7 如图，P为$\odot O$外一点，OP交$\odot O$于点A，且$OA=2AP$.甲、乙两人想作一条过点P且与$\odot O$相切的直线，以下是两人的方法.甲:以点P为圆心，OP长为半径画弧，交$\odot O$于点B，则直线PB即为所求；乙:作OP的垂直平分线，交$\odot O$于点B，则直线PB即为所求.对于甲、乙两人的方法，下列判断正确的是（）

A.两人皆正确
B.两人皆错误
C.甲正确，乙错误
D.甲错误，乙正确

7. B

8 如图，CD是$\odot O$的直径，BD是弦，延长DC到点A，使$∠ ABD=120°$，连结BC。添加一个条件，使AB是$\odot O$的切线，给出下列条件：①$AC=BC$；②$BC=OC$；③$AB=BD$。其中，正确的是（填序号）。

8. ①②③

9 新考向 探究题 如图，在$△ OAC$中，以点O为圆心、OA为半径作$\odot O$，作$OB ⊥ OC$交$\odot O$于点B，连结AB交OC于点D，$∠ CAD = ∠ CDA$。
（1）试判断AC与$\odot O$的位置关系，并证明；
（2）若$OA=5$，$OD=1$，求线段AC的长。

9. (1) AC与$\odot O$相切 因为$OB=OA$,所以$∠ OBA=∠ OAB$.因为$∠ CAD=∠ CDA=∠ BDO$,所以$∠ CAD+∠ OAB=∠ BDO+∠ OBA$.因为$BO⊥ CO$,所以$∠ CAD+∠ OAB=90°$.所以$∠ OAC=90°$,即$OA⊥ AC$.因为OA是$\odot O$的半径,所以AC是$\odot O$的切线 (2) 设线段AC的长为x.因为$∠ CAD=∠ CDA$,所以$CD=AC=x$.由(1),知$OA⊥ AC$,所以在$\mathrm{Rt}△ OAC$中,$OA^2+AC^2=OC^2$,即$5^2+x^2=(1+x)^2$,解得$x=12$.所以线段AC的长为12

10 [2025 台州玉环期末]如图，AB是$\odot O$的直径，AC是弦，D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，CD与AB交于点E，F是AB延长线上的一点，且$CF=EF$.
（1）求证：CF为$\odot O$的切线；
（2）若$CF=4$，$BF=2$，求$\odot O$的半径.

10. (1) 连结OC,OD,则$OC=OD$,所以$∠ OCD=∠ ODC$.因为$CF=EF$,所以$∠ FCE=∠ FEC=∠ OED$.因为AB是$\odot O$的直径,D是$\overset{\frown}{AB}$的中点,所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$.所以$∠ AOD=∠ BOD=\frac{1}{2}×180°=90°$.所以$∠ OCF=∠ OCD+∠ FCE=∠ ODC+∠ OED=90°$.所以$OC⊥ CF$.因为OC是$\odot O$的半径,所以CF为$\odot O$的切线 (2) 因为$CF=4$,$BF=2$,$OB=OC$,所以$OF=OB+BF=OC+2$.由(1),得$∠ OCF=90°$,所以在$\mathrm{Rt}△ OCF$中,$OC^2+CF^2=OF^2$.所以$OC^2+4^2=(OC+2)^2$,解得$OC=3$.所以$\odot O$的半径为3