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7. 计算：$(3x^{2}y^{3} - x^{3}y^{2} + \dfrac{1}{2}x^{2}y^{2}) ÷ (-\dfrac{1}{2}xy)^{2} =$
$12y-4x+2$
。答案
7. $12y-4x+2$
解析
【分析】
本题属于整式混合运算，需遵循“先乘方，后除法”的运算顺序思考：第一步先利用积的乘方法则计算除式$(-\dfrac{1}{2}xy)^2$，将除式化简为单项式；第二步再根据多项式除以单项式的法则，把多项式的每一项分别除以化简后的单项式，计算每一项的商时结合同底数幂的除法规则运算，最后把所有商相加即可得到结果，计算过程中要注意系数运算和符号处理。
【解析】
解：先计算除式的乘方：
$(-\dfrac{1}{2}xy)^2 = (-\dfrac{1}{2})^2 · x^2 · y^2 = \dfrac{1}{4}x^2y^2$
再计算多项式除以单项式：
$\begin{aligned}原式&=(3x^{2}y^{3} - x^{3}y^{2} + \dfrac{1}{2}x^{2}y^{2}) ÷ \dfrac{1}{4}x^{2}y^{2} \\&=3x^2y^3 ÷ \dfrac{1}{4}x^2y^2 - x^3y^2 ÷ \dfrac{1}{4}x^2y^2 + \dfrac{1}{2}x^2y^2 ÷ \dfrac{1}{4}x^2y^2 \\&=12y - 4x + 2\end{aligned}$
【答案】
$12y-4x+2$
【知识点】
积的乘方运算；多项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题是整式除法的基础运算题，核心是掌握整式混合运算的顺序和相关运算法则，计算时需注意系数的运算以及符号的处理，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.8
本题属于整式混合运算，需遵循“先乘方，后除法”的运算顺序思考：第一步先利用积的乘方法则计算除式$(-\dfrac{1}{2}xy)^2$，将除式化简为单项式；第二步再根据多项式除以单项式的法则，把多项式的每一项分别除以化简后的单项式，计算每一项的商时结合同底数幂的除法规则运算，最后把所有商相加即可得到结果，计算过程中要注意系数运算和符号处理。
【解析】
解：先计算除式的乘方：
$(-\dfrac{1}{2}xy)^2 = (-\dfrac{1}{2})^2 · x^2 · y^2 = \dfrac{1}{4}x^2y^2$
再计算多项式除以单项式：
$\begin{aligned}原式&=(3x^{2}y^{3} - x^{3}y^{2} + \dfrac{1}{2}x^{2}y^{2}) ÷ \dfrac{1}{4}x^{2}y^{2} \\&=3x^2y^3 ÷ \dfrac{1}{4}x^2y^2 - x^3y^2 ÷ \dfrac{1}{4}x^2y^2 + \dfrac{1}{2}x^2y^2 ÷ \dfrac{1}{4}x^2y^2 \\&=12y - 4x + 2\end{aligned}$
【答案】
$12y-4x+2$
【知识点】
积的乘方运算；多项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题是整式除法的基础运算题，核心是掌握整式混合运算的顺序和相关运算法则，计算时需注意系数的运算以及符号的处理，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.8
8. 已知$3× 27^m ÷ 9^m = 3^{21}$，求$m$的值.
答案
解：$\because 3×27^m ÷9^m$
$=3×(3^3)^m ÷(3^2)^m$
$=3×3^{3m} ÷3^{2m}$
$=3^{1+m}$，
$3×27^m ÷9^m = 3^{21}$，
$\therefore 3^{1+m}=3^{21}$.
$\therefore 1+m=21$.
解得$m=20$.
$=3×(3^3)^m ÷(3^2)^m$
$=3×3^{3m} ÷3^{2m}$
$=3^{1+m}$，
$3×27^m ÷9^m = 3^{21}$，
$\therefore 3^{1+m}=3^{21}$.
$\therefore 1+m=21$.
解得$m=20$.
解析
【分析】
解题时先观察等式两边幂的底数，右侧底数为3，因此首先将左侧的$27^m$、$9^m$都转化为以3为底的幂的形式，再利用幂的乘方、同底数幂的乘除运算法则化简左侧式子，得到底数为3的幂，最后根据“同底数幂相等时指数相等”的性质列一元一次方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】
$\because 3×27^m ÷9^m$
$=3×(3^3)^m ÷(3^2)^m$
$=3×3^{3m} ÷3^{2m}$
$=3^{1+m}$，
又$\because 3×27^m ÷9^m = 3^{21}$，
$\therefore 3^{1+m}=3^{21}$，
根据同底数幂相等则指数相等可得：$1+m=21$，
解得$m=20$。
【答案】
$m=20$
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算、同底数幂的性质
【点评】
本题是幂运算的常规基础题型，重点考查幂的相关运算法则的应用，解题核心是先统一幂的底数，再结合同底数幂的性质建立方程求解，计算时注意区分不同幂运算的指数规则，避免混淆。
【难度系数】
0.8
解题时先观察等式两边幂的底数，右侧底数为3，因此首先将左侧的$27^m$、$9^m$都转化为以3为底的幂的形式，再利用幂的乘方、同底数幂的乘除运算法则化简左侧式子，得到底数为3的幂，最后根据“同底数幂相等时指数相等”的性质列一元一次方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】
$\because 3×27^m ÷9^m$
$=3×(3^3)^m ÷(3^2)^m$
$=3×3^{3m} ÷3^{2m}$
$=3^{1+m}$，
又$\because 3×27^m ÷9^m = 3^{21}$，
$\therefore 3^{1+m}=3^{21}$，
根据同底数幂相等则指数相等可得：$1+m=21$，
解得$m=20$。
【答案】
$m=20$
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算、同底数幂的性质
【点评】
本题是幂运算的常规基础题型，重点考查幂的相关运算法则的应用，解题核心是先统一幂的底数，再结合同底数幂的性质建立方程求解，计算时注意区分不同幂运算的指数规则，避免混淆。
【难度系数】
0.8
9. 先化简，再求值：$(2x^{m+2} - \frac{2}{3}x^{m+1} + x^m) ÷ (-3x^{m-1})$，其中$x=-3$。
答案
解：$(2 x^{m+2}-\dfrac{2}{3} x^{m+1}+x^{m}) ÷ (-3 x^{m-1})$
$=2x^{m+2}÷ (-3x^{m-1})-\dfrac{2}{3}x^{m+1}÷ (-3x^{m-1})+x^m÷ (-3x^{m-1})$
$=-\dfrac{2}{3}x^3+\dfrac{2}{9}x^2-\dfrac{1}{3}x$，
当$x=-3$时，原式$=-\dfrac{2}{3}× (-3)^3+\dfrac{2}{9}× (-3)^2-\dfrac{1}{3}× (-3)=21$.
$=2x^{m+2}÷ (-3x^{m-1})-\dfrac{2}{3}x^{m+1}÷ (-3x^{m-1})+x^m÷ (-3x^{m-1})$
$=-\dfrac{2}{3}x^3+\dfrac{2}{9}x^2-\dfrac{1}{3}x$，
当$x=-3$时，原式$=-\dfrac{2}{3}× (-3)^3+\dfrac{2}{9}× (-3)^2-\dfrac{1}{3}× (-3)=21$.
解析
【分析】
本题是整式的化简求值题，解题可分为两步思考：第一步先化简多项式除以单项式的式子，根据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再结合同底数幂的除法法则（底数不变，指数相减）计算每一项的商，合并后就能得到不含参数m的最简整式；第二步将x=-3代入最简整式，按照有理数的运算法则计算出最终结果即可。
【解析】
解：根据多项式除以单项式的运算法则，将原式拆分计算：
$(2x^{m+2} - \frac{2}{3}x^{m+1} + x^m) ÷ (-3x^{m-1})$
$=2x^{m+2}÷ (-3x^{m-1})-\frac{2}{3}x^{m+1}÷ (-3x^{m-1})+x^m÷ (-3x^{m-1})$
根据同底数幂的除法法则$a^p÷a^q=a^{p-q}$（$a≠0$）计算每一项：
$=-\frac{2}{3}x^{(m+2)-(m-1)} + (\frac{2}{3}÷3)x^{(m+1)-(m-1)} - \frac{1}{3}x^{m-(m-1)}$
$=-\frac{2}{3}x^3+\frac{2}{9}x^2-\frac{1}{3}x$
将$x=-3$代入化简后的式子：
原式$=-\frac{2}{3}× (-3)^3+\frac{2}{9}× (-3)^2-\frac{1}{3}× (-3)$
$=-\frac{2}{3}×(-27) + \frac{2}{9}×9 + 1$
$=18 + 2 + 1 = 21$
【答案】
21
【知识点】
多项式除以单项式；同底数幂的除法；整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的常规题型，核心是熟练掌握整式除法的相关运算法则，运算时要注意每项的符号，避免符号错误，代入负数求值时要注意负数乘方的运算规则。
【难度系数】
0.7
本题是整式的化简求值题，解题可分为两步思考：第一步先化简多项式除以单项式的式子，根据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再结合同底数幂的除法法则（底数不变，指数相减）计算每一项的商，合并后就能得到不含参数m的最简整式；第二步将x=-3代入最简整式，按照有理数的运算法则计算出最终结果即可。
【解析】
解：根据多项式除以单项式的运算法则，将原式拆分计算：
$(2x^{m+2} - \frac{2}{3}x^{m+1} + x^m) ÷ (-3x^{m-1})$
$=2x^{m+2}÷ (-3x^{m-1})-\frac{2}{3}x^{m+1}÷ (-3x^{m-1})+x^m÷ (-3x^{m-1})$
根据同底数幂的除法法则$a^p÷a^q=a^{p-q}$（$a≠0$）计算每一项：
$=-\frac{2}{3}x^{(m+2)-(m-1)} + (\frac{2}{3}÷3)x^{(m+1)-(m-1)} - \frac{1}{3}x^{m-(m-1)}$
$=-\frac{2}{3}x^3+\frac{2}{9}x^2-\frac{1}{3}x$
将$x=-3$代入化简后的式子：
原式$=-\frac{2}{3}× (-3)^3+\frac{2}{9}× (-3)^2-\frac{1}{3}× (-3)$
$=-\frac{2}{3}×(-27) + \frac{2}{9}×9 + 1$
$=18 + 2 + 1 = 21$
【答案】
21
【知识点】
多项式除以单项式；同底数幂的除法；整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的常规题型，核心是熟练掌握整式除法的相关运算法则，运算时要注意每项的符号，避免符号错误，代入负数求值时要注意负数乘方的运算规则。
【难度系数】
0.7
10.【概念学习】我们规定两数 $a$，$b$ 之间的一种运算，记作 $[a, b]$：如果 $a^c = b$，那么 $[a, b] = c$。例如 $2^3 = 8$，记作 $[2, 8] = 3$。
【初步探究】（1）根据以上规定求出：$[4, 64] = \_\_\_\_\_\_$；$[2024, 1] = \_\_\_\_\_\_$；
【深入思考】对于同底数幂的运算，我们有 $a^x · a^y = a^{x+y}$，$a^x ÷ a^y = a^{x-y}$。例如 $2^4 · 2^7 = 2^{4+7} = 2^{11}$，$2^7 ÷ 2^4 = 2^{7-4} = 2^3$。
（2）小明发现 $[5, 3] + [5, 4] = [5, 12]$ 也成立，并证明如下：
设 $[5, 3] = x$，$[5, 4] = y$，则 $5^x = 3$，$5^y = 4$。因为 $5^x × 5^y = 5^{x+y} = 12$，所以 $[5, 12] = x + y$，所以 $[5, 3] + [5, 4] = x + y = [5, 12]$。
根据以上证明，请计算 $[2024, 6] + [2024, 7] = [2024, \_\_\_\_\_\_]$，请写清楚计算过程；
（3）猜想 $[4, 14] - [4, 7] = [4, \_\_\_\_\_\_]$，并说明理由。
【初步探究】（1）根据以上规定求出：$[4, 64] = \_\_\_\_\_\_$；$[2024, 1] = \_\_\_\_\_\_$；
【深入思考】对于同底数幂的运算，我们有 $a^x · a^y = a^{x+y}$，$a^x ÷ a^y = a^{x-y}$。例如 $2^4 · 2^7 = 2^{4+7} = 2^{11}$，$2^7 ÷ 2^4 = 2^{7-4} = 2^3$。
（2）小明发现 $[5, 3] + [5, 4] = [5, 12]$ 也成立，并证明如下：
设 $[5, 3] = x$，$[5, 4] = y$，则 $5^x = 3$，$5^y = 4$。因为 $5^x × 5^y = 5^{x+y} = 12$，所以 $[5, 12] = x + y$，所以 $[5, 3] + [5, 4] = x + y = [5, 12]$。
根据以上证明，请计算 $[2024, 6] + [2024, 7] = [2024, \_\_\_\_\_\_]$，请写清楚计算过程；
（3）猜想 $[4, 14] - [4, 7] = [4, \_\_\_\_\_\_]$，并说明理由。
答案
解：(1) 3 0
(2) 42
设$[2\ 024,\ 6]=x$，$[2\ 024,\ 7]=y$，则$2\ 024^x=6$，$2\ 024^y=7$.
$\because 2\ 024^x × 2\ 024^y=2\ 024^{x+y}=6× 7=42$，
$\therefore [2\ 024,\ 42]=x+y$.
$\therefore [2\ 024,\ 6] + [2\ 024,\ 7] = x + y = [2\ 024,\ 42]$.
(3) 2. 理由如下：
设$[4,\ 14]=x$，$[4,\ 7]=y$，
则$4^x=14$，$4^y=7$.
$\because 4^x ÷ 4^y=4^{x-y}=14÷ 7=2$，
$\therefore [4,\ 2]=x-y$.
$\therefore [4,\ 14]-[4,\ 7]=x-y=[4,\ 2]$.
(2) 42
设$[2\ 024,\ 6]=x$，$[2\ 024,\ 7]=y$，则$2\ 024^x=6$，$2\ 024^y=7$.
$\because 2\ 024^x × 2\ 024^y=2\ 024^{x+y}=6× 7=42$，
$\therefore [2\ 024,\ 42]=x+y$.
$\therefore [2\ 024,\ 6] + [2\ 024,\ 7] = x + y = [2\ 024,\ 42]$.
(3) 2. 理由如下：
设$[4,\ 14]=x$，$[4,\ 7]=y$，
则$4^x=14$，$4^y=7$.
$\because 4^x ÷ 4^y=4^{x-y}=14÷ 7=2$，
$\therefore [4,\ 2]=x-y$.
$\therefore [4,\ 14]-[4,\ 7]=x-y=[4,\ 2]$.
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题核心是先理解运算$[a,b]$的含义：若$a^c = b$，则$[a,b]=c$，本质是求以$a$为底$b$对应的指数。解题思路如下：
1. 第（1）问：直接根据定义找对应指数即可，先计算4的几次方等于64，再结合非零数的0次方为1求第二个空；
2. 第（2）问：参照题目给出的证明思路，先设两个运算结果分别为$x$、$y$，转化为同底数幂的形式，再利用同底数幂相乘，底数不变指数相加的法则，结合新定义推导结果；
3. 第（3）问：类比第（2）问的方法，将减法对应同底数幂的除法法则，推导即可得到结果。
【解析】
(1) 因为$4^3=64$，根据定义得$[4,64]=3$；
因为任意非零数的0次方为1，即$2024^0=1$，所以$[2024,1]=0$。
(2) 计算过程如下：
设$[2024, 6]=x$，$[2024, 7]=y$，则$2024^x=6$，$2024^y=7$.
$\because 2024^x × 2024^y=2024^{x+y}=6×7=42$，
$\therefore [2024, 42]=x+y$.
$\therefore [2024, 6] + [2024, 7] = x + y = [2024, 42]$.
(3) 理由如下：
设$[4, 14]=x$，$[4, 7]=y$，
则$4^x=14$，$4^y=7$.
$\because 4^x ÷ 4^y=4^{x-y}=14÷7=2$，
$\therefore [4, 2]=x-y$.
$\therefore [4, 14]-[4, 7]=x-y=[4, 2]$.
【答案】
(1) $3$，$0$；(2) $42$；(3) $2$
【知识点】
新定义运算、同底数幂的乘法、同底数幂的除法
【点评】
本题以新定义运算为载体，考查对新概念的理解迁移能力和幂的运算性质的应用，需要学会将陌生的新运算转化为已经学过的幂的运算解决问题，是代数类常见的创新题型。
【难度系数】
0.7
本题是新定义运算类题目，解题核心是先理解运算$[a,b]$的含义：若$a^c = b$，则$[a,b]=c$，本质是求以$a$为底$b$对应的指数。解题思路如下：
1. 第（1）问：直接根据定义找对应指数即可，先计算4的几次方等于64，再结合非零数的0次方为1求第二个空；
2. 第（2）问：参照题目给出的证明思路，先设两个运算结果分别为$x$、$y$，转化为同底数幂的形式，再利用同底数幂相乘，底数不变指数相加的法则，结合新定义推导结果；
3. 第（3）问：类比第（2）问的方法，将减法对应同底数幂的除法法则，推导即可得到结果。
【解析】
(1) 因为$4^3=64$，根据定义得$[4,64]=3$；
因为任意非零数的0次方为1，即$2024^0=1$，所以$[2024,1]=0$。
(2) 计算过程如下：
设$[2024, 6]=x$，$[2024, 7]=y$，则$2024^x=6$，$2024^y=7$.
$\because 2024^x × 2024^y=2024^{x+y}=6×7=42$，
$\therefore [2024, 42]=x+y$.
$\therefore [2024, 6] + [2024, 7] = x + y = [2024, 42]$.
(3) 理由如下：
设$[4, 14]=x$，$[4, 7]=y$，
则$4^x=14$，$4^y=7$.
$\because 4^x ÷ 4^y=4^{x-y}=14÷7=2$，
$\therefore [4, 2]=x-y$.
$\therefore [4, 14]-[4, 7]=x-y=[4, 2]$.
【答案】
(1) $3$，$0$；(2) $42$；(3) $2$
【知识点】
新定义运算、同底数幂的乘法、同底数幂的除法
【点评】
本题以新定义运算为载体，考查对新概念的理解迁移能力和幂的运算性质的应用，需要学会将陌生的新运算转化为已经学过的幂的运算解决问题，是代数类常见的创新题型。
【难度系数】
0.7
