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6. 计算：(1) $(x-\dfrac{1}{2}y+2)^2$；
(2) $(2m+n-1)(2m-n+1)$.
(2) $(2m+n-1)(2m-n+1)$.
答案
解：(1) $(x-\dfrac{1}{2}y+2)^2=[(x-\dfrac{1}{2}y)+2]^2$
$=(x-\dfrac{1}{2}y)^2+4(x-\dfrac{1}{2}y)+4$
$=x^2-xy+\dfrac{1}{4}y^2+4x-2y+4$.
(2) $(2m+n-1)(2m-n+1)$
$=[2m+(n-1)][2m-(n-1)]$
$=(2m)^2-(n-1)^2$
$=4m^2-(n^2-2n+1)$
$=4m^2-n^2+2n-1$.
$=(x-\dfrac{1}{2}y)^2+4(x-\dfrac{1}{2}y)+4$
$=x^2-xy+\dfrac{1}{4}y^2+4x-2y+4$.
(2) $(2m+n-1)(2m-n+1)$
$=[2m+(n-1)][2m-(n-1)]$
$=(2m)^2-(n-1)^2$
$=4m^2-(n^2-2n+1)$
$=4m^2-n^2+2n-1$.
解析
【分析】
(1) 本题是三项的平方运算，我们已学的完全平方公式仅适用于两项和/差的平方，因此运用整体思想，将前两项$x-\dfrac{1}{2}y$看作一个整体，把原式转化为两项和的平方，先套用完全平方公式展开，再对含$x-\dfrac{1}{2}y$的项继续用完全平方公式展开，最后合并同类项即可。
(2) 观察两个多项式的结构，发现相同项为$2m$，剩余的$n-1$和$-n+1$互为相反数，因此将$n-1$看作一个整体，把原式变形为平方差公式的标准形式，先套用平方差公式展开，再对$(n-1)^2$用完全平方公式展开，最后去括号得到结果。
【解析】
(1) $(x-\dfrac{1}{2}y+2)^2$
$=[(x-\dfrac{1}{2}y)+2]^2$
$=(x-\dfrac{1}{2}y)^2+4(x-\dfrac{1}{2}y)+4$
$=x^2-xy+\dfrac{1}{4}y^2+4x-2y+4$
(2) $(2m+n-1)(2m-n+1)$
$=[2m+(n-1)][2m-(n-1)]$
$=(2m)^2-(n-1)^2$
$=4m^2-(n^2-2n+1)$
$=4m^2-n^2+2n-1$
【答案】
(1) $x^2-xy+\dfrac{1}{4}y^2+4x-2y+4$
(2) $4m^2-n^2+2n-1$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整体思想
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活运用，解题核心是通过合理分组，利用整体思想将多项式转化为符合乘法公式的结构，既能简化运算步骤，也能降低运算出错的概率，要求熟练掌握两类乘法公式的结构特征，准确识别公式的对应项。
【难度系数】
0.7
(1) 本题是三项的平方运算，我们已学的完全平方公式仅适用于两项和/差的平方，因此运用整体思想，将前两项$x-\dfrac{1}{2}y$看作一个整体，把原式转化为两项和的平方，先套用完全平方公式展开，再对含$x-\dfrac{1}{2}y$的项继续用完全平方公式展开，最后合并同类项即可。
(2) 观察两个多项式的结构，发现相同项为$2m$，剩余的$n-1$和$-n+1$互为相反数，因此将$n-1$看作一个整体，把原式变形为平方差公式的标准形式，先套用平方差公式展开，再对$(n-1)^2$用完全平方公式展开，最后去括号得到结果。
【解析】
(1) $(x-\dfrac{1}{2}y+2)^2$
$=[(x-\dfrac{1}{2}y)+2]^2$
$=(x-\dfrac{1}{2}y)^2+4(x-\dfrac{1}{2}y)+4$
$=x^2-xy+\dfrac{1}{4}y^2+4x-2y+4$
(2) $(2m+n-1)(2m-n+1)$
$=[2m+(n-1)][2m-(n-1)]$
$=(2m)^2-(n-1)^2$
$=4m^2-(n^2-2n+1)$
$=4m^2-n^2+2n-1$
【答案】
(1) $x^2-xy+\dfrac{1}{4}y^2+4x-2y+4$
(2) $4m^2-n^2+2n-1$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整体思想
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活运用，解题核心是通过合理分组，利用整体思想将多项式转化为符合乘法公式的结构，既能简化运算步骤，也能降低运算出错的概率，要求熟练掌握两类乘法公式的结构特征，准确识别公式的对应项。
【难度系数】
0.7
7. 已知$(x-y)^2=20$，$(x+y)^2=40$。
求：(1) $x^2+y^2$；
(2) $xy$。
求：(1) $x^2+y^2$；
(2) $xy$。
答案
解：(1) 因为 $(x-y)^2+(x+y)^2=2x^2+2y^2=60$.
所以 $x^2+y^2=30$.
(2) 因为 $(x+y)^2-(x-y)^2=4xy=20$,
所以 $xy=5$.
所以 $x^2+y^2=30$.
(2) 因为 $(x+y)^2-(x-y)^2=4xy=20$,
所以 $xy=5$.
解析
【分析】
解题时先回忆完全平方公式的展开规则：$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$。观察已知条件和待求式的结构特点：若将两个已知的完全平方式相加，含$xy$的项会相互抵消，可直接得到$2(x^2+y^2)$，就能求出$x^2+y^2$的值；若将两个已知的完全平方式相减，含$x^2$、$y^2$的项会相互抵消，可直接得到$4xy$，就能求出$xy$的值，无需单独计算$x$、$y$的具体取值，用整体思想计算更简便。
【解析】
(1) 将已知的两个等式相加：
$(x-y)^2+(x+y)^2=(x^2-2xy+y^2)+(x^2+2xy+y^2)=2x^2+2y^2$
代入已知数值可得：$20+40=2(x^2+y^2)$
即$60=2(x^2+y^2)$，等式两边同时除以2，得$x^2+y^2=30$。
(2) 将已知的两个等式相减：
$(x+y)^2-(x-y)^2=(x^2+2xy+y^2)-(x^2-2xy+y^2)=4xy$
代入已知数值可得：$40-20=4xy$
即$20=4xy$，等式两边同时除以4，得$xy=5$。
【答案】
(1) $x^2+y^2=30$；(2) $xy=5$
【知识点】
完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题是完全平方公式变形应用的典型题型，解题核心是利用完全平方公式展开后和、差的结构特点，通过整体运算消去不需要的项，快速得到待求代数式的值，可有效简化计算过程。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆完全平方公式的展开规则：$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$。观察已知条件和待求式的结构特点：若将两个已知的完全平方式相加，含$xy$的项会相互抵消，可直接得到$2(x^2+y^2)$，就能求出$x^2+y^2$的值；若将两个已知的完全平方式相减，含$x^2$、$y^2$的项会相互抵消，可直接得到$4xy$，就能求出$xy$的值，无需单独计算$x$、$y$的具体取值，用整体思想计算更简便。
【解析】
(1) 将已知的两个等式相加：
$(x-y)^2+(x+y)^2=(x^2-2xy+y^2)+(x^2+2xy+y^2)=2x^2+2y^2$
代入已知数值可得：$20+40=2(x^2+y^2)$
即$60=2(x^2+y^2)$，等式两边同时除以2，得$x^2+y^2=30$。
(2) 将已知的两个等式相减：
$(x+y)^2-(x-y)^2=(x^2+2xy+y^2)-(x^2-2xy+y^2)=4xy$
代入已知数值可得：$40-20=4xy$
即$20=4xy$，等式两边同时除以4，得$xy=5$。
【答案】
(1) $x^2+y^2=30$；(2) $xy=5$
【知识点】
完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题是完全平方公式变形应用的典型题型，解题核心是利用完全平方公式展开后和、差的结构特点，通过整体运算消去不需要的项，快速得到待求代数式的值，可有效简化计算过程。
【难度系数】
0.8
8. 已知$(x+y)^2=13$，$(x-y)^2=5$，求$x^2+3xy+y^2$。
答案
解：因为$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=13$， ①
$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=5$， ②
所以①+②，得$2x^2+2y^2=18$，
即$x^2+y^2=9$.
①−②，得$4xy=8$，即$xy=2$.
所以$3xy=6$.
所以$x^2+3xy+y^2=9+6=15$.
$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=5$， ②
所以①+②，得$2x^2+2y^2=18$，
即$x^2+y^2=9$.
①−②，得$4xy=8$，即$xy=2$.
所以$3xy=6$.
所以$x^2+3xy+y^2=9+6=15$.
解析
【分析】
观察已知条件为两个和与差的完全平方等式，待求代数式可变形为$(x^2+y^2)+3xy$的形式，因此解题时先利用完全平方公式展开已知的两个等式，再通过两式相加求出$x^2+y^2$的值、两式相减求出$xy$的值，最后整体代入待求式计算即可，无需单独求解$x$、$y$的具体值，可简化计算过程。
【解析】
因为$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=13$， ①
$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=5$， ②
①+②，得$2x^2+2y^2=18$，
化简得$x^2+y^2=9$。
①−②，得$4xy=8$，
化简得$xy=2$，因此$3xy=6$。
将$x^2+y^2=9$、$3xy=6$代入待求式，得：
$x^2+3xy+y^2=9+6=15$。
【答案】
$15$
【知识点】
完全平方公式，整式加减运算，代数式求值
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活运用，通过对已知完全平方等式作和、作差的方式整体求解所需代数式的值，避免了单独求解未知数的繁琐，是完全平方公式应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
观察已知条件为两个和与差的完全平方等式，待求代数式可变形为$(x^2+y^2)+3xy$的形式，因此解题时先利用完全平方公式展开已知的两个等式，再通过两式相加求出$x^2+y^2$的值、两式相减求出$xy$的值，最后整体代入待求式计算即可，无需单独求解$x$、$y$的具体值，可简化计算过程。
【解析】
因为$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=13$， ①
$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=5$， ②
①+②，得$2x^2+2y^2=18$，
化简得$x^2+y^2=9$。
①−②，得$4xy=8$，
化简得$xy=2$，因此$3xy=6$。
将$x^2+y^2=9$、$3xy=6$代入待求式，得：
$x^2+3xy+y^2=9+6=15$。
【答案】
$15$
【知识点】
完全平方公式，整式加减运算，代数式求值
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活运用，通过对已知完全平方等式作和、作差的方式整体求解所需代数式的值，避免了单独求解未知数的繁琐，是完全平方公式应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
