9. 下列式子能用平方差公式计算的有.（填序号）
①$(x-y)(x+y)$；②$(x+y)(y-x)$；③$(y-x)(-y-x)$；④$(-x+y)(x-y)$；
⑤$(-x-y)(x+y)$；⑥$(-x-y)(x-y)$.

9.①②③⑥

【分析】
要判断式子能否用平方差公式计算，首先需明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中有一组项完全相同，另一组项互为相反数，满足该特征即可用平方差公式。解题时先对每个式子适当变形，分别找出两个因式中的项，判断是否存在相同项和相反项即可。
【解析】
平方差公式的标准形式为：$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，核心特征是：两个因式中，一项完全相同，另一项互为相反数。逐个判断如下：
① $(x-y)(x+y)$：相同项为$x$，相反项为$y$和$-y$，符合特征，可用平方差公式；
② $(x+y)(y-x)$：变形为$(y+x)(y-x)$，相同项为$y$，相反项为$x$和$-x$，符合特征，可用平方差公式；
③ $(y-x)(-y-x)$：变形为$(-x+y)(-x-y)$，相同项为$-x$，相反项为$y$和$-y$，符合特征，可用平方差公式；
④ $(-x+y)(x-y)$：变形为$-(x-y)(x-y)=-(x-y)^2$，两项均互为相反数，无相同项，不符合特征，不可用平方差公式；
⑤ $(-x-y)(x+y)$：变形为$-(x+y)(x+y)=-(x+y)^2$，两项均互为相反数，无相同项，不符合特征，不可用平方差公式；
⑥ $(-x-y)(x-y)$：变形为$(-y-x)(-y+x)$，相同项为$-y$，相反项为$-x$和$x$，符合特征，可用平方差公式。
综上，能用平方差公式计算的是①②③⑥。
【答案】
①②③⑥
【知识点】
1. 平方差公式的特征
2. 整式的变形
【点评】
本题考查平方差公式的识别，解题的关键是准确把握平方差公式的结构特点，对形式不直观的式子可先通过调整项的位置、提取负号等方式变形，再判断是否存在相同项和相反项即可。
【难度系数】
0.8

10. 计算$(2-1)(2+1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)\dots(2^{32} + 1)$的结果为.

10.$2^{64}-1$

【分析】
观察算式的结构特征，发现各因式符合平方差公式的应用特点：前两个因式(2-1)和(2+1)刚好是平方差公式的(a-b)(a+b)形式，计算得到的结果与下一个因式(2²+1)又能凑成新的平方差公式结构，以此类推，可反复套用平方差公式逐步化简，最终得出结果，且(2-1)=1，不会改变乘积的最终值。
【解析】
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，逐步计算：
$\begin{aligned}原式&=(2^2 - 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)\dots(2^{32} + 1)\\&=(2^4 - 1)(2^4 + 1)\dots(2^{32} + 1)\\&=(2^8 - 1)\dots(2^{32} + 1)\\&\dots\\&=(2^{32} - 1)(2^{32} + 1)\\&=2^{64} - 1\end{aligned}$
【答案】
$2^{64}-1$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 整式乘法运算
【点评】
本题核心是考查平方差公式的灵活运用，解题的关键是发现式子的结构规律，通过反复套用平方差公式简化计算，计算过程中需注意指数的运算规则，避免指数计算错误。
【难度系数】
0.7

11. 如图16.3-1，大正方形和小正方形面积之差是16，求阴影部分的面积.

11. 解：设大正方形的边长为$a$，小正方形的边长为$b$.
$S_{阴影}=\frac{1}{2}AE·BC+\frac{1}{2}AE·BD$
$=\frac{1}{2}AE(BC+BD)$
$=\frac{1}{2}(AB-BE)(BC+BD)$
$=\frac{1}{2}(a-b)(a+b)=\frac{1}{2}(a^2-b^2)$
$=\frac{1}{2}×16=8.$

【分析】
解题时首先设大正方形边长为$a$，小正方形边长为$b$，由题意可得大小正方形面积差为$a^2 - b^2 = 16$。观察阴影部分可拆分为$△ ACE$和$△ ADE$两个三角形，分别写出两个三角形的面积表达式后合并化简，再结合平方差公式将化简结果和已知的面积差关联，即可求出阴影部分面积。
【解析】
设大正方形的边长为$a$，小正方形的边长为$b$，由题意得$a^2 - b^2 = 16$。
阴影部分面积为两个三角形面积之和：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=S_{△ ACE}+S_{△ ADE}\\&=\frac{1}{2}AE·BC+\frac{1}{2}AE·BD\\&=\frac{1}{2}AE(BC+BD)\end{aligned}$
其中$AE = AB - BE = a - b$，$BC = a$，$BD = b$，代入得：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=\frac{1}{2}(a - b)(a + b)\\&=\frac{1}{2}(a^2 - b^2)\end{aligned}$
将$a^2 - b^2 = 16$代入，得$S_{阴影}=\frac{1}{2}×16 = 8$。
【答案】
8
【知识点】
三角形面积计算，平方差公式，正方形面积计算
【点评】
本题是数形结合的典型习题，解题关键是合理拆分阴影部分的面积，再通过代数变形利用平方差公式建立与已知条件的关联，能有效考查图形拆分能力和代数公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

12. 阅读下面问题：
你能计算$(a-1)(a^{99}+a^{98}+\dots+a+1)$吗？
我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论.
（1）先填空：①$(a-1)(a+1)=$；
②$(a-1)(a^2+a+1)=$；
③$(a-1)(a^3+a^2+a+1)=$；
④由此猜想$(a-1)(a^{99}+a^{98}+\dots+a+1)=$；
（2）利用得出的结论计算：$2^{2025}+2^{2024}+2^{2023}+2^{2022}+\dots+2+1$.

12. 解：（1）①$a^2-1$ ②$a^3-1$ ③$a^4-1$ ④$a^{100}-1$
（2）$2^{2025}+2^{2024}+2^{2023}+2^{2022}+\dots+2+1$
$=(2-1)(2^{2025}+2^{2024}+2^{2023}+2^{2022}+\dots+2+1)$
$=2^{2026}-1.$

【分析】
本题采用从特殊到一般的思路求解：
1. 求解第（1）问时，先利用多项式乘多项式的法则计算前3个低次乘法算式，可发现展开后的中间项全部抵消，仅剩下最高次项减1，根据这一规律就能归纳出含99次项的乘法结果；
2. 求解第（2）问时，观察所求式子符合第（1）问结论中第二个因式的形式，将a替换为2，因为(2-1)=1，给原式乘(2-1)不会改变原式的大小，即可直接套用归纳出的规律快速算出结果。
【解析】
（1）①根据多项式乘法或平方差公式计算：
$(a-1)(a+1)=a^2+a-a-1=a^2-1$
②展开多项式乘法计算：
$(a-1)(a^2+a+1)=a^3+a^2+a-a^2-a-1=a^3-1$
③展开多项式乘法计算：
$(a-1)(a^3+a^2+a+1)=a^4+a^3+a^2+a-a^3-a^2-a-1=a^4-1$
④根据前3个式子的规律可猜想：$(a-1)(a^{99}+a^{98}+\dots+a+1)=a^{100}-1$
（2）所求式子对应第（1）问结论中$a=2$、最高次为2025的情况，给原式乘值为1的$(2-1)$不改变原式大小：
$2^{2025}+2^{2024}+2^{2023}+\dots+2+1$
$=(2-1)(2^{2025}+2^{2024}+2^{2023}+\dots+2+1)$
套用（1）的结论可得原式$=2^{2026}-1$
【答案】
（1）①$a^2-1$；②$a^3-1$；③$a^4-1$；④$a^{100}-1$
（2）$2^{2026}-1$
【知识点】
多项式乘法；规律探究；整式化简
【点评】
本题以基础多项式运算为载体，引导学生通过特殊案例推导一般规律，再应用规律解决复杂计算问题，有效考查了学生的归纳推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.8