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平方差公式：$(a+b)(a-b)=$
$a^2-b^2$
.即两个数的和与这两个数的差的积
，等于这两个数的平方差
.答案
$a^2-b^2$；积；平方差
解析
【分析】
解题时先回忆平方差公式的推导过程，我们可以通过多项式乘多项式的运算法则展开计算左边的式子，得到结果后再对应文字描述填写后面的空缺：首先左边是两个数的和与差做乘法运算，运算结果是积，右边是两个数分别平方后相减的结果，也就是平方差。
【解析】
首先利用多项式乘多项式的法则计算左边：
$(a+b)(a-b)=a· a - a· b + b· a - b· b$
合并同类项后，$-ab$和$+ab$相互抵消，可得：
$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，因此第一个空填$a^2 - b^2$。
再看公式的文字表述：两个数的和与这两个数的差进行乘法运算，运算结果是二者的积，因此第二个空填“积”；等号右侧是两个数先分别平方再作差的结果，也就是这两个数的平方差，因此第三个空填“平方差”。
【答案】
$a^2-b^2$；积；平方差
【知识点】
平方差公式；多项式乘多项式
【点评】
本题是对平方差公式基础定义的考查，要求熟练掌握公式的代数形式和对应的文字描述，属于基础识记类题目，是后续整式化简运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆平方差公式的推导过程，我们可以通过多项式乘多项式的运算法则展开计算左边的式子，得到结果后再对应文字描述填写后面的空缺：首先左边是两个数的和与差做乘法运算，运算结果是积，右边是两个数分别平方后相减的结果，也就是平方差。
【解析】
首先利用多项式乘多项式的法则计算左边：
$(a+b)(a-b)=a· a - a· b + b· a - b· b$
合并同类项后，$-ab$和$+ab$相互抵消，可得：
$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，因此第一个空填$a^2 - b^2$。
再看公式的文字表述：两个数的和与这两个数的差进行乘法运算，运算结果是二者的积，因此第二个空填“积”；等号右侧是两个数先分别平方再作差的结果，也就是这两个数的平方差，因此第三个空填“平方差”。
【答案】
$a^2-b^2$；积；平方差
【知识点】
平方差公式；多项式乘多项式
【点评】
本题是对平方差公式基础定义的考查，要求熟练掌握公式的代数形式和对应的文字描述，属于基础识记类题目，是后续整式化简运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
1. 计算$(x-3)(3+x)$的结果是（
A.$9-x^2$
B.$x^2-6$
C.$x^2+9$
D.$x^2-9$
D
）.A.$9-x^2$
B.$x^2-6$
C.$x^2+9$
D.$x^2-9$
答案
1.D
解析
【分析】
拿到题目首先观察算式特征，这是两个二项式相乘的运算，先整理两个因式的项：第一个因式为x和-3，第二个因式为x和+3，可发现两个因式中存在相同项x，互为相反数的项3和-3，刚好符合平方差公式的结构特征，可直接套用公式快速计算；若暂时不熟悉平方差公式，也可以用多项式乘多项式的法则，逐项相乘后合并同类项得到结果。
【解析】
方法一：利用平方差公式计算
平方差公式为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2 - b^2}$
将原式调整为符合公式的形式：$(x-3)(3+x)=(x-3)(x+3)$，其中相同项$a=x$，相反项的绝对值$b=3$
代入公式得：$(x-3)(x+3)=x^2 - 3^2 = x^2 -9$
方法二：利用多项式乘多项式法则计算
多项式乘多项式法则：用第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项，再把所得的积相加
$(x-3)(3+x)=x·3 + x· x - 3·3 - 3· x = 3x + x^2 -9 -3x = x^2 -9$
综上，计算结果为$x^2 -9$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式；多项式乘多项式
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，解题核心是准确识别算式的结构特征，熟练运用平方差公式可以大幅提升解题效率，也可以通过基础的多项式乘法运算验证结果，难度较低。
【难度系数】
0.9
拿到题目首先观察算式特征，这是两个二项式相乘的运算，先整理两个因式的项：第一个因式为x和-3，第二个因式为x和+3，可发现两个因式中存在相同项x，互为相反数的项3和-3，刚好符合平方差公式的结构特征，可直接套用公式快速计算；若暂时不熟悉平方差公式，也可以用多项式乘多项式的法则，逐项相乘后合并同类项得到结果。
【解析】
方法一：利用平方差公式计算
平方差公式为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2 - b^2}$
将原式调整为符合公式的形式：$(x-3)(3+x)=(x-3)(x+3)$，其中相同项$a=x$，相反项的绝对值$b=3$
代入公式得：$(x-3)(x+3)=x^2 - 3^2 = x^2 -9$
方法二：利用多项式乘多项式法则计算
多项式乘多项式法则：用第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项，再把所得的积相加
$(x-3)(3+x)=x·3 + x· x - 3·3 - 3· x = 3x + x^2 -9 -3x = x^2 -9$
综上，计算结果为$x^2 -9$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式；多项式乘多项式
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，解题核心是准确识别算式的结构特征，熟练运用平方差公式可以大幅提升解题效率，也可以通过基础的多项式乘法运算验证结果，难度较低。
【难度系数】
0.9
2. 已知$(x-my)(x+my)=x^2-16y^2$，则$m$的值为（
A.16
B.4
C.$-4$
D.4或$-4$
D
）。A.16
B.4
C.$-4$
D.4或$-4$
答案
2.D
解析
【分析】
观察等式左侧是两个二项式相乘的形式，符合平方差公式的结构特征，解题思路如下：第一步，利用平方差公式将左侧代数式展开化简；第二步，将化简后的式子与等式右侧的多项式对比，根据同类项系数相等的原则，列出关于m的方程；第三步，解方程求出m的所有可能值，注意正数的平方根有正负两个，不要漏解。
【解析】
根据平方差公式$\boxed{(a-b)(a+b)=a^2-b^2}$，对等式左侧展开计算：
$(x-my)(x+my)=x^2-(my)^2=x^2-m^2y^2$
已知$(x-my)(x+my)=x^2-16y^2$，因此等式两边$y^2$项的系数相等，可得：
$m^2=16$
求解得$m=4$或$m=-4$。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，整式化简，平方根运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，准确展开代数式，同时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏解。
【难度系数】
0.8
观察等式左侧是两个二项式相乘的形式，符合平方差公式的结构特征，解题思路如下：第一步，利用平方差公式将左侧代数式展开化简；第二步，将化简后的式子与等式右侧的多项式对比，根据同类项系数相等的原则，列出关于m的方程；第三步，解方程求出m的所有可能值，注意正数的平方根有正负两个，不要漏解。
【解析】
根据平方差公式$\boxed{(a-b)(a+b)=a^2-b^2}$，对等式左侧展开计算：
$(x-my)(x+my)=x^2-(my)^2=x^2-m^2y^2$
已知$(x-my)(x+my)=x^2-16y^2$，因此等式两边$y^2$项的系数相等，可得：
$m^2=16$
求解得$m=4$或$m=-4$。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，整式化简，平方根运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，准确展开代数式，同时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏解。
【难度系数】
0.8
3. 计算$(-1+3a)(-1-3a)$的结果是（
A.$3a^2 -1$
B.$-6a^2 -1$
C.$9a^2 -1$
D.$1 -9a^2$
D
）.A.$3a^2 -1$
B.$-6a^2 -1$
C.$9a^2 -1$
D.$1 -9a^2$
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查平方差公式的应用，解题时首先观察式子结构：两个因式中-1是完全相同的项，3a和-3a是互为相反数的项，完全符合平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$的结构特征，其中$m=-1$，$n=3a$，将对应项代入公式计算即可得到结果。
【解析】
根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，观察$(-1+3a)(-1-3a)$可得：相同项为$m=-1$，互为相反的项为$n=3a$，代入公式计算：
$\begin{aligned}原式&=(-1)^2 - (3a)^2 \\&=1 - 9a^2\end{aligned}$
因此结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式；积的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是识别平方差公式的结构特征，找准相同项和相反项是正确解题的关键，熟练掌握平方差公式能大幅提升整式乘法的运算效率。
【难度系数】
0.8
本题考查平方差公式的应用，解题时首先观察式子结构：两个因式中-1是完全相同的项，3a和-3a是互为相反数的项，完全符合平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$的结构特征，其中$m=-1$，$n=3a$，将对应项代入公式计算即可得到结果。
【解析】
根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，观察$(-1+3a)(-1-3a)$可得：相同项为$m=-1$，互为相反的项为$n=3a$，代入公式计算：
$\begin{aligned}原式&=(-1)^2 - (3a)^2 \\&=1 - 9a^2\end{aligned}$
因此结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式；积的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是识别平方差公式的结构特征，找准相同项和相反项是正确解题的关键，熟练掌握平方差公式能大幅提升整式乘法的运算效率。
【难度系数】
0.8
4. 若$(x-y) · (\quad)=y^2 - x^2$，则括号里应填的式子是（
A.$x-y$
B.$y-x$
C.$-x-y$
D.$x+y$
C
）.A.$x-y$
B.$y-x$
C.$-x-y$
D.$x+y$
答案
4.C
解析
【分析】
要确定括号内的式子，我们可以利用整式乘法和除法的互逆关系求解，即括号内的式子等于等号右侧的式子除以已知的因式$(x-y)$；也可以结合平方差公式对右侧式子因式分解，再对比已知因式推导结果，还可以将选项逐一代入验证，找到符合等式的选项。
【解析】
方法1（逆运算+因式分解法）：
根据乘除互逆性，括号内的式子$=(y^2 - x^2) ÷ (x - y)$。
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，对分子因式分解得：
$y^2 - x^2=(y+x)(y-x)$
又因为$y-x=-(x-y)$，代入得：
$y^2 - x^2=-(x-y)(x+y)$
将其代入除法运算：
$-(x-y)(x+y) ÷ (x-y) = -(x+y) = -x - y$
方法2（代入验证法）：
A选项：$(x-y)(x-y)=x^2 - 2xy + y^2 ≠ y^2 - x^2$，不符合；
B选项：$(x-y)(y-x)=-(x-y)^2=-x^2 + 2xy - y^2 ≠ y^2 - x^2$，不符合；
C选项：$(x-y)(-x-y)=(-y + x)(-y - x)=(-y)^2 - x^2 = y^2 - x^2$，符合等式；
D选项：$(x-y)(x+y)=x^2 - y^2 ≠ y^2 - x^2$，不符合。
综上，括号内应填$-x - y$。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，整式乘除互逆
【点评】
本题考查平方差公式的灵活运用，解题时需注意因式分解过程中的符号变化，也可通过代入验证的方法降低出错概率，符号处理是本题的主要易错点。
【难度系数】
0.7
要确定括号内的式子，我们可以利用整式乘法和除法的互逆关系求解，即括号内的式子等于等号右侧的式子除以已知的因式$(x-y)$；也可以结合平方差公式对右侧式子因式分解，再对比已知因式推导结果，还可以将选项逐一代入验证，找到符合等式的选项。
【解析】
方法1（逆运算+因式分解法）：
根据乘除互逆性，括号内的式子$=(y^2 - x^2) ÷ (x - y)$。
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，对分子因式分解得：
$y^2 - x^2=(y+x)(y-x)$
又因为$y-x=-(x-y)$，代入得：
$y^2 - x^2=-(x-y)(x+y)$
将其代入除法运算：
$-(x-y)(x+y) ÷ (x-y) = -(x+y) = -x - y$
方法2（代入验证法）：
A选项：$(x-y)(x-y)=x^2 - 2xy + y^2 ≠ y^2 - x^2$，不符合；
B选项：$(x-y)(y-x)=-(x-y)^2=-x^2 + 2xy - y^2 ≠ y^2 - x^2$，不符合；
C选项：$(x-y)(-x-y)=(-y + x)(-y - x)=(-y)^2 - x^2 = y^2 - x^2$，符合等式；
D选项：$(x-y)(x+y)=x^2 - y^2 ≠ y^2 - x^2$，不符合。
综上，括号内应填$-x - y$。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，整式乘除互逆
【点评】
本题考查平方差公式的灵活运用，解题时需注意因式分解过程中的符号变化，也可通过代入验证的方法降低出错概率，符号处理是本题的主要易错点。
【难度系数】
0.7
5. 若$(a^2 + b^2 + 1)(a^2 + b^2 - 1) = 35$，则$a^2 + b^2 = (\quad)$。
A.3
B.6
C.$\pm3$
D.$\pm6$
A.3
B.6
C.$\pm3$
D.$\pm6$
答案
5.B
解析
【分析】
首先观察等式左侧的运算结构，两个因式中均含有$a^2+b^2$，且形式为相同部分的和乘相同部分的差，符合平方差公式的特征。解题时可先将$a^2+b^2$看作一个整体，利用平方差公式展开等式，再求解得到$a^2+b^2$的可能值，最后结合平方的非负性排除不符合题意的解即可。
【解析】
设$ m = a^2 + b^2 $，根据平方的非负性可知$a^2 ≥ 0$，$b^2 ≥ 0$，因此$m ≥ 0$。
原等式可变形为：
$ (m + 1)(m - 1) = 35 $
根据平方差公式展开得：
$ m^2 - 1 = 35 $
移项计算得：
$ m^2 = 36 $
开平方得$m = 6$或$m = -6$，结合$m ≥ 0$的限制，舍去$m = -6$，因此$a^2 + b^2 = 6$。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式、平方的非负性、整体代入思想
【点评】
本题侧重考查平方差公式的灵活应用，解题核心是将$a^2+b^2$视为整体简化运算，同时要注意挖掘隐含的平方非负性条件，避免忽略取值范围错选负数解。
【难度系数】
0.7
首先观察等式左侧的运算结构，两个因式中均含有$a^2+b^2$，且形式为相同部分的和乘相同部分的差，符合平方差公式的特征。解题时可先将$a^2+b^2$看作一个整体，利用平方差公式展开等式，再求解得到$a^2+b^2$的可能值，最后结合平方的非负性排除不符合题意的解即可。
【解析】
设$ m = a^2 + b^2 $，根据平方的非负性可知$a^2 ≥ 0$，$b^2 ≥ 0$，因此$m ≥ 0$。
原等式可变形为：
$ (m + 1)(m - 1) = 35 $
根据平方差公式展开得：
$ m^2 - 1 = 35 $
移项计算得：
$ m^2 = 36 $
开平方得$m = 6$或$m = -6$，结合$m ≥ 0$的限制，舍去$m = -6$，因此$a^2 + b^2 = 6$。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式、平方的非负性、整体代入思想
【点评】
本题侧重考查平方差公式的灵活应用，解题核心是将$a^2+b^2$视为整体简化运算，同时要注意挖掘隐含的平方非负性条件，避免忽略取值范围错选负数解。
【难度系数】
0.7
6. 计算$(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)$的结果是（
A.$x^4 + 1$
B.$x^4 - 1$
C.$(x + 1)^4$
D.$(x - 1)^4$
B
）。A.$x^4 + 1$
B.$x^4 - 1$
C.$(x + 1)^4$
D.$(x - 1)^4$
答案
6.B
解析
【分析】
观察整式乘积的结构，可发现后两个因式$(x+1)(x-1)$符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构特征，因此先利用乘法结合律对后两个因式分组计算，将得到的结果再与第一个因式$(x^2+1)$相乘，再次运用平方差公式即可快速得出结果，无需逐项展开多项式，既简便又能降低计算错误率。
【解析】
利用乘法结合律分组计算：
1. 先计算后两个因式的乘积，根据平方差公式可得：
$\begin{aligned}(x+1)(x-1)&=x^2-1^2\\&=x^2-1\end{aligned}$
2. 将上述结果代入原式，再次使用平方差公式计算：
$\begin{aligned}(x^2+1)(x^2-1)&=(x^2)^2-1^2\\&=x^4-1\end{aligned}$
因此原式计算结果为$x^4-1$。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活运用，解题的关键是观察式子结构，通过合理分组凑出平方差公式的标准形式，简化运算流程，避免直接逐项展开多项式带来的繁琐计算和失误。
【难度系数】
0.8
观察整式乘积的结构，可发现后两个因式$(x+1)(x-1)$符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构特征，因此先利用乘法结合律对后两个因式分组计算，将得到的结果再与第一个因式$(x^2+1)$相乘，再次运用平方差公式即可快速得出结果，无需逐项展开多项式，既简便又能降低计算错误率。
【解析】
利用乘法结合律分组计算：
1. 先计算后两个因式的乘积，根据平方差公式可得：
$\begin{aligned}(x+1)(x-1)&=x^2-1^2\\&=x^2-1\end{aligned}$
2. 将上述结果代入原式，再次使用平方差公式计算：
$\begin{aligned}(x^2+1)(x^2-1)&=(x^2)^2-1^2\\&=x^4-1\end{aligned}$
因此原式计算结果为$x^4-1$。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活运用，解题的关键是观察式子结构，通过合理分组凑出平方差公式的标准形式，简化运算流程，避免直接逐项展开多项式带来的繁琐计算和失误。
【难度系数】
0.8
7. 计算：$2024^2 - 2023 × 2025 =$
1
.答案
7.1
解析
【分析】
观察式子中的三个数2023、2024、2025，可发现2023=2024-1，2025=2024+1，因此可将乘积项2023×2025转化为两数差乘两数和的形式，再利用平方差公式展开计算，这样可以避免直接计算大数乘积，简化运算过程。
【解析】
解：原式$=2024^2 - (2024-1)(2024+1)$
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2 - b^2$，可得：
$(2024-1)(2024+1)=2024^2 - 1^2 = 2024^2 - 1$
将上述结果代入原式：
$2024^2 - (2024^2 - 1)$
$=2024^2 - 2024^2 + 1$
$=1$
【答案】
1
【知识点】
平方差公式，整式简便运算
【点评】
本题侧重考查平方差公式的灵活应用，解题核心是识别出相邻整数的和差关系，通过构造平方差公式的形式简化计算，能够有效减少运算量，是整式简便运算的常见题型。
【难度系数】
0.85
观察式子中的三个数2023、2024、2025，可发现2023=2024-1，2025=2024+1，因此可将乘积项2023×2025转化为两数差乘两数和的形式，再利用平方差公式展开计算，这样可以避免直接计算大数乘积，简化运算过程。
【解析】
解：原式$=2024^2 - (2024-1)(2024+1)$
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2 - b^2$，可得：
$(2024-1)(2024+1)=2024^2 - 1^2 = 2024^2 - 1$
将上述结果代入原式：
$2024^2 - (2024^2 - 1)$
$=2024^2 - 2024^2 + 1$
$=1$
【答案】
1
【知识点】
平方差公式，整式简便运算
【点评】
本题侧重考查平方差公式的灵活应用，解题核心是识别出相邻整数的和差关系，通过构造平方差公式的形式简化计算，能够有效减少运算量，是整式简便运算的常见题型。
【难度系数】
0.85
8. 计算：$(1-\sqrt{2})^{2024} × (\sqrt{2}+1)^{2025} = \_\_\_\_\_\_.$
答案
8.$\sqrt{2}+1$
解析
【分析】
观察算式可知，两个幂的底数$1-\sqrt{2}$与$\sqrt{2}+1$相乘可利用平方差公式计算，且两个幂的指数仅相差1。解题时先将$(\sqrt{2}+1)^{2025}$拆分为$(\sqrt{2}+1)^{2024}×(\sqrt{2}+1)$，再逆用积的乘方公式将同指数的两个幂先算底数的乘积，再算乘方，最后乘剩余的$\sqrt{2}+1$即可求出结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}原式&=(1-\sqrt{2})^{2024}×(\sqrt{2}+1)^{2024}×(\sqrt{2}+1)\\&=[(1-\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)]^{2024}×(\sqrt{2}+1)\\&=[1^2-(\sqrt{2})^2]^{2024}×(\sqrt{2}+1)\\&=(-1)^{2024}×(\sqrt{2}+1)\\&=1×(\sqrt{2}+1)\\&=\sqrt{2}+1\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{2}+1$
【知识点】
平方差公式，积的乘方逆运算，二次根式运算
【点评】
本题是幂的运算与二次根式运算的综合题型，解题核心是通过拆项构造同指数幂，逆用积的乘方公式简化计算，熟练掌握平方差公式和幂的运算性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
观察算式可知，两个幂的底数$1-\sqrt{2}$与$\sqrt{2}+1$相乘可利用平方差公式计算，且两个幂的指数仅相差1。解题时先将$(\sqrt{2}+1)^{2025}$拆分为$(\sqrt{2}+1)^{2024}×(\sqrt{2}+1)$，再逆用积的乘方公式将同指数的两个幂先算底数的乘积，再算乘方，最后乘剩余的$\sqrt{2}+1$即可求出结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}原式&=(1-\sqrt{2})^{2024}×(\sqrt{2}+1)^{2024}×(\sqrt{2}+1)\\&=[(1-\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)]^{2024}×(\sqrt{2}+1)\\&=[1^2-(\sqrt{2})^2]^{2024}×(\sqrt{2}+1)\\&=(-1)^{2024}×(\sqrt{2}+1)\\&=1×(\sqrt{2}+1)\\&=\sqrt{2}+1\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{2}+1$
【知识点】
平方差公式，积的乘方逆运算，二次根式运算
【点评】
本题是幂的运算与二次根式运算的综合题型，解题核心是通过拆项构造同指数幂，逆用积的乘方公式简化计算，熟练掌握平方差公式和幂的运算性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
