
$54x - 50x = 200 + 720$
$4x = 920$
解得：$x = 230$
则原来甲的钱数为：$6x = 6×230 = 1380$（元）
【答案】
1380
【知识点】
比例的基本性质，一元一次方程应用，比例问题
【点评】
本题是典型的比例应用类题型，设每份为未知数的方法可以避免分数运算，降低解题难度，解题的核心是找准变化后两个量的对应关系，正确列出比例方程求解。
【难度系数】
0.7
12.一个两位数是一个一位数的3倍,如果把两位数放在一位数的右边,得到一个三位数,如果把两位数放在一位数的左边,得到另一个三位数,且后面的三位数比前面的三位数小360,则这个两位数是多少？
答案
12.解:设一位数为x,则这个两位数为3x.根据题意,得100x+3x=3x·10+x+360.解得x=5.3x=3×5=15.答:这个两位数是15.
解析
【分析】
这是一道数字类的一元一次方程应用题，解题思路如下：第一步，根据“两位数是一位数的3倍”设未知数，设较小的一位数为x，那么两位数就可以表示为3x，减少未知数的个数；第二步，掌握多位数的表示方法：如果一位数在百位（两位数放在一位数右边，说明一位数占百位，两位数占十位和个位），这个三位数就是100×一位数+两位数；如果两位数在高位（两位数放在一位数左边，说明两位数占百位和十位，一位数占个位），这个三位数就是10×两位数+一位数；第三步，根据“两位数在左边的三位数比两位数在右边的三位数小360”找等量关系，列方程求解即可。
【解析】
解：设这个一位数为x，则对应的两位数为3x。
根据题意，两位数放在一位数右边得到的三位数为$100x + 3x$，两位数放在一位数左边得到的三位数为$10×3x + x$，且后者比前者小360，因此列方程：
$100x + 3x = 10×3x + x + 360$
合并同类项得：$103x = 31x + 360$
移项得：$103x - 31x = 360$
计算得：$72x = 360$
解得：$x = 5$
则两位数为$3x = 3×5 = 15$
【答案】
15
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 数位表示
【点评】
本题属于典型的数字类方程应用题，解题的核心是正确理解不同数位的计数单位，准确表示出两个三位数，再根据题干给出的大小关系建立方程求解，掌握数位表示规则就能轻松解题。
【难度系数】
0.7
这是一道数字类的一元一次方程应用题，解题思路如下：第一步，根据“两位数是一位数的3倍”设未知数，设较小的一位数为x，那么两位数就可以表示为3x，减少未知数的个数；第二步，掌握多位数的表示方法：如果一位数在百位（两位数放在一位数右边，说明一位数占百位，两位数占十位和个位），这个三位数就是100×一位数+两位数；如果两位数在高位（两位数放在一位数左边，说明两位数占百位和十位，一位数占个位），这个三位数就是10×两位数+一位数；第三步，根据“两位数在左边的三位数比两位数在右边的三位数小360”找等量关系，列方程求解即可。
【解析】
解：设这个一位数为x，则对应的两位数为3x。
根据题意，两位数放在一位数右边得到的三位数为$100x + 3x$，两位数放在一位数左边得到的三位数为$10×3x + x$，且后者比前者小360，因此列方程：
$100x + 3x = 10×3x + x + 360$
合并同类项得：$103x = 31x + 360$
移项得：$103x - 31x = 360$
计算得：$72x = 360$
解得：$x = 5$
则两位数为$3x = 3×5 = 15$
【答案】
15
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 数位表示
【点评】
本题属于典型的数字类方程应用题，解题的核心是正确理解不同数位的计数单位，准确表示出两个三位数，再根据题干给出的大小关系建立方程求解，掌握数位表示规则就能轻松解题。
【难度系数】
0.7
13.某中学有一些相同的教室需要粉刷墙面.一天时间,2名一级技工去粉刷6个教室,结果其中有40 $\mathrm{m}^2$的墙面未来得及粉刷;同样时间内5名二级技工粉刷了9个教室的墙面.每名一级技工比二级技工一天多粉刷34 $\mathrm{m}^2$的墙面,求每个教室需要粉刷的墙面面积.
(1)方法一:根据题意,甲同学列出的一元一次方程如下:$\frac{2x + 40}{6} = \frac{5(x - 34)}{9}$.
根据甲同学所列的一元一次方程,可知$x$表示的意义是
(2)方法二:设每个教室需要粉刷的墙面面积为$y$ $\mathrm{m}^2$.(请列出方程并写出完整的解答过程)
(1)方法一:根据题意,甲同学列出的一元一次方程如下:$\frac{2x + 40}{6} = \frac{5(x - 34)}{9}$.
根据甲同学所列的一元一次方程,可知$x$表示的意义是
每名一级技工一天粉刷的墙面面积
;方程两边的代数式表示的意义是每个教室需要粉刷的墙面面积
;(2)方法二:设每个教室需要粉刷的墙面面积为$y$ $\mathrm{m}^2$.(请列出方程并写出完整的解答过程)
答案
13.解:(1)每名一级技工一天粉刷的墙面面积 每个教室需要粉刷的墙面面积
(2)设每个教室需要粉刷的墙面面积为y m².根据题意,得$\frac{6y-40}{2}=\frac{9y}{5}+34$.解得y=45.答:每个教室需要粉刷的墙面面积为45 m².
(2)设每个教室需要粉刷的墙面面积为y m².根据题意,得$\frac{6y-40}{2}=\frac{9y}{5}+34$.解得y=45.答:每个教室需要粉刷的墙面面积为45 m².
解析
【分析】
(1) 分析甲同学所列方程的代数式含义：左边$\frac{2x+40}{6}$中，$2x$对应2名同类型技工的日总工作量，加未粉刷的40$\mathrm{m}^2$就是6个教室的总粉刷面积，除以6得到单个教室的粉刷面积；右边$\frac{5(x-34)}{9}$中，$x-34$对应比x代表的技工日粉刷面积少34$\mathrm{m}^2$的另一类技工的日工作量，5倍是5名该类技工的日总工作量，对应9个教室的总粉刷面积，除以6也得到单个教室的粉刷面积，由此可反推x的含义和等号两边的共同意义。
(2) 设每个教室粉刷面积为y$\mathrm{m}^2$后，先分别表示出每名一级技工、每名二级技工的日粉刷面积，再根据“每名一级技工比二级技工一天多粉刷34$\mathrm{m}^2$”的等量关系列方程，再按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可。
【解析】
(1) 由方程左右两边的实际意义可知，x表示每名一级技工一天粉刷的墙面面积，方程两边的代数式均表示每个教室需要粉刷的墙面面积。
(2) 设每个教室需要粉刷的墙面面积为y $\mathrm{m}^2$。
根据题意，每名一级技工一天粉刷的面积为$\frac{6y-40}{2}$ $\mathrm{m}^2$，每名二级技工一天粉刷的面积为$\frac{9y}{5}$ $\mathrm{m}^2$，结合一级技工比二级技工日粉刷面积多34$\mathrm{m}^2$，列方程：
$\frac{6y-40}{2}=\frac{9y}{5}+34$
解方程：
去分母，两边同乘10得：$5(6y-40)=2×9y + 34×10$
去括号得：$30y-200=18y+340$
移项得：$30y-18y=340+200$
合并同类项得：$12y=540$
系数化为1得：$y=45$
【答案】
(1) 每名一级技工一天粉刷的墙面面积；每个教室需要粉刷的墙面面积
(2) 每个教室需要粉刷的墙面面积为45 $\mathrm{m}^2$
【知识点】
一元一次方程的应用；一元一次方程的解法
【点评】
本题是典型的工程类一元一次方程应用问题，解题核心是找准等量关系，既可以以单个教室的粉刷面积为等量列方程，也可以以两类技工的工作效率差为等量列方程，考查了建立方程模型解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 分析甲同学所列方程的代数式含义：左边$\frac{2x+40}{6}$中，$2x$对应2名同类型技工的日总工作量，加未粉刷的40$\mathrm{m}^2$就是6个教室的总粉刷面积，除以6得到单个教室的粉刷面积；右边$\frac{5(x-34)}{9}$中，$x-34$对应比x代表的技工日粉刷面积少34$\mathrm{m}^2$的另一类技工的日工作量，5倍是5名该类技工的日总工作量，对应9个教室的总粉刷面积，除以6也得到单个教室的粉刷面积，由此可反推x的含义和等号两边的共同意义。
(2) 设每个教室粉刷面积为y$\mathrm{m}^2$后，先分别表示出每名一级技工、每名二级技工的日粉刷面积，再根据“每名一级技工比二级技工一天多粉刷34$\mathrm{m}^2$”的等量关系列方程，再按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可。
【解析】
(1) 由方程左右两边的实际意义可知，x表示每名一级技工一天粉刷的墙面面积，方程两边的代数式均表示每个教室需要粉刷的墙面面积。
(2) 设每个教室需要粉刷的墙面面积为y $\mathrm{m}^2$。
根据题意，每名一级技工一天粉刷的面积为$\frac{6y-40}{2}$ $\mathrm{m}^2$，每名二级技工一天粉刷的面积为$\frac{9y}{5}$ $\mathrm{m}^2$，结合一级技工比二级技工日粉刷面积多34$\mathrm{m}^2$，列方程：
$\frac{6y-40}{2}=\frac{9y}{5}+34$
解方程：
去分母，两边同乘10得：$5(6y-40)=2×9y + 34×10$
去括号得：$30y-200=18y+340$
移项得：$30y-18y=340+200$
合并同类项得：$12y=540$
系数化为1得：$y=45$
【答案】
(1) 每名一级技工一天粉刷的墙面面积；每个教室需要粉刷的墙面面积
(2) 每个教室需要粉刷的墙面面积为45 $\mathrm{m}^2$
【知识点】
一元一次方程的应用；一元一次方程的解法
【点评】
本题是典型的工程类一元一次方程应用问题，解题核心是找准等量关系，既可以以单个教室的粉刷面积为等量列方程，也可以以两类技工的工作效率差为等量列方程，考查了建立方程模型解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
