10.如图,直角三角形的两直角边长恰为方程$x^2 -9x +20=0$的两个根,求直角三角形斜边的长.

解：
对方程$x^2 -9x +20=0$因式分解，得
$(x-4)(x-5)=0$
则$x-4=0$或$x-5=0$
解得$x_1=4$，$x_2=5$
即该直角三角形的两直角边长分别为4和5。
由勾股定理，斜边长为$\sqrt{4^2 +5^2}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}$。
答：直角三角形斜边的长为$\sqrt{41}$。

【分析】
解题可分两步思考：第一步，题目表明直角三角形的两条直角边是方程$x^2 -9x +20=0$的两个根，因此首先需要用因式分解法求解该一元二次方程，得到两条直角边的长度；第二步，已知直角三角形的两条直角边，求斜边可直接运用勾股定理计算。
【解析】
首先解方程$x^2 -9x +20=0$，对其因式分解，得：
$(x-4)(x-5)=0$
则$x-4=0$或$x-5=0$
解得$x_1=4$，$x_2=5$
即该直角三角形的两直角边长分别为4和5。
再由勾股定理计算斜边长：
$\sqrt{4^2 +5^2}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}$
【答案】
$\sqrt{41}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，勾股定理
【点评】
本题是一元二次方程解法与直角三角形性质结合的基础题，解题逻辑清晰，只要掌握因式分解解方程的方法和勾股定理，计算准确即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

11.解方程：$\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x}-4=0$.完成填空.
解:设$\frac{1}{x}=A$,则$A^2+3A-4=0$.
拆项,得$A^2+4A-A-4=0$,
即$A(A+4)-(A+4)=0$.
$\therefore (A+4)(A-1)=0$,
$\therefore A+4=0$,或$A-1=0$,
$\therefore A_1=$,$A_2=$.
$\therefore x_1=$,$x_2=$.

解:设$\frac{1}{x}=A$,则$A^2+3A-4=0$.
拆项,得$A^2+4A-A-4=0$,
即$A(A+4)-(A+4)=0$.
$\therefore (A+4)(A-1)=0$,
$\therefore A+4=0$,或$A-1=0$,
$\therefore A_1= \boldsymbol{-4}$,$A_2= \boldsymbol{1}$.
$\because \frac{1}{x}=A$,
当$A=-4$时，$\frac{1}{x}=-4$，解得$x=-\frac{1}{4}$；当$A=1$时，$\frac{1}{x}=1$，解得$x=1$.
经检验，$x=-\frac{1}{4}$和$x=1$都是原分式方程的解.
$\therefore x_1= \boldsymbol{-\frac{1}{4}}$,$x_2= \boldsymbol{1}$.

【分析】
本题是分式方程求解问题，观察原方程可发现$\frac{1}{x^2}=(\frac{1}{x})^2$，因此可采用换元法简化计算：第一步先通过换元将分式方程转化为熟悉的一元二次方程；第二步利用因式分解法解一元二次方程得到换元参数A的两个解；第三步将A的解代回换元关系式$\frac{1}{x}=A$，分别求出对应的x的值；最后因为是分式方程，需要检验所得的x是否为原方程的有效解，排除增根。
【解析】
由$(A+4)(A-1)=0$可得：
当$A+4=0$时，解得$A_1=-4$；
当$A-1=0$时，解得$A_2=1$。
又因为$\frac{1}{x}=A$，分别代入A的两个解计算x：
当$A=-4$时，$\frac{1}{x}=-4$，解得$x=-\frac{1}{4}$；
当$A=1$时，$\frac{1}{x}=1$，解得$x=1$。
经检验，$x=-\frac{1}{4}$和$x=1$代入原方程时分母均不为0，等式成立，都是原分式方程的解。
因此$x_1=-\frac{1}{4}$，$x_2=1$。
【答案】
$-4$；$1$；$-\frac{1}{4}$；$1$
【知识点】
换元法解方程；因式分解法解一元二次方程；分式方程验根
【点评】
本题重点考查换元法在解方程中的应用，通过换元可将复杂的分式方程转化为常规的一元二次方程，大幅降低解题难度，同时要注意分式方程求解后必须检验根的有效性，避免出现增根。
【难度系数】
0.8