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16.1 已知$2^a=3$，$2^b=6$，$2^c=12$，现给出3个数$a$，$b$，$c$之间的三个关系式：
①$a+c=2b$；②$b=a+2$；③$a+b=2c-3$.
其中正确的关系式是
①$a+c=2b$；②$b=a+2$；③$a+b=2c-3$.
其中正确的关系式是
①③
.（填序号）答案
16.1 ①③
解析
【分析】
已知条件均是底数为2的幂的值，我们可以利用同底数幂的运算性质和幂的乘方性质来解题：若两个底数相同的幂相等，则它们的指数相等。我们将三个待验证的关系式，分别转化为对应同底数幂的运算，通过比较幂的结果是否相等，来判断指数关系式是否成立，无需计算a、b、c的具体值。
【解析】
已知$2^a=3$，$2^b=6$，$2^c=12$，逐一验证关系式：
1. 验证①$a+c=2b$：
根据同底数幂的乘法法则，$2^{a+c}=2^a · 2^c = 3 × 12 = 36$；
根据幂的乘方法则，$2^{2b}=(2^b)^2 = 6^2 = 36$；
可得$2^{a+c}=2^{2b}$，故$a+c=2b$，①正确。
2. 验证②$b=a+2$：
根据同底数幂的乘法法则，$2^{a+2}=2^a · 2^2 = 3 × 4 = 12$，而$2^b=6$，则$2^{a+2} ≠ 2^b$，故$a+2 ≠ b$，②错误。
3. 验证③$a+b=2c-3$：
根据同底数幂的乘法法则，$2^{a+b}=2^a · 2^b = 3 × 6 = 18$；
根据幂的乘方和同底数幂的除法法则，$2^{2c-3}=(2^c)^2 ÷ 2^3 = 12^2 ÷ 8 = 144 ÷ 8 = 18$；
可得$2^{a+b}=2^{2c-3}$，故$a+b=2c-3$，③正确。
综上，正确的关系式为①③。
【答案】
①③
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；同底数幂的除法
【点评】
本题核心考查幂的运算性质的灵活运用，解题时不需要求出指数的具体值，通过将指数关系转化为同底数幂的运算即可快速判断，能很好地考查学生对幂运算性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
已知条件均是底数为2的幂的值，我们可以利用同底数幂的运算性质和幂的乘方性质来解题：若两个底数相同的幂相等，则它们的指数相等。我们将三个待验证的关系式，分别转化为对应同底数幂的运算，通过比较幂的结果是否相等，来判断指数关系式是否成立，无需计算a、b、c的具体值。
【解析】
已知$2^a=3$，$2^b=6$，$2^c=12$，逐一验证关系式：
1. 验证①$a+c=2b$：
根据同底数幂的乘法法则，$2^{a+c}=2^a · 2^c = 3 × 12 = 36$；
根据幂的乘方法则，$2^{2b}=(2^b)^2 = 6^2 = 36$；
可得$2^{a+c}=2^{2b}$，故$a+c=2b$，①正确。
2. 验证②$b=a+2$：
根据同底数幂的乘法法则，$2^{a+2}=2^a · 2^2 = 3 × 4 = 12$，而$2^b=6$，则$2^{a+2} ≠ 2^b$，故$a+2 ≠ b$，②错误。
3. 验证③$a+b=2c-3$：
根据同底数幂的乘法法则，$2^{a+b}=2^a · 2^b = 3 × 6 = 18$；
根据幂的乘方和同底数幂的除法法则，$2^{2c-3}=(2^c)^2 ÷ 2^3 = 12^2 ÷ 8 = 144 ÷ 8 = 18$；
可得$2^{a+b}=2^{2c-3}$，故$a+b=2c-3$，③正确。
综上，正确的关系式为①③。
【答案】
①③
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；同底数幂的除法
【点评】
本题核心考查幂的运算性质的灵活运用，解题时不需要求出指数的具体值，通过将指数关系转化为同底数幂的运算即可快速判断，能很好地考查学生对幂运算性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
16.2 已知式子$(mx-3)(2x+4)-x^2 -n$化简后不含$x^2$项和常数项.
（1）求$m$，$n$的值；
（2）求$(2m+n)^2 - (m-2n)(m+2n) -3m(m-n)$的值.
（1）求$m$，$n$的值；
（2）求$(2m+n)^2 - (m-2n)(m+2n) -3m(m-n)$的值.
答案
解：(1) $(mx-3)(2x+4)-x^2 -n$
$=2mx^2+4mx-6x-12-x^2-n$
$=(2m-1)x^2+(4m-6)x+(-12-n).$
∵化简后不含$x^2$项和常数项，
∴$2m-1=0$，$-12-n=0.$
∴$m=\frac{1}{2}$，$n=-12.$
(2) 原式$=4m^2+4mn+n^2-m^2+4n^2-3m^2+3mn=7mn+5n^2.$
当$m=\frac{1}{2}$，$n=-12$时，
原式$=7×\frac{1}{2}×(-12)+5×(-12)^2=678.$
$=2mx^2+4mx-6x-12-x^2-n$
$=(2m-1)x^2+(4m-6)x+(-12-n).$
∵化简后不含$x^2$项和常数项，
∴$2m-1=0$，$-12-n=0.$
∴$m=\frac{1}{2}$，$n=-12.$
(2) 原式$=4m^2+4mn+n^2-m^2+4n^2-3m^2+3mn=7mn+5n^2.$
当$m=\frac{1}{2}$，$n=-12$时，
原式$=7×\frac{1}{2}×(-12)+5×(-12)^2=678.$
解析
【分析】
（1）求解第一问时，先根据多项式乘多项式法则展开给定的式子，再合并同类项，将式子整理为按x的降幂排列的形式；题目说明化简后不含$x^2$项和常数项，即$x^2$项的系数、常数项的取值均为0，据此列方程即可求出m、n的取值。
（2）求解第二问时，先利用完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则展开待求代数式，合并同类项得到最简形式，再将第一问求出的m、n的值代入最简式计算即可，先化简再代值能简化计算过程，降低出错概率。
【解析】
(1) 展开并化简原式：
$\begin{aligned}&(mx-3)(2x+4)-x^2 -n\\=&2mx^2+4mx-6x-12-x^2-n\\=&(2m-1)x^2+(4m-6)x+(-12-n)\end{aligned}$
∵化简后不含$x^2$项和常数项，
∴$x^2$项系数$2m-1=0$，常数项$-12-n=0$，
解得$m=\frac{1}{2}$，$n=-12$。
(2) 先化简待求式：
$\begin{aligned}&(2m+n)^2 - (m-2n)(m+2n) -3m(m-n)\\=&4m^2+4mn+n^2-(m^2-4n^2)-3m^2+3mn\\=&4m^2+4mn+n^2-m^2+4n^2-3m^2+3mn\\=&7mn+5n^2\end{aligned}$
将$m=\frac{1}{2}$，$n=-12$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=7×\frac{1}{2}×(-12)+5×(-12)^2\\&=-42 + 720\\&=678\end{aligned}$
【答案】
（1）$m=\frac{1}{2}$，$n=-12$；（2）$678$
【知识点】
多项式乘多项式，整式化简求值，合并同类项
【点评】
本题是整式运算的经典考题，核心考点是“多项式不含某一项则该项系数为0”的性质，第二问先化简后代入求值的思路可大幅减少计算量，能有效提升计算准确率，主要考察学生对整式运算法则的掌握程度和基础计算能力。
【难度系数】
0.75
（1）求解第一问时，先根据多项式乘多项式法则展开给定的式子，再合并同类项，将式子整理为按x的降幂排列的形式；题目说明化简后不含$x^2$项和常数项，即$x^2$项的系数、常数项的取值均为0，据此列方程即可求出m、n的取值。
（2）求解第二问时，先利用完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则展开待求代数式，合并同类项得到最简形式，再将第一问求出的m、n的值代入最简式计算即可，先化简再代值能简化计算过程，降低出错概率。
【解析】
(1) 展开并化简原式：
$\begin{aligned}&(mx-3)(2x+4)-x^2 -n\\=&2mx^2+4mx-6x-12-x^2-n\\=&(2m-1)x^2+(4m-6)x+(-12-n)\end{aligned}$
∵化简后不含$x^2$项和常数项，
∴$x^2$项系数$2m-1=0$，常数项$-12-n=0$，
解得$m=\frac{1}{2}$，$n=-12$。
(2) 先化简待求式：
$\begin{aligned}&(2m+n)^2 - (m-2n)(m+2n) -3m(m-n)\\=&4m^2+4mn+n^2-(m^2-4n^2)-3m^2+3mn\\=&4m^2+4mn+n^2-m^2+4n^2-3m^2+3mn\\=&7mn+5n^2\end{aligned}$
将$m=\frac{1}{2}$，$n=-12$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=7×\frac{1}{2}×(-12)+5×(-12)^2\\&=-42 + 720\\&=678\end{aligned}$
【答案】
（1）$m=\frac{1}{2}$，$n=-12$；（2）$678$
【知识点】
多项式乘多项式，整式化简求值，合并同类项
【点评】
本题是整式运算的经典考题，核心考点是“多项式不含某一项则该项系数为0”的性质，第二问先化简后代入求值的思路可大幅减少计算量，能有效提升计算准确率，主要考察学生对整式运算法则的掌握程度和基础计算能力。
【难度系数】
0.75
16.3 阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式.
例如，由图16-1①得到：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
基于此，请回答下列问题：
（1）类似图16-1①表示的数学等式，写出图16-1②表示的数学等式：
（2）小南同学用图16-1③中的$x$张边长为$a$的正方形，$y$张长、宽分别为$b$，$a$的长方形，$z$张边长为$b$的正方形，拼出一个面积为$(a+2b)(2a+b)$的长方形，求$x+y+z$的平方根；
（3）已知：$(2025-x)^2+(x-2024)^2=7$，求$(2025-x)(x-2024)$的值.
例如，由图16-1①得到：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
基于此，请回答下列问题：
（1）类似图16-1①表示的数学等式，写出图16-1②表示的数学等式：
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
；（2）小南同学用图16-1③中的$x$张边长为$a$的正方形，$y$张长、宽分别为$b$，$a$的长方形，$z$张边长为$b$的正方形，拼出一个面积为$(a+2b)(2a+b)$的长方形，求$x+y+z$的平方根；
（3）已知：$(2025-x)^2+(x-2024)^2=7$，求$(2025-x)(x-2024)$的值.
答案
解：(1) $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
(2) $\because(a+2b)(2a+b)=2a^2+5ab+2b^2,$
$\therefore x=2,\ y=5,\ z=2.$
$\therefore x+y+z=2+5+2=9.$
$\therefore x+y+z$的平方根是$\pm3.$
(3) 令$a=2025-x$，$b=x-2024$，
则$a+b=2025-x+x-2024=1.$
$\because (2025-x)^2+(x-2024)^2=7,$
$\therefore a^2+b^2=7.$
$\therefore 2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)=1-7=-6.$
$\therefore ab=-3.$
$\therefore(2025-x)(x-2024)=-3.$
(2) $\because(a+2b)(2a+b)=2a^2+5ab+2b^2,$
$\therefore x=2,\ y=5,\ z=2.$
$\therefore x+y+z=2+5+2=9.$
$\therefore x+y+z$的平方根是$\pm3.$
(3) 令$a=2025-x$，$b=x-2024$，
则$a+b=2025-x+x-2024=1.$
$\because (2025-x)^2+(x-2024)^2=7,$
$\therefore a^2+b^2=7.$
$\therefore 2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)=1-7=-6.$
$\therefore ab=-3.$
$\therefore(2025-x)(x-2024)=-3.$
解析
【分析】
（1）先计算大正方形的整体面积，再计算分割后所有小图形的面积之和，二者相等即可推出等式：图②中大正方形边长为$a+b+c$，面积为$(a+b+c)^2$，分割后包含3个小正方形和6个长方形，面积相加后和整体面积相等即可得到对应恒等式。
（2）先利用多项式乘多项式法则展开$(a+2b)(2a+b)$，根据展开式中$a^2$、$ab$、$b^2$的系数即可对应得到$x$、$y$、$z$的值，求和后再求平方根即可，注意平方根包含正负两个值。
（3）用换元法简化计算，设$a=2025-x$，$b=x-2024$，先计算得到$a+b=1$，结合已知$a^2+b^2=7$，利用完全平方公式变形$ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}$，代入数值即可求解，避免直接展开的繁琐。
【解析】
(1) 图②中大正方形的边长为$a+b+c$，总面积为$(a+b+c)^2$；分割后的图形包含面积为$a^2$、$b^2$、$c^2$的3个正方形，以及2个面积为$ab$、2个面积为$ac$、2个面积为$bc$的长方形，总面积和为$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$，因此可得等式。
(2) 展开多项式乘积：
$\because(a+2b)(2a+b)=2a^2+ab+4ab+2b^2=2a^2+5ab+2b^2$
对应卡片的面积系数可得：$x=2$，$y=5$，$z=2$
$\therefore x+y+z=2+5+2=9$
$\because (\pm3)^2=9$，因此9的平方根为$\pm3$。
(3) 令$a=2025-x$，$b=x-2024$，则：
$a+b=(2025-x)+(x-2024)=1$
由题意得$a^2+b^2=7$，根据完全平方公式变形得：
$2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)=1^2-7=-6$
解得$ab=-3$，即$(2025-x)(x-2024)=-3$。
【答案】
(1) $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
(2) $\pm3$
(3) $-3$
【知识点】
完全平方公式，多项式乘多项式，平方根的定义
【点评】
本题以数形结合思想为核心，考查整式乘法相关公式的灵活运用，既要求学生熟练掌握基础公式的变形，也考查了换元法简化计算的技巧，对知识的迁移应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
（1）先计算大正方形的整体面积，再计算分割后所有小图形的面积之和，二者相等即可推出等式：图②中大正方形边长为$a+b+c$，面积为$(a+b+c)^2$，分割后包含3个小正方形和6个长方形，面积相加后和整体面积相等即可得到对应恒等式。
（2）先利用多项式乘多项式法则展开$(a+2b)(2a+b)$，根据展开式中$a^2$、$ab$、$b^2$的系数即可对应得到$x$、$y$、$z$的值，求和后再求平方根即可，注意平方根包含正负两个值。
（3）用换元法简化计算，设$a=2025-x$，$b=x-2024$，先计算得到$a+b=1$，结合已知$a^2+b^2=7$，利用完全平方公式变形$ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}$，代入数值即可求解，避免直接展开的繁琐。
【解析】
(1) 图②中大正方形的边长为$a+b+c$，总面积为$(a+b+c)^2$；分割后的图形包含面积为$a^2$、$b^2$、$c^2$的3个正方形，以及2个面积为$ab$、2个面积为$ac$、2个面积为$bc$的长方形，总面积和为$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$，因此可得等式。
(2) 展开多项式乘积：
$\because(a+2b)(2a+b)=2a^2+ab+4ab+2b^2=2a^2+5ab+2b^2$
对应卡片的面积系数可得：$x=2$，$y=5$，$z=2$
$\therefore x+y+z=2+5+2=9$
$\because (\pm3)^2=9$，因此9的平方根为$\pm3$。
(3) 令$a=2025-x$，$b=x-2024$，则：
$a+b=(2025-x)+(x-2024)=1$
由题意得$a^2+b^2=7$，根据完全平方公式变形得：
$2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)=1^2-7=-6$
解得$ab=-3$，即$(2025-x)(x-2024)=-3$。
【答案】
(1) $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
(2) $\pm3$
(3) $-3$
【知识点】
完全平方公式，多项式乘多项式，平方根的定义
【点评】
本题以数形结合思想为核心，考查整式乘法相关公式的灵活运用，既要求学生熟练掌握基础公式的变形，也考查了换元法简化计算的技巧，对知识的迁移应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
