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6.（重庆中考）如图14-9，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，$D$为$BC$上一点，连接$AD$。过点$B$作$BE⊥ AD$，垂足为$E$，过点$C$作$CF⊥ AD$交$AD$的延长线于点$F$。若$BE=4$，$CF=1$，则$EF$的长度为
3
。答案
6. 3
解析
【分析】
解题时首先结合已知的直角条件，利用同角的余角相等推导角的等量关系，再结合AB=AC的边相等条件，证明△ABE和△CAF全等，通过全等三角形对应边相等的性质得到AE、AF的长度，最后用线段差计算EF的长度即可。
【解析】
解：
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE + ∠CAF = 90°，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB = ∠F = 90°，
∴∠BAE + ∠ABE = 90°，
∴∠ABE = ∠CAF（同角的余角相等）。
在△ABE和△CAF中：
$\begin{cases}∠AEB = ∠F \\∠ABE = ∠CAF \\AB = AC\end{cases}$
∴△ABE ≌ △CAF（AAS），
∴AE = CF = 1，AF = BE = 4，
∴EF = AF - AE = 4 - 1 = 3。
【答案】
3
【知识点】
全等三角形的判定与性质，同角的余角相等
【点评】
本题属于三角形全等的典型应用题型，解题关键是利用直角的性质推导等角，构造全等三角形转化线段的长度关系，侧重考查学生对全等三角形判定和性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知的直角条件，利用同角的余角相等推导角的等量关系，再结合AB=AC的边相等条件，证明△ABE和△CAF全等，通过全等三角形对应边相等的性质得到AE、AF的长度，最后用线段差计算EF的长度即可。
【解析】
解：
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE + ∠CAF = 90°，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB = ∠F = 90°，
∴∠BAE + ∠ABE = 90°，
∴∠ABE = ∠CAF（同角的余角相等）。
在△ABE和△CAF中：
$\begin{cases}∠AEB = ∠F \\∠ABE = ∠CAF \\AB = AC\end{cases}$
∴△ABE ≌ △CAF（AAS），
∴AE = CF = 1，AF = BE = 4，
∴EF = AF - AE = 4 - 1 = 3。
【答案】
3
【知识点】
全等三角形的判定与性质，同角的余角相等
【点评】
本题属于三角形全等的典型应用题型，解题关键是利用直角的性质推导等角，构造全等三角形转化线段的长度关系，侧重考查学生对全等三角形判定和性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
7.（北京海淀模拟）如图14-10，在$4×4$的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线交点.请画出一个$△ DEF$，使得$△ DEF$与$△ ABC$全等.
答案
7. 解：答案不唯一，如图所示，任选一种即可。
解析
【分析】
要画出与△ABC全等的△DEF，可选用SSS全等判定定理构造图形。首先设每个小正方形边长为1，利用勾股定理先算出△ABC三边的长度，再计算已知线段DE的长度，可发现DE与AB长度相等，接下来只需确定点F的位置，让△DEF剩余两条边分别与△ABC的BC、AC边长对应相等，即可得到满足要求的全等三角形，本题答案不唯一。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，首先计算△ABC的三边长度：
$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$BC=2$，
$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
观察线段DE，计算得$DE=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}=AB$，根据全等三角形的SSS判定规则，只要找到点F，使得△DEF的另外两条边分别等于2和$\sqrt{5}$，就能得到与△ABC全等的△DEF，满足条件的F点位置不唯一，示例如参考答案所示。
【答案】
答案不唯一，如图所示，任选一种即可。
【知识点】
勾股定理，全等三角形的判定，网格作图
【点评】
本题属于开放性作图题，考查勾股定理在网格中的应用以及全等三角形判定定理的灵活运用，解题时建议先计算边长再确定对应点位置，避免凭直观画图出现错误。
【难度系数】
0.7
要画出与△ABC全等的△DEF，可选用SSS全等判定定理构造图形。首先设每个小正方形边长为1，利用勾股定理先算出△ABC三边的长度，再计算已知线段DE的长度，可发现DE与AB长度相等，接下来只需确定点F的位置，让△DEF剩余两条边分别与△ABC的BC、AC边长对应相等，即可得到满足要求的全等三角形，本题答案不唯一。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，首先计算△ABC的三边长度：
$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$BC=2$，
$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
观察线段DE，计算得$DE=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}=AB$，根据全等三角形的SSS判定规则，只要找到点F，使得△DEF的另外两条边分别等于2和$\sqrt{5}$，就能得到与△ABC全等的△DEF，满足条件的F点位置不唯一，示例如参考答案所示。
【答案】
答案不唯一，如图所示，任选一种即可。
【知识点】
勾股定理，全等三角形的判定，网格作图
【点评】
本题属于开放性作图题，考查勾股定理在网格中的应用以及全等三角形判定定理的灵活运用，解题时建议先计算边长再确定对应点位置，避免凭直观画图出现错误。
【难度系数】
0.7
8.（贵州铜仁模拟）如图14-11，小强同学用10块高度都是2 cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角尺（AC=BC，∠ACB=90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合。
（1）求证△ADC≌△CEB；
（2）求两堵木墙之间的距离。
（1）求证△ADC≌△CEB；
（2）求两堵木墙之间的距离。
答案
8.（1）证明：由题意，得$AC=BC, ∠ACB=90°, AD⊥DE, BE⊥DE.$
$\therefore ∠ADC=∠CEB=90°,$
$\therefore ∠ACD+∠ECB=90°,$
$∠ACD+∠DAC=90°,$
$\therefore ∠ECB=∠DAC.$
在$△ADC$和$△CEB$中，$\begin{cases} ∠ADC=∠CEB, \\ ∠DAC=∠ECB, \\ AC=CB, \end{cases}$
$\therefore △ADC≌△CEB\ (\mathrm{AAS}).$
（2）解：由题意，得$AD=2×3=6\ (\mathrm{cm}), BE=2×7=14(\mathrm{cm}).$
$\because △ADC≌△CEB,$
$\therefore CE=AD=6\ \mathrm{cm}, DC=EB=14\ \mathrm{cm}.$
$\therefore DE=DC+CE=20\ \mathrm{cm}.$
故两堵木墙之间的距离为20 cm.
$\therefore ∠ADC=∠CEB=90°,$
$\therefore ∠ACD+∠ECB=90°,$
$∠ACD+∠DAC=90°,$
$\therefore ∠ECB=∠DAC.$
在$△ADC$和$△CEB$中，$\begin{cases} ∠ADC=∠CEB, \\ ∠DAC=∠ECB, \\ AC=CB, \end{cases}$
$\therefore △ADC≌△CEB\ (\mathrm{AAS}).$
（2）解：由题意，得$AD=2×3=6\ (\mathrm{cm}), BE=2×7=14(\mathrm{cm}).$
$\because △ADC≌△CEB,$
$\therefore CE=AD=6\ \mathrm{cm}, DC=EB=14\ \mathrm{cm}.$
$\therefore DE=DC+CE=20\ \mathrm{cm}.$
故两堵木墙之间的距离为20 cm.
解析
【分析】
（1）要证明△ADC≌△CEB，先梳理已知条件：由题意得AC=BC，∠ACB=90°，且两堵木墙与地面垂直，即AD⊥DE、BE⊥DE，可得△ADC和△CEB都是直角三角形，有一组直角相等；再找另一组角相等：因为∠ACB=90°，所以∠ACD+∠BCE=90°，在Rt△ADC中∠ACD+∠DAC=90°，根据同角的余角相等，可推出∠DAC=∠ECB，结合已知AC=BC，即可用AAS判定两个三角形全等。
（2）两堵木墙之间的距离是DE的长度，DE=DC+CE，先根据木块数量和单块高度算出AD、BE的长度，再利用全等三角形对应边相等的性质，得到CE=AD、DC=BE，相加即可求出DE的长度。
【解析】
（1）证明：由题意，得$AC=BC, ∠ACB=90°, AD⊥DE, BE⊥DE.$
$\therefore ∠ADC=∠CEB=90°,$
$\therefore ∠ACD+∠ECB=90°,$
$∠ACD+∠DAC=90°,$
$\therefore ∠ECB=∠DAC.$
在$△ADC$和$△CEB$中，$\begin{cases} ∠ADC=∠CEB, \\ ∠DAC=∠ECB, \\ AC=CB, \end{cases}$
$\therefore △ADC≌△CEB\ (\mathrm{AAS}).$
（2）解：由题意，得$AD=2×3=6\ (\mathrm{cm}), BE=2×7=14(\mathrm{cm}).$
$\because △ADC≌△CEB,$
$\therefore CE=AD=6\ \mathrm{cm}, DC=EB=14\ \mathrm{cm}.$
$\therefore DE=DC+CE=14+6=20\ \mathrm{cm}.$
【答案】
（1）△ADC≌△CEB，证明成立；
（2）两堵木墙之间的距离为$\boxed{20\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，余角的性质
【点评】
本题结合生活操作场景考查几何知识的应用，核心是利用角的互余关系推导等角，进而证明三角形全等，再通过全等的性质转化线段求解，是几何解决实际问题的基础典型题。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△ADC≌△CEB，先梳理已知条件：由题意得AC=BC，∠ACB=90°，且两堵木墙与地面垂直，即AD⊥DE、BE⊥DE，可得△ADC和△CEB都是直角三角形，有一组直角相等；再找另一组角相等：因为∠ACB=90°，所以∠ACD+∠BCE=90°，在Rt△ADC中∠ACD+∠DAC=90°，根据同角的余角相等，可推出∠DAC=∠ECB，结合已知AC=BC，即可用AAS判定两个三角形全等。
（2）两堵木墙之间的距离是DE的长度，DE=DC+CE，先根据木块数量和单块高度算出AD、BE的长度，再利用全等三角形对应边相等的性质，得到CE=AD、DC=BE，相加即可求出DE的长度。
【解析】
（1）证明：由题意，得$AC=BC, ∠ACB=90°, AD⊥DE, BE⊥DE.$
$\therefore ∠ADC=∠CEB=90°,$
$\therefore ∠ACD+∠ECB=90°,$
$∠ACD+∠DAC=90°,$
$\therefore ∠ECB=∠DAC.$
在$△ADC$和$△CEB$中，$\begin{cases} ∠ADC=∠CEB, \\ ∠DAC=∠ECB, \\ AC=CB, \end{cases}$
$\therefore △ADC≌△CEB\ (\mathrm{AAS}).$
（2）解：由题意，得$AD=2×3=6\ (\mathrm{cm}), BE=2×7=14(\mathrm{cm}).$
$\because △ADC≌△CEB,$
$\therefore CE=AD=6\ \mathrm{cm}, DC=EB=14\ \mathrm{cm}.$
$\therefore DE=DC+CE=14+6=20\ \mathrm{cm}.$
【答案】
（1）△ADC≌△CEB，证明成立；
（2）两堵木墙之间的距离为$\boxed{20\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，余角的性质
【点评】
本题结合生活操作场景考查几何知识的应用，核心是利用角的互余关系推导等角，进而证明三角形全等，再通过全等的性质转化线段求解，是几何解决实际问题的基础典型题。
【难度系数】
0.7
