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2.已知实数a满足$a^2 + \frac{1}{a^2} - 3a - \frac{3}{a} = 8$，求$a + \frac{1}{a}$的值.
解:$a^2 + \frac{1}{a^2} - 3a - \frac{3}{a} - 8 = 0$,
$a^2 + 2 · a · \frac{1}{a} + ( \frac{1}{a} )^2 - 3(a + \frac{1}{a}) - 10 = 0.$
$\therefore \quad (\_\_\_\_\_\_)^2 - 3(a + \frac{1}{a}) - 10 = 0.$
$\therefore \quad [ (a + \frac{1}{a}) -5 ][ (a + \frac{1}{a}) +2 ] =0.$
解:$a^2 + \frac{1}{a^2} - 3a - \frac{3}{a} - 8 = 0$,
$a^2 + 2 · a · \frac{1}{a} + ( \frac{1}{a} )^2 - 3(a + \frac{1}{a}) - 10 = 0.$
$\therefore \quad (\_\_\_\_\_\_)^2 - 3(a + \frac{1}{a}) - 10 = 0.$
$\therefore \quad [ (a + \frac{1}{a}) -5 ][ (a + \frac{1}{a}) +2 ] =0.$
答案
解:$a^2 + \frac{1}{a^2} - 3a - \frac{3}{a} - 8 = 0$,
$a^2 + 2 · a · \frac{1}{a} + ( \frac{1}{a} )^2 - 3(a + \frac{1}{a}) - 10 = 0.$
$\therefore \quad (a+\frac{1}{a})^2 - 3(a + \frac{1}{a}) - 10 = 0.$
$\therefore \quad [ (a + \frac{1}{a}) -5 ][ (a + \frac{1}{a}) +2 ] =0.$
$\therefore a+\frac{1}{a}-5=0$ 或 $a+\frac{1}{a}+2=0$，
即 $a+\frac{1}{a}=5$ 或 $a+\frac{1}{a}=-2$。
当 $a+\frac{1}{a}=5$ 时，整理得 $a^2-5a+1=0$，$\Delta=25-4=21＞0$，存在符合条件的实数$a$；
当 $a+\frac{1}{a}=-2$ 时，整理得 $a^2+2a+1=0$，即$(a+1)^2=0$，解得$a=-1$，存在符合条件的实数$a$。
$\therefore a+\frac{1}{a}$的值为$5$或$-2$。
$a^2 + 2 · a · \frac{1}{a} + ( \frac{1}{a} )^2 - 3(a + \frac{1}{a}) - 10 = 0.$
$\therefore \quad (a+\frac{1}{a})^2 - 3(a + \frac{1}{a}) - 10 = 0.$
$\therefore \quad [ (a + \frac{1}{a}) -5 ][ (a + \frac{1}{a}) +2 ] =0.$
$\therefore a+\frac{1}{a}-5=0$ 或 $a+\frac{1}{a}+2=0$，
即 $a+\frac{1}{a}=5$ 或 $a+\frac{1}{a}=-2$。
当 $a+\frac{1}{a}=5$ 时，整理得 $a^2-5a+1=0$，$\Delta=25-4=21＞0$，存在符合条件的实数$a$；
当 $a+\frac{1}{a}=-2$ 时，整理得 $a^2+2a+1=0$，即$(a+1)^2=0$，解得$a=-1$，存在符合条件的实数$a$。
$\therefore a+\frac{1}{a}$的值为$5$或$-2$。
解析
【分析】
观察已知等式的结构，式子中同时出现$a^2+\frac{1}{a^2}$和$a+\frac{1}{a}$的形式，首先想到利用完全平方公式的变形：$a^2+\frac{1}{a^2}=(a+\frac{1}{a})^2 - 2$，对原式进行变形，将其转化为仅关于$(a+\frac{1}{a})$的一元二次方程，再用因式分解法求解方程，最后需要验证所得的解是否存在对应的实数$a$，排除无实根的情况。
【解析】
首先对原式移项得：$a^2 + \frac{1}{a^2} - 3a - \frac{3}{a} - 8 = 0$，
利用完全平方公式配方，将$a^2+\frac{1}{a^2}$改写为$a^2 + 2 · a · \frac{1}{a} + (\frac{1}{a})^2 - 2$，代入上式得：
$a^2 + 2 · a · \frac{1}{a} + (\frac{1}{a})^2 - 3(a + \frac{1}{a}) - 8 - 2 = 0$，
整理得：$(a+\frac{1}{a})^2 - 3(a + \frac{1}{a}) - 10 = 0$，
将$(a+\frac{1}{a})$看作整体因式分解得：$[(a + \frac{1}{a}) -5 ][(a + \frac{1}{a}) +2 ] =0$，
$\therefore a+\frac{1}{a}-5=0$ 或 $a+\frac{1}{a}+2=0$，即 $a+\frac{1}{a}=5$ 或 $a+\frac{1}{a}=-2$。
接下来验证解的合理性：
当 $a+\frac{1}{a}=5$ 时，两边同乘$a$（$a≠0$）整理得 $a^2-5a+1=0$，根的判别式$\Delta=25-4=21＞0$，存在符合条件的实数$a$；
当 $a+\frac{1}{a}=-2$ 时，两边同乘$a$整理得 $a^2+2a+1=0$，即$(a+1)^2=0$，解得$a=-1$，存在符合条件的实数$a$。
【答案】
$5$或$-2$
【知识点】
完全平方公式；因式分解法解方程；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题重点考查代数式的变形与一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的变形，将原式转化为含整体的一元二次方程，求解后注意验证根的合理性，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
观察已知等式的结构，式子中同时出现$a^2+\frac{1}{a^2}$和$a+\frac{1}{a}$的形式，首先想到利用完全平方公式的变形：$a^2+\frac{1}{a^2}=(a+\frac{1}{a})^2 - 2$，对原式进行变形，将其转化为仅关于$(a+\frac{1}{a})$的一元二次方程，再用因式分解法求解方程，最后需要验证所得的解是否存在对应的实数$a$，排除无实根的情况。
【解析】
首先对原式移项得：$a^2 + \frac{1}{a^2} - 3a - \frac{3}{a} - 8 = 0$，
利用完全平方公式配方，将$a^2+\frac{1}{a^2}$改写为$a^2 + 2 · a · \frac{1}{a} + (\frac{1}{a})^2 - 2$，代入上式得：
$a^2 + 2 · a · \frac{1}{a} + (\frac{1}{a})^2 - 3(a + \frac{1}{a}) - 8 - 2 = 0$，
整理得：$(a+\frac{1}{a})^2 - 3(a + \frac{1}{a}) - 10 = 0$，
将$(a+\frac{1}{a})$看作整体因式分解得：$[(a + \frac{1}{a}) -5 ][(a + \frac{1}{a}) +2 ] =0$，
$\therefore a+\frac{1}{a}-5=0$ 或 $a+\frac{1}{a}+2=0$，即 $a+\frac{1}{a}=5$ 或 $a+\frac{1}{a}=-2$。
接下来验证解的合理性：
当 $a+\frac{1}{a}=5$ 时，两边同乘$a$（$a≠0$）整理得 $a^2-5a+1=0$，根的判别式$\Delta=25-4=21＞0$，存在符合条件的实数$a$；
当 $a+\frac{1}{a}=-2$ 时，两边同乘$a$整理得 $a^2+2a+1=0$，即$(a+1)^2=0$，解得$a=-1$，存在符合条件的实数$a$。
【答案】
$5$或$-2$
【知识点】
完全平方公式；因式分解法解方程；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题重点考查代数式的变形与一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的变形，将原式转化为含整体的一元二次方程，求解后注意验证根的合理性，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
∴ $a+\frac{1}{a}=$ ，或 $a+\frac{1}{a}=$ 。
答案
解：将对应关于$a+\frac{1}{a}$的二次方程用平方差公式因式分解，可得
$(a+\frac{1}{a})^2 - 9 = 0$
$(a+\frac{1}{a}+3)(a+\frac{1}{a}-3)=0$
$\therefore a+\frac{1}{a}=$ $\boldsymbol{3}$，或 $a+\frac{1}{a}=$ $\boldsymbol{-3}$。
$(a+\frac{1}{a})^2 - 9 = 0$
$(a+\frac{1}{a}+3)(a+\frac{1}{a}-3)=0$
$\therefore a+\frac{1}{a}=$ $\boldsymbol{3}$，或 $a+\frac{1}{a}=$ $\boldsymbol{-3}$。
解析
【分析】
本题要求解$a+\frac{1}{a}$的值，给出的方程是关于$a+\frac{1}{a}$的二次方程，形式为平方减常数等于0，符合平方差公式的结构。我们可以把$a+\frac{1}{a}$当作一个整体未知数，先用平方差公式对等式左边因式分解，再根据“两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，分别列方程求解即可得到结果。
【解析】
已知关于$a+\frac{1}{a}$的方程为$(a+\frac{1}{a})^2 - 9 = 0$
利用平方差公式$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$，令$m=a+\frac{1}{a}$，$n=3$，对等式左边因式分解得：
$(a+\frac{1}{a} + 3)(a+\frac{1}{a} - 3)=0$
根据因式分解法解方程的性质，可得：
$a+\frac{1}{a} + 3 = 0$ 或 $a+\frac{1}{a} - 3 = 0$
分别解得：$a+\frac{1}{a}=-3$ 或 $a+\frac{1}{a}=3$
【答案】
$3$；$-3$
【知识点】
平方差公式；因式分解法解方程；整体代换思想
【点评】
本题侧重考查因式分解解方程的方法和整体思想的运用，解题时无需拆分求解分式方程，只要识别出方程的平方差结构，将$a+\frac{1}{a}$看作整体即可快速求解，要求熟练掌握常见因式分解公式的形式特征。
【难度系数】
0.8
本题要求解$a+\frac{1}{a}$的值，给出的方程是关于$a+\frac{1}{a}$的二次方程，形式为平方减常数等于0，符合平方差公式的结构。我们可以把$a+\frac{1}{a}$当作一个整体未知数，先用平方差公式对等式左边因式分解，再根据“两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，分别列方程求解即可得到结果。
【解析】
已知关于$a+\frac{1}{a}$的方程为$(a+\frac{1}{a})^2 - 9 = 0$
利用平方差公式$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$，令$m=a+\frac{1}{a}$，$n=3$，对等式左边因式分解得：
$(a+\frac{1}{a} + 3)(a+\frac{1}{a} - 3)=0$
根据因式分解法解方程的性质，可得：
$a+\frac{1}{a} + 3 = 0$ 或 $a+\frac{1}{a} - 3 = 0$
分别解得：$a+\frac{1}{a}=-3$ 或 $a+\frac{1}{a}=3$
【答案】
$3$；$-3$
【知识点】
平方差公式；因式分解法解方程；整体代换思想
【点评】
本题侧重考查因式分解解方程的方法和整体思想的运用，解题时无需拆分求解分式方程，只要识别出方程的平方差结构，将$a+\frac{1}{a}$看作整体即可快速求解，要求熟练掌握常见因式分解公式的形式特征。
【难度系数】
0.8
1.方程$x(x-1)=0$的解为$x_1=$$,x_2=$。
答案
解：
∵ $x(x-1)=0$
∴ $x=0$ 或 $x-1=0$
解得 $x_1=0$，$x_2=1$。
∵ $x(x-1)=0$
∴ $x=0$ 或 $x-1=0$
解得 $x_1=0$，$x_2=1$。
解析
【分析】
本题适合用因式分解法求解，解题依据是零乘积性质：若两个数的乘积为0，则这两个数中至少有一个为0。我们可以借此将二次方程转化为两个一元一次方程，实现降次求解的目的，分别解两个一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
解：
∵ $x(x-1)=0$
∴ $x=0$ 或 $x-1=0$
解得 $x_1=0$，$x_2=1$
【答案】
0；1
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；零乘积性质
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，核心考查因式分解法解方程的基本思路，属于需要熟练掌握的基础得分内容。
【难度系数】
0.9
本题适合用因式分解法求解，解题依据是零乘积性质：若两个数的乘积为0，则这两个数中至少有一个为0。我们可以借此将二次方程转化为两个一元一次方程，实现降次求解的目的，分别解两个一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
解：
∵ $x(x-1)=0$
∴ $x=0$ 或 $x-1=0$
解得 $x_1=0$，$x_2=1$
【答案】
0；1
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；零乘积性质
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，核心考查因式分解法解方程的基本思路，属于需要熟练掌握的基础得分内容。
【难度系数】
0.9
2.方程$x^2 - 3x = 0$的解为。
答案
解：
对原方程左边因式分解，得
$x(x - 3) = 0$
$\therefore x = 0$ 或 $x - 3 = 0$
解得 $x_1 = 0$，$x_2 = 3$
对原方程左边因式分解，得
$x(x - 3) = 0$
$\therefore x = 0$ 或 $x - 3 = 0$
解得 $x_1 = 0$，$x_2 = 3$
解析
【分析】
本题是一元二次方程求解问题，观察方程特征可知右侧为0，左侧多项式含有公因式x，适合用因式分解法求解。解题思路为：第一步对左侧多项式提取公因式进行因式分解，第二步根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，将二次方程转化为两个一元一次方程，第三步分别求解两个一元一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
对原方程左边因式分解，提取公因式x，得：
$x(x - 3) = 0$
根据乘积为0的因式性质可得：
$x = 0$ 或 $x - 3 = 0$
分别解两个一元一次方程，最终得$x_1=0$，$x_2=3$。
【答案】
$x_1=0$，$x_2=3$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题型，重点考查因式分解法在一元二次方程求解中的应用，解题的核心是正确对多项式进行因式分解，利用因式分解实现降次，将二次方程转化为熟悉的一元一次方程求解。
【难度系数】
0.9
本题是一元二次方程求解问题，观察方程特征可知右侧为0，左侧多项式含有公因式x，适合用因式分解法求解。解题思路为：第一步对左侧多项式提取公因式进行因式分解，第二步根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，将二次方程转化为两个一元一次方程，第三步分别求解两个一元一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
对原方程左边因式分解，提取公因式x，得：
$x(x - 3) = 0$
根据乘积为0的因式性质可得：
$x = 0$ 或 $x - 3 = 0$
分别解两个一元一次方程，最终得$x_1=0$，$x_2=3$。
【答案】
$x_1=0$，$x_2=3$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题型，重点考查因式分解法在一元二次方程求解中的应用，解题的核心是正确对多项式进行因式分解，利用因式分解实现降次，将二次方程转化为熟悉的一元一次方程求解。
【难度系数】
0.9
3.方程 $x(x+1)=3(x+1)$ 的解为 $x_1=$ ,$x_2=$ .
答案
解：
移项，得 $x(x+1)-3(x+1)=0$
因式分解，得 $(x+1)(x-3)=0$
于是得 $x+1=0$ 或 $x-3=0$
解得 $x_1=-1$，$x_2=3$
移项，得 $x(x+1)-3(x+1)=0$
因式分解，得 $(x+1)(x-3)=0$
于是得 $x+1=0$ 或 $x-3=0$
解得 $x_1=-1$，$x_2=3$
解析
【分析】
观察方程两边都含有公因式$(x+1)$，注意不能直接两边同时除以$(x+1)$，否则会漏掉$x=-1$这个解。解题思路为先移项，将所有项移到等号左侧使右侧为0，再提取公因式$(x+1)$进行因式分解，把一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解。
【解析】
移项，得 $x(x+1)-3(x+1)=0$
因式分解，提取公因式$(x+1)$，得 $(x+1)(x-3)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得 $x+1=0$ 或 $x-3=0$
当$x+1=0$时，解得$x=-1$；当$x-3=0$时，解得$x=3$。
【答案】
$-1$；$3$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，易错点是直接将方程两边同时除以含未知数的整式$(x+1)$，导致漏掉$x=-1$的解，解题时优先选择移项提公因式的方法更稳妥。
【难度系数】
0.8
观察方程两边都含有公因式$(x+1)$，注意不能直接两边同时除以$(x+1)$，否则会漏掉$x=-1$这个解。解题思路为先移项，将所有项移到等号左侧使右侧为0，再提取公因式$(x+1)$进行因式分解，把一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解。
【解析】
移项，得 $x(x+1)-3(x+1)=0$
因式分解，提取公因式$(x+1)$，得 $(x+1)(x-3)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得 $x+1=0$ 或 $x-3=0$
当$x+1=0$时，解得$x=-1$；当$x-3=0$时，解得$x=3$。
【答案】
$-1$；$3$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，易错点是直接将方程两边同时除以含未知数的整式$(x+1)$，导致漏掉$x=-1$的解，解题时优先选择移项提公因式的方法更稳妥。
【难度系数】
0.8
4.方程$(x-2)^2 -3(2-x)=0$的解是()
A.2或5
B.2或-1
C.-2或1
D.-2或-5
A.2或5
B.2或-1
C.-2或1
D.-2或-5
答案
B
解析
【分析】
观察方程结构可发现，式子中$(x-2)$和$(2-x)$互为相反数，无需将方程展开整理为一般式，可先将式子变形为含相同公因式的形式，再用提取公因式法因式分解，把一元二次方程转化为两个一元一次方程分别求解，这种方法比常规展开计算更简便，还能减少计算错误。
【解析】
解：原方程可变形为：
$(x-2)^2 + 3(x-2) = 0$
提取公因式$(x-2)$，得：
$(x-2)(x-2 + 3) = 0$
整理得：
$(x-2)(x+1) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x-2=0$ 或 $x+1=0$
分别解得$x_1=2$，$x_2=-1$
即方程的解为2或-1。
【答案】
B
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程
2.提取公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题关键是观察方程特征选择简便解法，要熟练掌握互为相反数的式子的变形技巧，避免符号处理出错，用因式分解法可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
观察方程结构可发现，式子中$(x-2)$和$(2-x)$互为相反数，无需将方程展开整理为一般式，可先将式子变形为含相同公因式的形式，再用提取公因式法因式分解，把一元二次方程转化为两个一元一次方程分别求解，这种方法比常规展开计算更简便，还能减少计算错误。
【解析】
解：原方程可变形为：
$(x-2)^2 + 3(x-2) = 0$
提取公因式$(x-2)$，得：
$(x-2)(x-2 + 3) = 0$
整理得：
$(x-2)(x+1) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x-2=0$ 或 $x+1=0$
分别解得$x_1=2$，$x_2=-1$
即方程的解为2或-1。
【答案】
B
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程
2.提取公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题关键是观察方程特征选择简便解法，要熟练掌握互为相反数的式子的变形技巧，避免符号处理出错，用因式分解法可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
5.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是（）
①将方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2 +bx +c=0$；②将方程的左边$ax^2 +bx +c$分解成两个一次因式的积；③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
A.①②③④
B.②①④③
C.④③①②
D.②③④①
①将方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2 +bx +c=0$；②将方程的左边$ax^2 +bx +c$分解成两个一次因式的积；③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
A.①②③④
B.②①④③
C.④③①②
D.②③④①
答案
A
解析
【分析】
这道题考查因式分解法解一元二次方程的操作顺序，我们可按照解方程的逻辑梳理步骤：首先要保证方程右边为0，因此得先把方程整理成一般形式；接下来才能对左边的二次三项式进行因式分解，得到两个一次因式的乘积；再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质，分别令两个因式为0，得到两个一元一次方程；最后解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解，据此可判断正确的步骤顺序。
【解析】
我们按照解方程的逻辑逐一确定步骤先后：
1. 首先要保证等式右边为0，才能利用乘积为0的性质，因此第一步要将方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2 +bx +c=0$，对应步骤①；
2. 方程化为一般形式后，再将左边的二次三项式$ax^2 +bx +c$分解成两个一次因式的积，对应步骤②；
3. 根据“乘积为0的若干个因式中，至少有一个因式为0”的性质，令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程，对应步骤③；
4. 最后解这两个一元一次方程，得到的解就是原方程的解，对应步骤④。
因此正确顺序为①②③④，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解法解方程；一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考查对因式分解法解一元二次方程步骤的掌握，熟悉操作逻辑即可快速得分。
【难度系数】
0.9
这道题考查因式分解法解一元二次方程的操作顺序，我们可按照解方程的逻辑梳理步骤：首先要保证方程右边为0，因此得先把方程整理成一般形式；接下来才能对左边的二次三项式进行因式分解，得到两个一次因式的乘积；再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质，分别令两个因式为0，得到两个一元一次方程；最后解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解，据此可判断正确的步骤顺序。
【解析】
我们按照解方程的逻辑逐一确定步骤先后：
1. 首先要保证等式右边为0，才能利用乘积为0的性质，因此第一步要将方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2 +bx +c=0$，对应步骤①；
2. 方程化为一般形式后，再将左边的二次三项式$ax^2 +bx +c$分解成两个一次因式的积，对应步骤②；
3. 根据“乘积为0的若干个因式中，至少有一个因式为0”的性质，令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程，对应步骤③；
4. 最后解这两个一元一次方程，得到的解就是原方程的解，对应步骤④。
因此正确顺序为①②③④，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解法解方程；一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考查对因式分解法解一元二次方程步骤的掌握，熟悉操作逻辑即可快速得分。
【难度系数】
0.9
6.如果$x^2 -2x -2=(x+1)^0$，那么$x$的值为
（）
A.3或-1
B.0或1
C.3
D.-1
（）
A.3或-1
B.0或1
C.3
D.-1
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要注意零指数幂的隐含限制条件：零指数幂的底数不能为0，否则无意义，且非零数的零次幂等于1。因此解题第一步先确定x的取值范围，再将原方程转化为一元二次方程，用因式分解法求解后，舍去不符合取值范围的根即可得到正确结果。
【解析】
首先，根据零指数幂的定义，$(x+1)^0$有意义的前提是$x+1≠0$，即$x≠-1$，且此时$(x+1)^0=1$。
将其代入原方程可得：
$x^2 -2x -2=1$
移项整理得：
$x^2 -2x -3=0$
用因式分解法解方程，将左边分解因式：
$(x-3)(x+1)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
结合之前的取值限制$x≠-1$，舍去$x=-1$，因此$x$的值为3。
【答案】
C
【知识点】
零指数幂的性质；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题易错点是忽略零指数幂底数不为0的隐含条件，直接解方程后误选包含-1的选项，解题时要注意先梳理题目中的隐含限制条件，求出方程的解后要验证是否符合条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先要注意零指数幂的隐含限制条件：零指数幂的底数不能为0，否则无意义，且非零数的零次幂等于1。因此解题第一步先确定x的取值范围，再将原方程转化为一元二次方程，用因式分解法求解后，舍去不符合取值范围的根即可得到正确结果。
【解析】
首先，根据零指数幂的定义，$(x+1)^0$有意义的前提是$x+1≠0$，即$x≠-1$，且此时$(x+1)^0=1$。
将其代入原方程可得：
$x^2 -2x -2=1$
移项整理得：
$x^2 -2x -3=0$
用因式分解法解方程，将左边分解因式：
$(x-3)(x+1)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
结合之前的取值限制$x≠-1$，舍去$x=-1$，因此$x$的值为3。
【答案】
C
【知识点】
零指数幂的性质；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题易错点是忽略零指数幂底数不为0的隐含条件，直接解方程后误选包含-1的选项，解题时要注意先梳理题目中的隐含限制条件，求出方程的解后要验证是否符合条件。
【难度系数】
0.7
7.若关于$x$的一元二次方程$(k-1)x^2 + x + k^2 + 2k - 3 = 0$有一个根为0，那么$k$的值是（）
A.1
B.1或$-3$
C.$-3$
D.以上都不对
A.1
B.1或$-3$
C.$-3$
D.以上都不对
答案
C
解析
【分析】
解题需抓住两个核心条件：一是方程的根满足方程，可将x=0代入原方程得到关于k的方程，解出k的可能值；二是题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，需对求出的k值进行验证，排除不符合要求的解，最终得到正确的k值。
【解析】
1. 将x=0代入原方程，得：
$k^2 + 2k - 3 = 0$
因式分解得：$(k+3)(k-1)=0$
解得：$k_1=1$，$k_2=-3$
2. 因为原方程是一元二次方程，所以二次项系数$k-1≠0$，即$k≠1$，因此舍去$k=1$，最终$k=-3$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，容易误选B，解题时要注意结合题目给出的方程类型，对所求参数进行取舍。
【难度系数】
0.6
解题需抓住两个核心条件：一是方程的根满足方程，可将x=0代入原方程得到关于k的方程，解出k的可能值；二是题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，需对求出的k值进行验证，排除不符合要求的解，最终得到正确的k值。
【解析】
1. 将x=0代入原方程，得：
$k^2 + 2k - 3 = 0$
因式分解得：$(k+3)(k-1)=0$
解得：$k_1=1$，$k_2=-3$
2. 因为原方程是一元二次方程，所以二次项系数$k-1≠0$，即$k≠1$，因此舍去$k=1$，最终$k=-3$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，容易误选B，解题时要注意结合题目给出的方程类型，对所求参数进行取舍。
【难度系数】
0.6
8. 已知正比例函数 $y=-\frac{5}{13}x$ 图象上有一个点M，点M的横坐标是方程 $x^2 +6x -91=0$ 的一个根，则点M的纵坐标为()
A.$-5$
B.$5$或$-\frac{35}{13}$
C.$5$或$\frac{35}{13}$
D.$\frac{35}{13}$
A.$-5$
B.$5$或$-\frac{35}{13}$
C.$5$或$\frac{35}{13}$
D.$\frac{35}{13}$
答案
B
解析
【分析】
解题可分为两步：第一步先求解一元二次方程$x^2 +6x -91=0$，得到点M横坐标的两个可能取值；第二步将得到的横坐标分别代入正比例函数解析式，计算即可得到点M的纵坐标，注意方程有两个根，不要漏解。
【解析】
1. 求解一元二次方程$x^2 +6x -91=0$：
用因式分解法对左侧因式分解，可得$(x+13)(x-7)=0$，
解得$x_1=-13$，$x_2=7$，即点M的横坐标为$-13$或$7$。
2. 求点M的纵坐标：
因为点M在正比例函数$y=-\frac{5}{13}x$的图象上，
当$x=-13$时，$y=-\frac{5}{13}×(-13)=5$；
当$x=7$时，$y=-\frac{5}{13}×7=-\frac{35}{13}$。
因此点M的纵坐标为$5$或$-\frac{35}{13}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 正比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是正确求出一元二次方程的根，再代入函数解析式计算即可，解题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
解题可分为两步：第一步先求解一元二次方程$x^2 +6x -91=0$，得到点M横坐标的两个可能取值；第二步将得到的横坐标分别代入正比例函数解析式，计算即可得到点M的纵坐标，注意方程有两个根，不要漏解。
【解析】
1. 求解一元二次方程$x^2 +6x -91=0$：
用因式分解法对左侧因式分解，可得$(x+13)(x-7)=0$，
解得$x_1=-13$，$x_2=7$，即点M的横坐标为$-13$或$7$。
2. 求点M的纵坐标：
因为点M在正比例函数$y=-\frac{5}{13}x$的图象上，
当$x=-13$时，$y=-\frac{5}{13}×(-13)=5$；
当$x=7$时，$y=-\frac{5}{13}×7=-\frac{35}{13}$。
因此点M的纵坐标为$5$或$-\frac{35}{13}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 正比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是正确求出一元二次方程的根，再代入函数解析式计算即可，解题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
9. 解下列方程：
(1)$4x^2 -144x =0$；
(2)$2(5x-1)^2 =3(1-5x)$；
(3)$(x-1)^2=(3+2x)^2$；
(4)$x(2x-3)=4x-6$；
(5)$1-8x+16x^2=2-4x^2$。
(1)$4x^2 -144x =0$；
(2)$2(5x-1)^2 =3(1-5x)$；
(3)$(x-1)^2=(3+2x)^2$；
(4)$x(2x-3)=4x-6$；
(5)$1-8x+16x^2=2-4x^2$。
答案
解：
(1) 因式分解，得
$4x(x - 36)=0$
$\therefore 4x=0$ 或 $x-36=0$
$\therefore x_1=0,\ x_2=36$
(2) 移项，得
$2(5x-1)^2 + 3(5x-1)=0$
因式分解，得
$(5x-1)[2(5x-1)+3]=0$
整理得
$(5x-1)(10x+1)=0$
$\therefore 5x-1=0$ 或 $10x+1=0$
$\therefore x_1=\frac{1}{5},\ x_2=-\frac{1}{10}$
(3) 移项，得
$(x-1)^2 - (3+2x)^2=0$
因式分解（平方差公式），得
$[(x-1)+(3+2x)][(x-1)-(3+2x)]=0$
整理得
$(3x+2)(-x-4)=0$
即 $(3x+2)(x+4)=0$
$\therefore 3x+2=0$ 或 $x+4=0$
$\therefore x_1=-\frac{2}{3},\ x_2=-4$
(4) 移项，得
$x(2x-3)-2(2x-3)=0$
因式分解，得
$(2x-3)(x-2)=0$
$\therefore 2x-3=0$ 或 $x-2=0$
$\therefore x_1=\frac{3}{2},\ x_2=2$
(5) 移项、合并同类项，得
$20x^2 -8x -1=0$
因式分解，得
$(10x+1)(2x-1)=0$
$\therefore 10x+1=0$ 或 $2x-1=0$
$\therefore x_1=-\frac{1}{10},\ x_2=\frac{1}{2}$
(1) 因式分解，得
$4x(x - 36)=0$
$\therefore 4x=0$ 或 $x-36=0$
$\therefore x_1=0,\ x_2=36$
(2) 移项，得
$2(5x-1)^2 + 3(5x-1)=0$
因式分解，得
$(5x-1)[2(5x-1)+3]=0$
整理得
$(5x-1)(10x+1)=0$
$\therefore 5x-1=0$ 或 $10x+1=0$
$\therefore x_1=\frac{1}{5},\ x_2=-\frac{1}{10}$
(3) 移项，得
$(x-1)^2 - (3+2x)^2=0$
因式分解（平方差公式），得
$[(x-1)+(3+2x)][(x-1)-(3+2x)]=0$
整理得
$(3x+2)(-x-4)=0$
即 $(3x+2)(x+4)=0$
$\therefore 3x+2=0$ 或 $x+4=0$
$\therefore x_1=-\frac{2}{3},\ x_2=-4$
(4) 移项，得
$x(2x-3)-2(2x-3)=0$
因式分解，得
$(2x-3)(x-2)=0$
$\therefore 2x-3=0$ 或 $x-2=0$
$\therefore x_1=\frac{3}{2},\ x_2=2$
(5) 移项、合并同类项，得
$20x^2 -8x -1=0$
因式分解，得
$(10x+1)(2x-1)=0$
$\therefore 10x+1=0$ 或 $2x-1=0$
$\therefore x_1=-\frac{1}{10},\ x_2=\frac{1}{2}$
解析
【分析】
这组题目均适合用因式分解法求解一元二次方程，解题核心思路是：先将方程整理为“若干个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若几个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，注意不要直接两边除以含未知数的代数式，防止漏根。
各小题具体思考方向：
(1) 方程左边两项有公因式4x，直接提公因式分解即可；
(2) 先将右边的$3(1-5x)$变形为$-3(5x-1)$，移项后提取公因式$(5x-1)$分解；
(3) 移项后左边是两个平方的差，用平方差公式因式分解；
(4) 右边$4x-6$提取公因式2后可得$2(2x-3)$，移项后提取公因式$(2x-3)$分解；
(5) 先移项合并同类项化为一元二次方程的一般形式，再用十字相乘法因式分解。
【解析】
(1) 因式分解，得
$4x(x - 36)=0$
$\therefore 4x=0$ 或 $x-36=0$
$\therefore x_1=0,\ x_2=36$
(2) 移项，得
$2(5x-1)^2 + 3(5x-1)=0$
因式分解，得
$(5x-1)[2(5x-1)+3]=0$
整理得
$(5x-1)(10x+1)=0$
$\therefore 5x-1=0$ 或 $10x+1=0$
$\therefore x_1=\frac{1}{5},\ x_2=-\frac{1}{10}$
(3) 移项，得
$(x-1)^2 - (3+2x)^2=0$
因式分解（平方差公式），得
$[(x-1)+(3+2x)][(x-1)-(3+2x)]=0$
整理得
$(3x+2)(-x-4)=0$
即 $(3x+2)(x+4)=0$
$\therefore 3x+2=0$ 或 $x+4=0$
$\therefore x_1=-\frac{2}{3},\ x_2=-4$
(4) 移项，得
$x(2x-3)-2(2x-3)=0$
因式分解，得
$(2x-3)(x-2)=0$
$\therefore 2x-3=0$ 或 $x-2=0$
$\therefore x_1=\frac{3}{2},\ x_2=2$
(5) 移项、合并同类项，得
$20x^2 -8x -1=0$
因式分解，得
$(10x+1)(2x-1)=0$
$\therefore 10x+1=0$ 或 $2x-1=0$
$\therefore x_1=-\frac{1}{10},\ x_2=\frac{1}{2}$
【答案】
(1) $x_1=0,\ x_2=36$
(2) $x_1=\frac{1}{5},\ x_2=-\frac{1}{10}$
(3) $x_1=-\frac{2}{3},\ x_2=-4$
(4) $x_1=\frac{3}{2},\ x_2=2$
(5) $x_1=-\frac{1}{10},\ x_2=\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
3. 平方差公式因式分解
【点评】
这组题是因式分解法解一元二次方程的典型基础题，需根据方程的结构特征灵活选择因式分解的方法，解题时注意不要随意约掉含未知数的公因式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.8
这组题目均适合用因式分解法求解一元二次方程，解题核心思路是：先将方程整理为“若干个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若几个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，注意不要直接两边除以含未知数的代数式，防止漏根。
各小题具体思考方向：
(1) 方程左边两项有公因式4x，直接提公因式分解即可；
(2) 先将右边的$3(1-5x)$变形为$-3(5x-1)$，移项后提取公因式$(5x-1)$分解；
(3) 移项后左边是两个平方的差，用平方差公式因式分解；
(4) 右边$4x-6$提取公因式2后可得$2(2x-3)$，移项后提取公因式$(2x-3)$分解；
(5) 先移项合并同类项化为一元二次方程的一般形式，再用十字相乘法因式分解。
【解析】
(1) 因式分解，得
$4x(x - 36)=0$
$\therefore 4x=0$ 或 $x-36=0$
$\therefore x_1=0,\ x_2=36$
(2) 移项，得
$2(5x-1)^2 + 3(5x-1)=0$
因式分解，得
$(5x-1)[2(5x-1)+3]=0$
整理得
$(5x-1)(10x+1)=0$
$\therefore 5x-1=0$ 或 $10x+1=0$
$\therefore x_1=\frac{1}{5},\ x_2=-\frac{1}{10}$
(3) 移项，得
$(x-1)^2 - (3+2x)^2=0$
因式分解（平方差公式），得
$[(x-1)+(3+2x)][(x-1)-(3+2x)]=0$
整理得
$(3x+2)(-x-4)=0$
即 $(3x+2)(x+4)=0$
$\therefore 3x+2=0$ 或 $x+4=0$
$\therefore x_1=-\frac{2}{3},\ x_2=-4$
(4) 移项，得
$x(2x-3)-2(2x-3)=0$
因式分解，得
$(2x-3)(x-2)=0$
$\therefore 2x-3=0$ 或 $x-2=0$
$\therefore x_1=\frac{3}{2},\ x_2=2$
(5) 移项、合并同类项，得
$20x^2 -8x -1=0$
因式分解，得
$(10x+1)(2x-1)=0$
$\therefore 10x+1=0$ 或 $2x-1=0$
$\therefore x_1=-\frac{1}{10},\ x_2=\frac{1}{2}$
【答案】
(1) $x_1=0,\ x_2=36$
(2) $x_1=\frac{1}{5},\ x_2=-\frac{1}{10}$
(3) $x_1=-\frac{2}{3},\ x_2=-4$
(4) $x_1=\frac{3}{2},\ x_2=2$
(5) $x_1=-\frac{1}{10},\ x_2=\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
3. 平方差公式因式分解
【点评】
这组题是因式分解法解一元二次方程的典型基础题，需根据方程的结构特征灵活选择因式分解的方法，解题时注意不要随意约掉含未知数的公因式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.8
