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完全平方公式:$(a+b)^2=$
$a^2+2ab+b^2$
，$(a-b)^2=$$a^2-2ab+b^2$
。即两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和
，加上(或减去)它们的积的2倍
。答案
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，即两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍。
解析
【分析】
这道题考查完全平方公式的基础内容，解题思路可以从多项式乘多项式的法则入手推导公式，再总结文字规律：①先回忆多项式乘多项式法则，将平方形式转化为两个相同多项式相乘的形式，展开后合并同类项即可得到完全平方公式的代数形式；②再对比两个展开式的共同特征，总结文字表述，对应补全空缺内容即可。
【解析】
1. 推导$\boldsymbol{(a+b)^2}$的展开式：
根据乘方的意义，$(a+b)^2=(a+b)(a+b)$，根据多项式乘多项式法则展开得：
$a·a + a·b + b·a + b·b = a^2 + ab + ab + b^2$，合并同类项后得$a^2+2ab+b^2$。
2. 推导$\boldsymbol{(a-b)^2}$的展开式：
同理，$(a-b)^2=(a-b)(a-b)$，展开得：
$a·a - a·b - b·a + b·b = a^2 - ab - ab + b^2$，合并同类项后得$a^2-2ab+b^2$。
3. 总结文字规律：
观察两个展开式的结构，可得两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
【答案】
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，即两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍。
【知识点】
1.完全平方公式 2.多项式乘多项式
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，核心是考查对完全平方公式的代数形式和文字表述的掌握，是后续运用完全平方公式进行整式化简、求值等运算的基础，需要准确记忆、熟练掌握。
【难度系数】
0.9
这道题考查完全平方公式的基础内容，解题思路可以从多项式乘多项式的法则入手推导公式，再总结文字规律：①先回忆多项式乘多项式法则，将平方形式转化为两个相同多项式相乘的形式，展开后合并同类项即可得到完全平方公式的代数形式；②再对比两个展开式的共同特征，总结文字表述，对应补全空缺内容即可。
【解析】
1. 推导$\boldsymbol{(a+b)^2}$的展开式：
根据乘方的意义，$(a+b)^2=(a+b)(a+b)$，根据多项式乘多项式法则展开得：
$a·a + a·b + b·a + b·b = a^2 + ab + ab + b^2$，合并同类项后得$a^2+2ab+b^2$。
2. 推导$\boldsymbol{(a-b)^2}$的展开式：
同理，$(a-b)^2=(a-b)(a-b)$，展开得：
$a·a - a·b - b·a + b·b = a^2 - ab - ab + b^2$，合并同类项后得$a^2-2ab+b^2$。
3. 总结文字规律：
观察两个展开式的结构，可得两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
【答案】
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，即两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍。
【知识点】
1.完全平方公式 2.多项式乘多项式
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，核心是考查对完全平方公式的代数形式和文字表述的掌握，是后续运用完全平方公式进行整式化简、求值等运算的基础，需要准确记忆、熟练掌握。
【难度系数】
0.9
1. $(-\dfrac{1}{2}m+1)^2$ 的计算结果为（
A.$1-\dfrac{1}{4}m^2$
B.$1-m+\dfrac{1}{4}m^2$
C.$\dfrac{1}{4}m^2+1$
D.$1+m+\dfrac{1}{4}m^2$
B
）.A.$1-\dfrac{1}{4}m^2$
B.$1-m+\dfrac{1}{4}m^2$
C.$\dfrac{1}{4}m^2+1$
D.$1+m+\dfrac{1}{4}m^2$
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的形式：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，先确定式子中对应公式里的$a$和$b$，再逐项展开计算，最后对照选项选出正确答案即可。要注意完全平方展开有三项，不能漏了中间的交叉乘积项，同时要注意符号的运算。
【解析】
我们可以将$(-\dfrac{1}{2}m+1)^2$转化为$(1-\dfrac{1}{2}m)^2$，套用完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$计算：
其中$a=1$，$b=\dfrac{1}{2}m$，代入得：
$\begin{aligned}(1-\dfrac{1}{2}m)^2&=1^2 - 2×1×\dfrac{1}{2}m + (\dfrac{1}{2}m)^2\\&=1 - m + \dfrac{1}{4}m^2\end{aligned}$
也可以直接按完全平方和公式计算，把$a=-\dfrac{1}{2}m$，$b=1$代入$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$：
$\begin{aligned}(-\dfrac{1}{2}m+1)^2&=(-\dfrac{1}{2}m)^2 + 2×(-\dfrac{1}{2}m)×1 + 1^2\\&=\dfrac{1}{4}m^2 - m + 1\end{aligned}$
两种方法计算结果一致，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、整式乘法运算
【点评】
本题属于完全平方公式的基础应用题型，解题的关键是准确识别公式中的两项，注意展开时不要遗漏交叉项，同时要留意各项的符号，避免出现仅算两项平方的错误。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的形式：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，先确定式子中对应公式里的$a$和$b$，再逐项展开计算，最后对照选项选出正确答案即可。要注意完全平方展开有三项，不能漏了中间的交叉乘积项，同时要注意符号的运算。
【解析】
我们可以将$(-\dfrac{1}{2}m+1)^2$转化为$(1-\dfrac{1}{2}m)^2$，套用完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$计算：
其中$a=1$，$b=\dfrac{1}{2}m$，代入得：
$\begin{aligned}(1-\dfrac{1}{2}m)^2&=1^2 - 2×1×\dfrac{1}{2}m + (\dfrac{1}{2}m)^2\\&=1 - m + \dfrac{1}{4}m^2\end{aligned}$
也可以直接按完全平方和公式计算，把$a=-\dfrac{1}{2}m$，$b=1$代入$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$：
$\begin{aligned}(-\dfrac{1}{2}m+1)^2&=(-\dfrac{1}{2}m)^2 + 2×(-\dfrac{1}{2}m)×1 + 1^2\\&=\dfrac{1}{4}m^2 - m + 1\end{aligned}$
两种方法计算结果一致，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、整式乘法运算
【点评】
本题属于完全平方公式的基础应用题型，解题的关键是准确识别公式中的两项，注意展开时不要遗漏交叉项，同时要留意各项的符号，避免出现仅算两项平方的错误。
【难度系数】
0.8
2. 利用完全平方公式计算$(-x-2y)^2$的结果为（
A.$-x^2 -2xy -4y^2$
B.$-x^2 -4xy -4y^2$
C.$x^2 -4xy +4y^2$
D.$x^2 +4xy +4y^2$
D
）.A.$-x^2 -2xy -4y^2$
B.$-x^2 -4xy -4y^2$
C.$x^2 -4xy +4y^2$
D.$x^2 +4xy +4y^2$
答案
2.D
解析
【分析】
解题前先回忆完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。本题中可先处理原式的符号，将$(-x-2y)$变形为$-(x+2y)$，根据乘方的性质，负数的偶次幂是正数，因此平方后负号可消去，转化为计算$(x+2y)^2$，再代入完全平方公式展开即可；也可以直接把$-x$看作公式里的$a$，$-2y$看作公式里的$b$，用和的完全平方公式直接展开计算，计算时注意不要弄错各项的符号。
【解析】
方法一：先提取负号再计算
$(-x-2y)^2=[-(x+2y)]^2$
根据平方的非负性，$[-(x+2y)]^2=(x+2y)^2$
代入完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，这里$a=x$，$b=2y$：
$(x+2y)^2=x^2+2· x·2y+(2y)^2=x^2+4xy+4y^2$
方法二：直接代入完全平方公式计算
将$-x$看作$a$，$-2y$看作$b$，原式为$(a+b)^2$：
$(-x-2y)^2=(-x)^2+2·(-x)·(-2y)+(-2y)^2=x^2+4xy+4y^2$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；乘方的符号性质
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心考查完全平方公式的应用，解题的易错点是符号处理失误，熟记公式、理清各项符号即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题前先回忆完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。本题中可先处理原式的符号，将$(-x-2y)$变形为$-(x+2y)$，根据乘方的性质，负数的偶次幂是正数，因此平方后负号可消去，转化为计算$(x+2y)^2$，再代入完全平方公式展开即可；也可以直接把$-x$看作公式里的$a$，$-2y$看作公式里的$b$，用和的完全平方公式直接展开计算，计算时注意不要弄错各项的符号。
【解析】
方法一：先提取负号再计算
$(-x-2y)^2=[-(x+2y)]^2$
根据平方的非负性，$[-(x+2y)]^2=(x+2y)^2$
代入完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，这里$a=x$，$b=2y$：
$(x+2y)^2=x^2+2· x·2y+(2y)^2=x^2+4xy+4y^2$
方法二：直接代入完全平方公式计算
将$-x$看作$a$，$-2y$看作$b$，原式为$(a+b)^2$：
$(-x-2y)^2=(-x)^2+2·(-x)·(-2y)+(-2y)^2=x^2+4xy+4y^2$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；乘方的符号性质
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心考查完全平方公式的应用，解题的易错点是符号处理失误，熟记公式、理清各项符号即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 计算$(x-2)^2 - (x-2)(x+2)$的结果为（
A.$2x^2 -8$
B.$-4x +8$
C.$2x^2$
D.4
B
）.A.$2x^2 -8$
B.$-4x +8$
C.$2x^2$
D.4
答案
3.B
解析
【分析】
本题属于整式混合运算题，解题思路如下：首先观察式子结构，式子包含两部分，分别是完全平方式和两个二项式的乘积，其中$(x-2)(x+2)$符合平方差公式的结构特征。解题时先分别利用完全平方公式展开$(x-2)^2$，利用平方差公式计算$(x-2)(x+2)$，再去括号（注意括号前是负号时括号内各项要变号），最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，对原式逐步计算：
1. 展开各项：
$(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$
$(x-2)(x+2) = x^2 - 4$
2. 代入原式并去括号：
$\begin{aligned}原式&=(x^2 - 4x + 4) - (x^2 - 4)\\&=x^2 - 4x + 4 - x^2 + 4\end{aligned}$
3. 合并同类项：
$x^2 - x^2 -4x + 4 +4 = -4x +8$
因此结果对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式混合运算
【点评】
本题是整式运算的常规题型，核心考查乘法公式的熟练应用，解题时要注意去括号的符号规则，避免因符号错误失分，熟练掌握两个乘法公式的结构特征是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题属于整式混合运算题，解题思路如下：首先观察式子结构，式子包含两部分，分别是完全平方式和两个二项式的乘积，其中$(x-2)(x+2)$符合平方差公式的结构特征。解题时先分别利用完全平方公式展开$(x-2)^2$，利用平方差公式计算$(x-2)(x+2)$，再去括号（注意括号前是负号时括号内各项要变号），最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，对原式逐步计算：
1. 展开各项：
$(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$
$(x-2)(x+2) = x^2 - 4$
2. 代入原式并去括号：
$\begin{aligned}原式&=(x^2 - 4x + 4) - (x^2 - 4)\\&=x^2 - 4x + 4 - x^2 + 4\end{aligned}$
3. 合并同类项：
$x^2 - x^2 -4x + 4 +4 = -4x +8$
因此结果对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式混合运算
【点评】
本题是整式运算的常规题型，核心考查乘法公式的熟练应用，解题时要注意去括号的符号规则，避免因符号错误失分，熟练掌握两个乘法公式的结构特征是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
4. 若$m-n=6$，$m^2+n^2=68$，则$(m+n)^2$的值是（
A.121
B.100
C.81
D.64
B
）。A.121
B.100
C.81
D.64
答案
4.B
解析
【分析】
本题可利用完全平方公式的变形建立已知条件和待求式的联系。首先根据已知的$m-n=6$，计算$(m-n)^2$的数值，再将其展开，代入已知的$m^2+n^2=68$求出$2mn$的值，最后将$(m+n)^2$展开，代入$m^2+n^2$和$2mn$的数值即可求解。
【解析】
第一步：计算$(m-n)^2$的值
已知$m-n=6$，两边同时平方得：
$(m-n)^2=6^2=36$
第二步：展开完全平方公式求$2mn$
根据完全平方公式展开得：$m^2-2mn+n^2=36$
将$m^2+n^2=68$代入上式：
$68-2mn=36$
移项计算得：$2mn=68-36=32$
第三步：计算$(m+n)^2$的值
根据完全平方公式展开$(m+n)^2$得：
$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$
将$m^2+n^2=68$，$2mn=32$代入得：
$(m+n)^2=68+32=100$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活运用，解题的关键是熟练掌握$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$的结构特征，会根据已知条件选择合适的公式变形进行代换计算，熟练掌握公式变形可以大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
本题可利用完全平方公式的变形建立已知条件和待求式的联系。首先根据已知的$m-n=6$，计算$(m-n)^2$的数值，再将其展开，代入已知的$m^2+n^2=68$求出$2mn$的值，最后将$(m+n)^2$展开，代入$m^2+n^2$和$2mn$的数值即可求解。
【解析】
第一步：计算$(m-n)^2$的值
已知$m-n=6$，两边同时平方得：
$(m-n)^2=6^2=36$
第二步：展开完全平方公式求$2mn$
根据完全平方公式展开得：$m^2-2mn+n^2=36$
将$m^2+n^2=68$代入上式：
$68-2mn=36$
移项计算得：$2mn=68-36=32$
第三步：计算$(m+n)^2$的值
根据完全平方公式展开$(m+n)^2$得：
$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$
将$m^2+n^2=68$，$2mn=32$代入得：
$(m+n)^2=68+32=100$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活运用，解题的关键是熟练掌握$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$的结构特征，会根据已知条件选择合适的公式变形进行代换计算，熟练掌握公式变形可以大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
5. 如图16.3-2，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为$a+2$的小正方形$(a＞2)$，将剩余部分剪开拼成一个平行四边形（不重叠无缝隙），则该平行四边形的面积为（
A.$3a^2 - 4a - 4$
B.$4a^2 - a - 2$
C.$a^2 + 2$
D.$2a^2 + 4a$
A
）。A.$3a^2 - 4a - 4$
B.$4a^2 - a - 2$
C.$a^2 + 2$
D.$2a^2 + 4a$
答案
5.A
解析
【分析】
解决这道题首先要明确：图形剪拼过程中，只要没有重叠和缝隙，总面积保持不变，因此要求拼成的平行四边形的面积，只需计算原来大正方形减去中间剪去的小正方形的面积差即可。接下来分别计算两个正方形的面积，再利用完全平方公式展开、合并同类项化简就能得到结果。
【解析】
根据剪拼前后面积相等，可知平行四边形的面积 = 大正方形面积 - 剪去的小正方形面积。
1. 计算大正方形面积：大正方形边长为$2a$，面积为$(2a)^2=4a^2$。
2. 计算小正方形面积：小正方形边长为$a+2$，根据完全平方公式，面积为$(a+2)^2=a^2+4a+4$。
3. 计算面积差：
$\begin{aligned}\mathrm{平行四边形面积}&=4a^2-(a^2+4a+4)\\&=4a^2-a^2-4a-4\\&=3a^2-4a-4\end{aligned}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
等积变换，完全平方公式，整式化简
【点评】
本题的解题核心是抓住剪拼前后面积不变的特点，无需推导平行四边形的底和高，直接通过面积差计算即可降低解题难度，计算时要注意完全平方公式的正确展开以及去括号时的符号变化。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确：图形剪拼过程中，只要没有重叠和缝隙，总面积保持不变，因此要求拼成的平行四边形的面积，只需计算原来大正方形减去中间剪去的小正方形的面积差即可。接下来分别计算两个正方形的面积，再利用完全平方公式展开、合并同类项化简就能得到结果。
【解析】
根据剪拼前后面积相等，可知平行四边形的面积 = 大正方形面积 - 剪去的小正方形面积。
1. 计算大正方形面积：大正方形边长为$2a$，面积为$(2a)^2=4a^2$。
2. 计算小正方形面积：小正方形边长为$a+2$，根据完全平方公式，面积为$(a+2)^2=a^2+4a+4$。
3. 计算面积差：
$\begin{aligned}\mathrm{平行四边形面积}&=4a^2-(a^2+4a+4)\\&=4a^2-a^2-4a-4\\&=3a^2-4a-4\end{aligned}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
等积变换，完全平方公式，整式化简
【点评】
本题的解题核心是抓住剪拼前后面积不变的特点，无需推导平行四边形的底和高，直接通过面积差计算即可降低解题难度，计算时要注意完全平方公式的正确展开以及去括号时的符号变化。
【难度系数】
0.7
