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12.若关于$x$的方程$x^2 + bx + c = 0$有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”.例如，方程$x^2 + 2x = 0$的两个根是$x_1 = 0$，$x_2 = -2$，则方程$x^2 + 2x = 0$是“隔根方程”.
(1)方程$x^2 -2x -15=0$是“隔根方程”吗？判断并说明理由；
(2)若关于$x$的方程$x^2 + mx + m -1 =0$是“隔根方程”，求$m$的值.
(1)方程$x^2 -2x -15=0$是“隔根方程”吗？判断并说明理由；
(2)若关于$x$的方程$x^2 + mx + m -1 =0$是“隔根方程”，求$m$的值.
答案
解：
(1) 该方程不是“隔根方程”，理由如下：
对$x^2 - 2x -15=0$因式分解，得
$(x-5)(x+3)=0$
所以$x-5=0$或$x+3=0$
解得$x_1=5$，$x_2=-3$
两个根的差为$5 - (-3)=8 ≠ 2$，因此该方程不是“隔根方程”。
(2) 对$x^2 + mx + m -1=0$因式分解，得
$(x+1)(x + m -1)=0$
所以$x+1=0$或$x + m -1=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=1 - m$
因为该方程是“隔根方程”，所以两根之差的绝对值为2，即
$|(1 - m) - (-1)| = 2$
化简得$|2 - m| = 2$
则$2 - m = 2$或$2 - m = -2$
解得$m_1=0$，$m_2=4$
所以$m$的值为0或4。
(1) 该方程不是“隔根方程”，理由如下：
对$x^2 - 2x -15=0$因式分解，得
$(x-5)(x+3)=0$
所以$x-5=0$或$x+3=0$
解得$x_1=5$，$x_2=-3$
两个根的差为$5 - (-3)=8 ≠ 2$，因此该方程不是“隔根方程”。
(2) 对$x^2 + mx + m -1=0$因式分解，得
$(x+1)(x + m -1)=0$
所以$x+1=0$或$x + m -1=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=1 - m$
因为该方程是“隔根方程”，所以两根之差的绝对值为2，即
$|(1 - m) - (-1)| = 2$
化简得$|2 - m| = 2$
则$2 - m = 2$或$2 - m = -2$
解得$m_1=0$，$m_2=4$
所以$m$的值为0或4。
解析
【分析】
(1) 判断给定方程是否为“隔根方程”，需先求解方程得到两个实数根，再计算两根的差是否为2，符合则是“隔根方程”，否则不是。首先用因式分解法解$x^2-2x-15=0$，求出两根后计算差值即可判断。
(2) 已知方程是“隔根方程”，首先用因式分解法求出方程的两个用含$m$的代数式表示的根，再根据“隔根方程”两根相差2的特征，列出绝对值方程，分两种情况求解即可得到$m$的值，注意绝对值方程求解时不要遗漏情况。
【解析】
(1) 该方程不是“隔根方程”，理由如下：
对$x^2 - 2x -15=0$因式分解，得
$(x-5)(x+3)=0$
所以$x-5=0$或$x+3=0$
解得$x_1=5$，$x_2=-3$
两个根的差为$5 - (-3)=8 ≠ 2$，因此该方程不是“隔根方程”。
(2) 对$x^2 + mx + m -1=0$因式分解，得
$(x+1)(x + m -1)=0$
所以$x+1=0$或$x + m -1=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=1 - m$
因为该方程是“隔根方程”，所以两根之差的绝对值为2，即
$|(1 - m) - (-1)| = 2$
化简得$|2 - m| = 2$
则$2 - m = 2$或$2 - m = -2$
解得$m_1=0$，$m_2=4$
所以$m$的值为0或4。
【答案】
(1) 不是“隔根方程”；(2) $m=0$或$m=4$
【知识点】
因式分解解一元二次方程，绝对值方程求解，新定义应用
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的相关计算，解题关键是准确理解“隔根方程”的含义，先正确求出方程的根，再结合定义列等式计算，求解绝对值方程时注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 判断给定方程是否为“隔根方程”，需先求解方程得到两个实数根，再计算两根的差是否为2，符合则是“隔根方程”，否则不是。首先用因式分解法解$x^2-2x-15=0$，求出两根后计算差值即可判断。
(2) 已知方程是“隔根方程”，首先用因式分解法求出方程的两个用含$m$的代数式表示的根，再根据“隔根方程”两根相差2的特征，列出绝对值方程，分两种情况求解即可得到$m$的值，注意绝对值方程求解时不要遗漏情况。
【解析】
(1) 该方程不是“隔根方程”，理由如下：
对$x^2 - 2x -15=0$因式分解，得
$(x-5)(x+3)=0$
所以$x-5=0$或$x+3=0$
解得$x_1=5$，$x_2=-3$
两个根的差为$5 - (-3)=8 ≠ 2$，因此该方程不是“隔根方程”。
(2) 对$x^2 + mx + m -1=0$因式分解，得
$(x+1)(x + m -1)=0$
所以$x+1=0$或$x + m -1=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=1 - m$
因为该方程是“隔根方程”，所以两根之差的绝对值为2，即
$|(1 - m) - (-1)| = 2$
化简得$|2 - m| = 2$
则$2 - m = 2$或$2 - m = -2$
解得$m_1=0$，$m_2=4$
所以$m$的值为0或4。
【答案】
(1) 不是“隔根方程”；(2) $m=0$或$m=4$
【知识点】
因式分解解一元二次方程，绝对值方程求解，新定义应用
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的相关计算，解题关键是准确理解“隔根方程”的含义，先正确求出方程的根，再结合定义列等式计算，求解绝对值方程时注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
13.阅读材料：
由多项式乘法得$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$。
示例：
分解因式 $x^2+5x+6=x^2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3)$。
(1)尝试：$x^2+6x+8=(x+\_\_\_\_\_\_)(x+\_\_\_\_\_\_)$；
(2)应用：请用上述方法解方程 $x^2-3x-4=0$；
(3)拓展：用因式分解法解方程 $x^2 -kx -16=0$时，得到的两根均为整数，则$k$的值可以为________。
由多项式乘法得$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$。
示例：
分解因式 $x^2+5x+6=x^2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3)$。
(1)尝试：$x^2+6x+8=(x+\_\_\_\_\_\_)(x+\_\_\_\_\_\_)$；
(2)应用：请用上述方法解方程 $x^2-3x-4=0$；
(3)拓展：用因式分解法解方程 $x^2 -kx -16=0$时，得到的两根均为整数，则$k$的值可以为________。
答案
解：
(1) $x^2+6x+8=x^2+(2+4)x+2×4=(x+2)(x+4)$，故依次填$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{4}$；
(2) $x^2-3x-4=0$
因式分解得：$x^2+(-4+1)x+(-4)×1=0$
即$(x-4)(x+1)=0$
$\therefore x-4=0$ 或 $x+1=0$
解得 $x_1=4$，$x_2=-1$；
(3) 设$x^2 -kx -16=(x+a)(x+b)$，则$ab=-16$，$a+b=-k$。
乘积为$-16$的整数对有$(-1,16)$、$(1,-16)$、$(-2,8)$、$(2,-8)$、$(-4,4)$，对应计算得$k=-(a+b)$的值为$-15,15,-6,6,0$，故$k$的值可以为$\boldsymbol{15}$（答案不唯一）。
(1) $x^2+6x+8=x^2+(2+4)x+2×4=(x+2)(x+4)$，故依次填$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{4}$；
(2) $x^2-3x-4=0$
因式分解得：$x^2+(-4+1)x+(-4)×1=0$
即$(x-4)(x+1)=0$
$\therefore x-4=0$ 或 $x+1=0$
解得 $x_1=4$，$x_2=-1$；
(3) 设$x^2 -kx -16=(x+a)(x+b)$，则$ab=-16$，$a+b=-k$。
乘积为$-16$的整数对有$(-1,16)$、$(1,-16)$、$(-2,8)$、$(2,-8)$、$(-4,4)$，对应计算得$k=-(a+b)$的值为$-15,15,-6,6,0$，故$k$的值可以为$\boldsymbol{15}$（答案不唯一）。
解析
【分析】
这道题围绕材料给出的十字相乘法因式分解展开考查。(1)小题只需找到两个整数，满足两数乘积等于常数项8、两数之和等于一次项系数6，即可完成因式分解；(2)小题先利用十字相乘法将方程左侧的二次三项式分解为两个一次因式的乘积，再根据“若两个因式乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质，分别解两个一元一次方程即可得解；(3)小题先设方程左侧可分解为$(x+a)(x+b)$的形式，根据十字相乘规则可得$ab=-16$、$a+b=-k$，列出所有乘积为-16的整数对，计算对应$a+b$的值即可得到$k$的可能取值，任选其一作答即可。
【解析】
(1) 对$x^2+6x+8$分解因式，寻找满足和为6、积为8的两个整数，可得$2+4=6$，$2×4=8$，因此$x^2+6x+8=x^2+(2+4)x+2×4=(x+2)(x+4)$；
(2) 解方程$x^2-3x-4=0$：
首先对左侧因式分解，寻找满足和为-3、积为-4的两个整数，可得$-4+1=-3$，$(-4)×1=-4$，因此原式可变形为：
$(x-4)(x+1)=0$
由因式乘积为0的性质得：
$x-4=0$ 或 $x+1=0$
分别解得：$x_1=4$，$x_2=-1$；
(3) 设$x^2 -kx -16=(x+a)(x+b)$，根据十字相乘规则可得$ab=-16$，$a+b=-k$。
乘积为$-16$的整数对有$(-1,16)$、$(1,-16)$、$(-2,8)$、$(2,-8)$、$(-4,4)$，对应$a+b$的值分别为15、-15、6、-6、0，因此$k=-(a+b)$的可能值为$-15、15、-6、6、0$，任选其一即可。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{4}$；
(2) $\boldsymbol{x_1=4，x_2=-1}$；
(3) $\boldsymbol{15}$（答案不唯一）
【知识点】
十字相乘法因式分解，因式分解法解一元二次方程，整数因数分解
【点评】
本题以阅读材料的形式引入十字相乘法，考查点从基础因式分解到解方程，再到拓展求参数，难度逐层递进，既考查对新方法的理解吸收能力，也考查分类讨论思想的运用，对灵活应用所学知识解题的能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
这道题围绕材料给出的十字相乘法因式分解展开考查。(1)小题只需找到两个整数，满足两数乘积等于常数项8、两数之和等于一次项系数6，即可完成因式分解；(2)小题先利用十字相乘法将方程左侧的二次三项式分解为两个一次因式的乘积，再根据“若两个因式乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质，分别解两个一元一次方程即可得解；(3)小题先设方程左侧可分解为$(x+a)(x+b)$的形式，根据十字相乘规则可得$ab=-16$、$a+b=-k$，列出所有乘积为-16的整数对，计算对应$a+b$的值即可得到$k$的可能取值，任选其一作答即可。
【解析】
(1) 对$x^2+6x+8$分解因式，寻找满足和为6、积为8的两个整数，可得$2+4=6$，$2×4=8$，因此$x^2+6x+8=x^2+(2+4)x+2×4=(x+2)(x+4)$；
(2) 解方程$x^2-3x-4=0$：
首先对左侧因式分解，寻找满足和为-3、积为-4的两个整数，可得$-4+1=-3$，$(-4)×1=-4$，因此原式可变形为：
$(x-4)(x+1)=0$
由因式乘积为0的性质得：
$x-4=0$ 或 $x+1=0$
分别解得：$x_1=4$，$x_2=-1$；
(3) 设$x^2 -kx -16=(x+a)(x+b)$，根据十字相乘规则可得$ab=-16$，$a+b=-k$。
乘积为$-16$的整数对有$(-1,16)$、$(1,-16)$、$(-2,8)$、$(2,-8)$、$(-4,4)$，对应$a+b$的值分别为15、-15、6、-6、0，因此$k=-(a+b)$的可能值为$-15、15、-6、6、0$，任选其一即可。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{4}$；
(2) $\boldsymbol{x_1=4，x_2=-1}$；
(3) $\boldsymbol{15}$（答案不唯一）
【知识点】
十字相乘法因式分解，因式分解法解一元二次方程，整数因数分解
【点评】
本题以阅读材料的形式引入十字相乘法，考查点从基础因式分解到解方程，再到拓展求参数，难度逐层递进，既考查对新方法的理解吸收能力，也考查分类讨论思想的运用，对灵活应用所学知识解题的能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
