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5. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$36°$，则该等腰三角形的底角的度数为
63°或27°
。答案
5. $63°或27°$
解析
【分析】
这道题需要结合等腰三角形的性质分类讨论求解，因为等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，腰上的高的位置会不同：①当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，可先求出顶角，再结合内角和求底角；②当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，需先求出顶角的邻补角，再得到顶角，最后计算底角，两种情况都要考虑，避免漏解。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部：
已知一腰上的高与另一腰的夹角为$36°$，在高与腰构成的直角三角形中，两个锐角互余，因此顶角为 $90° - 36° = 54°$。
根据等腰三角形两底角相等，且三角形内角和为$180°$，可得底角为 $\frac{180° - 54°}{2} = 63°$。
2. 当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部：
此时一腰上的高与另一腰的夹角为$36°$，在高与腰延长线构成的直角三角形中，可得顶角的邻补角为 $90° - 36° = 54°$，因此顶角为 $180° - 54° = 126°$。
同理可得底角为 $\frac{180° - 126°}{2} = 27°$。
【答案】
$63°或27°$
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理
【点评】
本题的易错点是忽略等腰三角形的分类，仅考虑锐角三角形的情况导致漏解，解题时要结合高的位置，全面分析不同形状的等腰三角形的情况。
【难度系数】
0.5
这道题需要结合等腰三角形的性质分类讨论求解，因为等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，腰上的高的位置会不同：①当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，可先求出顶角，再结合内角和求底角；②当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，需先求出顶角的邻补角，再得到顶角，最后计算底角，两种情况都要考虑，避免漏解。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部：
已知一腰上的高与另一腰的夹角为$36°$，在高与腰构成的直角三角形中，两个锐角互余，因此顶角为 $90° - 36° = 54°$。
根据等腰三角形两底角相等，且三角形内角和为$180°$，可得底角为 $\frac{180° - 54°}{2} = 63°$。
2. 当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部：
此时一腰上的高与另一腰的夹角为$36°$，在高与腰延长线构成的直角三角形中，可得顶角的邻补角为 $90° - 36° = 54°$，因此顶角为 $180° - 54° = 126°$。
同理可得底角为 $\frac{180° - 126°}{2} = 27°$。
【答案】
$63°或27°$
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理
【点评】
本题的易错点是忽略等腰三角形的分类，仅考虑锐角三角形的情况导致漏解，解题时要结合高的位置，全面分析不同形状的等腰三角形的情况。
【难度系数】
0.5
6.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为
120°或20°
.答案
6. $120°或20°$
解析
【分析】
解决本题首先要明确等腰三角形两底角相等的性质，由于题目仅说明两个内角度数比为1:4，未指明这两个角是顶角还是底角，因此需要分类讨论两种情况：一是顶角和底角的比为1:4，二是底角和顶角的比为1:4；再结合三角形内角和为180°分别计算顶角的度数，最后验证计算结果是否符合三角形的内角要求，避免漏解或错解。
【解析】
设等腰三角形的两个内角的度数分别为$ x $和$ 4x $，分两种情况讨论：
① 当$ x $为顶角的度数时，两个底角的度数均为$ 4x $，根据三角形内角和为180°可得：
$ x + 4x + 4x = 180° $
合并同类项得$ 9x = 180° $
解得$ x = 20° $，即顶角为$ 20° $，符合三角形内角要求；
② 当$ x $为底角的度数时，顶角的度数为$ 4x $，根据三角形内角和为180°可得：
$ x + x + 4x = 180° $
合并同类项得$ 6x = 180° $
解得$ x = 30° $，则顶角为$ 4x = 4×30° = 120° $，符合三角形内角要求。
综上，等腰三角形的顶角度数为$ 120° $或$ 20° $。
【答案】
$ 120° $或$ 20° $
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，仅考虑其中一种角度比例情况导致漏解，解题时需注意明确等腰三角形的角分为顶角和底角，不确定对应关系时要分情况讨论，同时要验证结果是否符合三角形的基本性质。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确等腰三角形两底角相等的性质，由于题目仅说明两个内角度数比为1:4，未指明这两个角是顶角还是底角，因此需要分类讨论两种情况：一是顶角和底角的比为1:4，二是底角和顶角的比为1:4；再结合三角形内角和为180°分别计算顶角的度数，最后验证计算结果是否符合三角形的内角要求，避免漏解或错解。
【解析】
设等腰三角形的两个内角的度数分别为$ x $和$ 4x $，分两种情况讨论：
① 当$ x $为顶角的度数时，两个底角的度数均为$ 4x $，根据三角形内角和为180°可得：
$ x + 4x + 4x = 180° $
合并同类项得$ 9x = 180° $
解得$ x = 20° $，即顶角为$ 20° $，符合三角形内角要求；
② 当$ x $为底角的度数时，顶角的度数为$ 4x $，根据三角形内角和为180°可得：
$ x + x + 4x = 180° $
合并同类项得$ 6x = 180° $
解得$ x = 30° $，则顶角为$ 4x = 4×30° = 120° $，符合三角形内角要求。
综上，等腰三角形的顶角度数为$ 120° $或$ 20° $。
【答案】
$ 120° $或$ 20° $
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，仅考虑其中一种角度比例情况导致漏解，解题时需注意明确等腰三角形的角分为顶角和底角，不确定对应关系时要分情况讨论，同时要验证结果是否符合三角形的基本性质。
【难度系数】
0.6
7. 如图15.3-3，在第1个$△ A_1BC$中，$∠ B=30°$，$A_1B=CB$；在边$A_1B$上任取一点$D$，延长$CA_1$到$A_2$，使$A_1A_2=A_1D$，得到第2个$△ A_1A_2D$；在边$A_2D$上任取一点$E$，延长$A_1A_2$到$A_3$，使$A_2A_3=A_2E$，得到第3个$△ A_2A_3E$……，按此做法继续下去，则第$n$（$n≥2$）个以$A_{n-1}$为顶点的等腰三角形中底角的度数是（
A.$(\frac{1}{2})^n · 75°$
B.$(\frac{1}{2})^{n-1} · 65°$
C.$(\frac{1}{2})^{n-1} · 75°$
D.$(\frac{1}{2})^n · 85°$
C
）。A.$(\frac{1}{2})^n · 75°$
B.$(\frac{1}{2})^{n-1} · 65°$
C.$(\frac{1}{2})^{n-1} · 75°$
D.$(\frac{1}{2})^n · 85°$
答案
7. C
解析
【分析】
这是一道结合等腰三角形性质的规律探究题，解题思路如下：第一步先利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，求出第一个等腰△A₁BC中∠BA₁C的度数；第二步根据三角形外角的性质，结合后续每个三角形都是等腰三角形的特点，推导得出后一个等腰三角形的底角是前一个等腰三角形底角的一半；第三步通过前几个底角的度数总结规律，即可求出第n个等腰三角形的底角度数。
【解析】
解：在△A₁BC中，A₁B=CB，∠B=30°，
根据等腰三角形等边对等角及三角形内角和为180°，可得：
∠BA₁C = (180° - ∠B)÷2 = (180° - 30°)÷2 = 75°。
∵ A₁A₂ = A₁D，∠BA₁C是△A₁A₂D的外角，
∴ 第2个等腰△A₁A₂D的底角∠A₁A₂D = ∠BA₁C ÷ 2 = 75°×$\frac{1}{2}$。
同理，第3个等腰△A₂A₃E的底角 = 75°×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$ = 75°×$(\frac{1}{2})^2$。
……
以此类推，第n个以A_{n-1}为顶点的等腰三角形的底角度数为：$(\frac{1}{2})^{n-1}·75°$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角性质，规律探究
【点评】
本题主要考查等腰三角形性质和规律归纳能力，解题关键是找到相邻两个等腰三角形底角的倍分关系，从特殊值出发推导一般规律即可求解。
【难度系数】
0.7
这是一道结合等腰三角形性质的规律探究题，解题思路如下：第一步先利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，求出第一个等腰△A₁BC中∠BA₁C的度数；第二步根据三角形外角的性质，结合后续每个三角形都是等腰三角形的特点，推导得出后一个等腰三角形的底角是前一个等腰三角形底角的一半；第三步通过前几个底角的度数总结规律，即可求出第n个等腰三角形的底角度数。
【解析】
解：在△A₁BC中，A₁B=CB，∠B=30°，
根据等腰三角形等边对等角及三角形内角和为180°，可得：
∠BA₁C = (180° - ∠B)÷2 = (180° - 30°)÷2 = 75°。
∵ A₁A₂ = A₁D，∠BA₁C是△A₁A₂D的外角，
∴ 第2个等腰△A₁A₂D的底角∠A₁A₂D = ∠BA₁C ÷ 2 = 75°×$\frac{1}{2}$。
同理，第3个等腰△A₂A₃E的底角 = 75°×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$ = 75°×$(\frac{1}{2})^2$。
……
以此类推，第n个以A_{n-1}为顶点的等腰三角形的底角度数为：$(\frac{1}{2})^{n-1}·75°$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角性质，规律探究
【点评】
本题主要考查等腰三角形性质和规律归纳能力，解题关键是找到相邻两个等腰三角形底角的倍分关系，从特殊值出发推导一般规律即可求解。
【难度系数】
0.7
8. 如图15.3-4，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$，$E$分别是$AC$，$AB$上的点，且$BC=BD$，$AD=DE=EB$，则$∠ A$的度数为
45°
.答案
8. $45°$
解析
【分析】
本题给出多组相等的边，可利用等腰三角形“等边对等角”的性质，通过设最小的未知角为参数，结合三角形外角性质和内角和定理，将△ABC的三个内角都用参数表示，最后列方程求解∠A的度数。解题思路如下：1. 设∠EBD为x，根据EB=DE得到对应底角相等；2. 利用三角形外角性质求出∠AED，再结合AD=DE得到∠A的表达式；3. 再次利用外角性质求出∠BDC，结合BC=BD、AB=AC得到∠C和∠ABC的表达式；4. 根据△ABC内角和为180°列方程求解参数，进而得到∠A的度数。
【解析】
解：设$∠ EBD = x$，
$\because EB = DE$，$\therefore ∠ EDB = ∠ EBD = x$（等边对等角），
$\therefore ∠ AED = ∠ EBD + ∠ EDB = 2x$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
$\because AD = DE$，$\therefore ∠ A = ∠ AED = 2x$（等边对等角），
$\therefore ∠ BDC = ∠ A + ∠ EBD = 2x + x = 3x$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
$\because BC = BD$，$\therefore ∠ C = ∠ BDC = 3x$（等边对等角），
又$\because AB = AC$，$\therefore ∠ ABC = ∠ C = 3x$（等边对等角），
在$△ ABC$中，$∠ A + ∠ ABC + ∠ C = 180°$（三角形内角和定理），
代入得：$2x + 3x + 3x = 180°$，
解得$x = 22.5°$，
$\therefore ∠ A = 2x = 2×22.5° = 45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，核心是利用“等边对等角”建立角的等量关系，通过设参数列方程的方法求解，需要熟练掌握三角形角度相关性质的综合运用。
【难度系数】
0.6
本题给出多组相等的边，可利用等腰三角形“等边对等角”的性质，通过设最小的未知角为参数，结合三角形外角性质和内角和定理，将△ABC的三个内角都用参数表示，最后列方程求解∠A的度数。解题思路如下：1. 设∠EBD为x，根据EB=DE得到对应底角相等；2. 利用三角形外角性质求出∠AED，再结合AD=DE得到∠A的表达式；3. 再次利用外角性质求出∠BDC，结合BC=BD、AB=AC得到∠C和∠ABC的表达式；4. 根据△ABC内角和为180°列方程求解参数，进而得到∠A的度数。
【解析】
解：设$∠ EBD = x$，
$\because EB = DE$，$\therefore ∠ EDB = ∠ EBD = x$（等边对等角），
$\therefore ∠ AED = ∠ EBD + ∠ EDB = 2x$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
$\because AD = DE$，$\therefore ∠ A = ∠ AED = 2x$（等边对等角），
$\therefore ∠ BDC = ∠ A + ∠ EBD = 2x + x = 3x$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
$\because BC = BD$，$\therefore ∠ C = ∠ BDC = 3x$（等边对等角），
又$\because AB = AC$，$\therefore ∠ ABC = ∠ C = 3x$（等边对等角），
在$△ ABC$中，$∠ A + ∠ ABC + ∠ C = 180°$（三角形内角和定理），
代入得：$2x + 3x + 3x = 180°$，
解得$x = 22.5°$，
$\therefore ∠ A = 2x = 2×22.5° = 45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，核心是利用“等边对等角”建立角的等量关系，通过设参数列方程的方法求解，需要熟练掌握三角形角度相关性质的综合运用。
【难度系数】
0.6
9. 如图15.3-5，在$△ ABC$中，点D在BC边上，$BD=AD=AC$，E为CD的中点。若$∠ CAE=16°$，则$∠ B$的度数为
37°
。答案
9. $37°$
解析
【分析】
解题时先从等腰△ADC入手，已知E是CD中点，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥CD，先在Rt△AEC中求出∠C的度数；再利用等边对等角得到∠ADC=∠C，结合BD=AD可得∠B=∠BAD，最后根据三角形外角的性质，∠ADC是△ABD的外角，等于两个不相邻内角∠B和∠BAD的和，即可建立关系求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵AD=AC，E是CD的中点，
∴AE⊥CD（等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合），
∴∠AEC=90°，
在Rt△AEC中，∠C=90°-∠CAE=90°-16°=74°。
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C=74°（等边对等角）。
∵BD=AD，
∴∠B=∠BAD（等边对等角）。
又
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和），
∴∠B=74°÷2=37°。
【答案】
37°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于等腰三角形相关的常规题型，重点考查对等腰三角形性质、三角形外角性质的灵活运用，解题的关键是找准图中的等腰三角形，梳理清楚各角之间的等量关系，是几何基础题中的常考类型。
【难度系数】
0.7
解题时先从等腰△ADC入手，已知E是CD中点，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥CD，先在Rt△AEC中求出∠C的度数；再利用等边对等角得到∠ADC=∠C，结合BD=AD可得∠B=∠BAD，最后根据三角形外角的性质，∠ADC是△ABD的外角，等于两个不相邻内角∠B和∠BAD的和，即可建立关系求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵AD=AC，E是CD的中点，
∴AE⊥CD（等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合），
∴∠AEC=90°，
在Rt△AEC中，∠C=90°-∠CAE=90°-16°=74°。
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C=74°（等边对等角）。
∵BD=AD，
∴∠B=∠BAD（等边对等角）。
又
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和），
∴∠B=74°÷2=37°。
【答案】
37°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于等腰三角形相关的常规题型，重点考查对等腰三角形性质、三角形外角性质的灵活运用，解题的关键是找准图中的等腰三角形，梳理清楚各角之间的等量关系，是几何基础题中的常考类型。
【难度系数】
0.7
10. 如图15.3-6，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，垂足为E。求证∠CBE=∠BAD。
图15.3-6
图15.3-6
答案
10. 证明：$\because AB=AC$，$AD$ 是$BC$边上的中线，
$\therefore AD⊥ BC$，$∠ BAD=∠ CAD$.
$\therefore∠ ADC=90°$.
$\because BE⊥ AC$，$\therefore∠ BEC=90°$.
$\therefore∠ CBE=90°-∠ C$，$∠ CAD=90°-∠ C$.
$\therefore∠ CBE=∠ CAD$. $\therefore∠ CBE=∠ BAD$.
$\therefore AD⊥ BC$，$∠ BAD=∠ CAD$.
$\therefore∠ ADC=90°$.
$\because BE⊥ AC$，$\therefore∠ BEC=90°$.
$\therefore∠ CBE=90°-∠ C$，$∠ CAD=90°-∠ C$.
$\therefore∠ CBE=∠ CAD$. $\therefore∠ CBE=∠ BAD$.
解析
【分析】
首先从已知条件入手分析：①已知△ABC中AB=AC，是等腰三角形，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可推出AD⊥BC，且AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD。②要证∠CBE=∠BAD，可转化为证明∠CBE=∠CAD。③已知BE⊥AC，因此△BEC和△ADC都是直角三角形，两个三角形有公共锐角∠C，根据直角三角形两锐角互余，可得∠CBE和∠CAD都与∠C互余，由同角的余角相等即可推出∠CBE=∠CAD，最后通过等量代换即可证得结论。
【解析】
证明：
$\because AB=AC$，$AD$ 是$BC$边上的中线，
$\therefore AD⊥ BC$，$∠ BAD=∠ CAD$，
$\therefore∠ ADC=90°$.
$\because BE⊥ AC$，
$\therefore∠ BEC=90°$.
$\therefore∠ CBE=90°-∠ C$，$∠ CAD=90°-∠ C$，
$\therefore∠ CBE=∠ CAD$，
$\therefore∠ CBE=∠ BAD$.
【答案】
∠CBE=∠BAD，得证。
【知识点】
等腰三角形三线合一；直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
这道题是几何证明的基础题型，核心考察等腰三角形性质的应用，解题的关键是利用等腰三角形三线合一得到角的等量关系，再结合直角三角形的角的特征找到等量代换的桥梁，熟练掌握相关性质即可快速完成证明。
【难度系数】
0.7
首先从已知条件入手分析：①已知△ABC中AB=AC，是等腰三角形，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可推出AD⊥BC，且AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD。②要证∠CBE=∠BAD，可转化为证明∠CBE=∠CAD。③已知BE⊥AC，因此△BEC和△ADC都是直角三角形，两个三角形有公共锐角∠C，根据直角三角形两锐角互余，可得∠CBE和∠CAD都与∠C互余，由同角的余角相等即可推出∠CBE=∠CAD，最后通过等量代换即可证得结论。
【解析】
证明：
$\because AB=AC$，$AD$ 是$BC$边上的中线，
$\therefore AD⊥ BC$，$∠ BAD=∠ CAD$，
$\therefore∠ ADC=90°$.
$\because BE⊥ AC$，
$\therefore∠ BEC=90°$.
$\therefore∠ CBE=90°-∠ C$，$∠ CAD=90°-∠ C$，
$\therefore∠ CBE=∠ CAD$，
$\therefore∠ CBE=∠ BAD$.
【答案】
∠CBE=∠BAD，得证。
【知识点】
等腰三角形三线合一；直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
这道题是几何证明的基础题型，核心考察等腰三角形性质的应用，解题的关键是利用等腰三角形三线合一得到角的等量关系，再结合直角三角形的角的特征找到等量代换的桥梁，熟练掌握相关性质即可快速完成证明。
【难度系数】
0.7
