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1. 三角形全等的判定:两边及其
夹角
对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边
”或“SAS
”）。答案
1. 夹角 边角边 SAS
解析
【分析】
本题考查三角形全等的“SAS”判定定理的基础识记内容。解题时首先回忆两边相关的全等判定要求：仅两边对应相等无法判定全等，若搭配的是两边中某一边的对角相等，也不能判定全等，只有两边和它们的夹角对应相等时，才可判定两个三角形全等，该判定的简称、字母缩写均为固定表述，直接对应填空即可。
【解析】
根据三角形全等的判定规则：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，该判定方法简称为“边角边”，英文缩写为“SAS”，因此三个空依次填写夹角、边角边、SAS。
【答案】
夹角 边角边 SAS
【知识点】
全等三角形判定；SAS定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对三角形全等边角边判定的记忆，是全等三角形相关证明的基础，需准确牢记判定条件，避免与两边及一边对角的非判定条件混淆。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形全等的“SAS”判定定理的基础识记内容。解题时首先回忆两边相关的全等判定要求：仅两边对应相等无法判定全等，若搭配的是两边中某一边的对角相等，也不能判定全等，只有两边和它们的夹角对应相等时，才可判定两个三角形全等，该判定的简称、字母缩写均为固定表述，直接对应填空即可。
【解析】
根据三角形全等的判定规则：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，该判定方法简称为“边角边”，英文缩写为“SAS”，因此三个空依次填写夹角、边角边、SAS。
【答案】
夹角 边角边 SAS
【知识点】
全等三角形判定；SAS定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对三角形全等边角边判定的记忆，是全等三角形相关证明的基础，需准确牢记判定条件，避免与两边及一边对角的非判定条件混淆。
【难度系数】
0.9
2.垂直平分线的概念、性质：
垂直
于一条线段，并且平分
这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线
。线段垂直平分线上的点到线段两端
的距离相等。答案
2. 垂直 平分 中垂线 线段两端
解析
【分析】
本题考查线段垂直平分线的基础概念与性质，属于识记类题目，解题时只需回忆教材中对应定义和性质的标准表述，依次对应空缺位置填写即可。首先回忆垂直平分线的定义要素：一是与线段的位置关系为垂直，二是功能为平分该线段，二者缺一不可，其简称为中垂线；再回忆性质内容，明确垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，对应填空即可。
【解析】
根据线段垂直平分线的定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线。
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
因此四个空依次对应填入内容即可。
【答案】
垂直 平分 中垂线 线段两端
【知识点】
线段垂直平分线的定义；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对教材基础定义、性质的准确记忆，掌握相关概念是后续运用垂直平分线解决几何证明、计算问题的前提，需牢固掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查线段垂直平分线的基础概念与性质，属于识记类题目，解题时只需回忆教材中对应定义和性质的标准表述，依次对应空缺位置填写即可。首先回忆垂直平分线的定义要素：一是与线段的位置关系为垂直，二是功能为平分该线段，二者缺一不可，其简称为中垂线；再回忆性质内容，明确垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，对应填空即可。
【解析】
根据线段垂直平分线的定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线。
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
因此四个空依次对应填入内容即可。
【答案】
垂直 平分 中垂线 线段两端
【知识点】
线段垂直平分线的定义；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对教材基础定义、性质的准确记忆，掌握相关概念是后续运用垂直平分线解决几何证明、计算问题的前提，需牢固掌握。
【难度系数】
0.9
1. 下列与图1三角形全等的是 （
A.①②
B.②③
C.①③
D.只有①
D
）A.①②
B.②③
C.①③
D.只有①
答案
1. D
解析
【分析】
解题时先回忆全等三角形的SAS判定定理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。首先明确图1三角形的已知条件：两边长分别为2cm、3cm，且这两边的夹角为40°，再逐一核对三个图形的条件，判断是否符合SAS判定规则即可。
【解析】
已知图1的三角形中，长度为2cm、3cm的两条边的夹角为40°，根据全等三角形SAS判定规则，只有两边及两边的夹角对应相等的两个三角形才全等：
1. 观察图①：40°角是3cm和2cm两条边的夹角，两边及夹角均和图1对应相等，符合SAS判定，与图1三角形全等；
2. 观察图②：40°角不是2cm和3cm两条边的夹角，3cm边是40°角的对边，属于两边及其中一边的对角（SSA），不能判定三角形全等；
3. 观察图③：40°角不是3cm和2cm两条边的夹角，2cm边是40°角的对边，属于两边及其中一边的对角（SSA），不能判定三角形全等。
综上只有①与图1的三角形全等。
【答案】
D
【知识点】
SAS判定三角形全等
【点评】
本题易错点是混淆“两边夹角”和“两边及其中一边的对角”，要注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，只有两边的夹角对应相等才能用SAS判定全等。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆全等三角形的SAS判定定理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。首先明确图1三角形的已知条件：两边长分别为2cm、3cm，且这两边的夹角为40°，再逐一核对三个图形的条件，判断是否符合SAS判定规则即可。
【解析】
已知图1的三角形中，长度为2cm、3cm的两条边的夹角为40°，根据全等三角形SAS判定规则，只有两边及两边的夹角对应相等的两个三角形才全等：
1. 观察图①：40°角是3cm和2cm两条边的夹角，两边及夹角均和图1对应相等，符合SAS判定，与图1三角形全等；
2. 观察图②：40°角不是2cm和3cm两条边的夹角，3cm边是40°角的对边，属于两边及其中一边的对角（SSA），不能判定三角形全等；
3. 观察图③：40°角不是3cm和2cm两条边的夹角，2cm边是40°角的对边，属于两边及其中一边的对角（SSA），不能判定三角形全等。
综上只有①与图1的三角形全等。
【答案】
D
【知识点】
SAS判定三角形全等
【点评】
本题易错点是混淆“两边夹角”和“两边及其中一边的对角”，要注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，只有两边的夹角对应相等才能用SAS判定全等。
【难度系数】
0.7
2. 如图，AC和BD相交于点O，若OA=OD，用“SAS”证明$△ AOB ≌ △ DOC$还需（
A.$AB=DC$
B.$∠ AOB=∠ DOC$
C.$∠ C=∠ B$
D.$OB=OC$
D
）A.$AB=DC$
B.$∠ AOB=∠ DOC$
C.$∠ C=∠ B$
D.$OB=OC$
答案
2. D
解析
【分析】
要使用“SAS”判定两个三角形全等，需满足两边及其夹角对应相等。首先梳理现有条件：已知OA=OD，AC与BD相交于点O，可得对顶角∠AOB=∠DOC，已具备一组边和一组夹角相等，还需补充这组夹角的另一组对应边相等，再结合选项判断即可。
【解析】
“SAS”判定三角形全等的内容为：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
在△AOB和△DOC中：
已知OA=OD，∠AOB与∠DOC是对顶角，因此∠AOB=∠DOC。
若要满足“SAS”判定条件，还需夹∠AOB、∠DOC的另一组对应边相等，即OB=OC。
对选项逐一分析：
A选项AB=DC，此时构成SSA，不能判定三角形全等，不符合要求；
B选项∠AOB=∠DOC是已有的对顶角性质，无需补充，不符合要求；
C选项∠C=∠B，结合已知条件属于AAS判定，不是SAS判定，不符合要求；
D选项OB=OC，此时△AOB和△DOC满足OA=OD，∠AOB=∠DOC，OB=OC，符合SAS判定条件。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形全等的SAS判定
2. 对顶角的性质
【点评】
本题侧重考查对三角形全等SAS判定定理的掌握，解题时要注意SAS中的角必须是两组对应边的夹角，不要和其他判定定理混淆，梳理清已有条件后就能快速找到缺失的判定条件。
【难度系数】
0.8
要使用“SAS”判定两个三角形全等，需满足两边及其夹角对应相等。首先梳理现有条件：已知OA=OD，AC与BD相交于点O，可得对顶角∠AOB=∠DOC，已具备一组边和一组夹角相等，还需补充这组夹角的另一组对应边相等，再结合选项判断即可。
【解析】
“SAS”判定三角形全等的内容为：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
在△AOB和△DOC中：
已知OA=OD，∠AOB与∠DOC是对顶角，因此∠AOB=∠DOC。
若要满足“SAS”判定条件，还需夹∠AOB、∠DOC的另一组对应边相等，即OB=OC。
对选项逐一分析：
A选项AB=DC，此时构成SSA，不能判定三角形全等，不符合要求；
B选项∠AOB=∠DOC是已有的对顶角性质，无需补充，不符合要求；
C选项∠C=∠B，结合已知条件属于AAS判定，不是SAS判定，不符合要求；
D选项OB=OC，此时△AOB和△DOC满足OA=OD，∠AOB=∠DOC，OB=OC，符合SAS判定条件。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形全等的SAS判定
2. 对顶角的性质
【点评】
本题侧重考查对三角形全等SAS判定定理的掌握，解题时要注意SAS中的角必须是两组对应边的夹角，不要和其他判定定理混淆，梳理清已有条件后就能快速找到缺失的判定条件。
【难度系数】
0.8
3.如图,地面上有三个洞口A,B,C,老鼠可以从任意一个洞口跑出,猫为能最省力地同时顾及三个洞口(到A,B,C三个点的距离相等)以尽快抓到老鼠,应该蹲守在 (
A.△ABC三边垂直平分线的交点
B.△ABC三条角平分线的交点
C.△ABC三条高所在直线的交点
D.△ABC三条中线的交点
A
)A.△ABC三边垂直平分线的交点
B.△ABC三条角平分线的交点
C.△ABC三条高所在直线的交点
D.△ABC三条中线的交点
答案
3. A
解析
【分析】
解题时首先明确题目核心要求：找到一个点到△ABC的三个顶点A、B、C的距离都相等。首先回忆相关几何性质：线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等；反过来，到线段两个端点距离相等的点，一定在这条线段的垂直平分线上。我们要找的点需要同时满足到A、B距离相等，到B、C距离相等，到A、C距离相等，因此该点需要同时落在AB、BC、AC三条边的垂直平分线上，也就是三边垂直平分线的交点。再逐一排除其他选项：角平分线交点的性质是到三边距离相等，高的交点（垂心）、中线交点（重心）均不满足到三个顶点距离相等的要求，即可得出正确答案。
【解析】
解：设猫蹲守的点为点P，需满足PA=PB=PC。
1. 根据线段垂直平分线的性质：
若PA=PB，则点P在AB边的垂直平分线上；
若PB=PC，则点P在BC边的垂直平分线上；
若PA=PC，则点P在AC边的垂直平分线上。
因此同时满足PA=PB=PC的点P，是△ABC三边垂直平分线的交点。
2. 其他选项分析：
B选项：三角形三条角平分线的交点是内心，性质是到三角形三边的距离相等，不符合要求；
C选项：三角形三条高所在直线的交点是垂心，无到三个顶点距离相等的性质，不符合要求；
D选项：三角形三条中线的交点是重心，性质是到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线性质；三角形特殊点的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点区分三角形不同特殊交点的几何性质，只要准确记忆各点的特征，结合题目的距离要求就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目核心要求：找到一个点到△ABC的三个顶点A、B、C的距离都相等。首先回忆相关几何性质：线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等；反过来，到线段两个端点距离相等的点，一定在这条线段的垂直平分线上。我们要找的点需要同时满足到A、B距离相等，到B、C距离相等，到A、C距离相等，因此该点需要同时落在AB、BC、AC三条边的垂直平分线上，也就是三边垂直平分线的交点。再逐一排除其他选项：角平分线交点的性质是到三边距离相等，高的交点（垂心）、中线交点（重心）均不满足到三个顶点距离相等的要求，即可得出正确答案。
【解析】
解：设猫蹲守的点为点P，需满足PA=PB=PC。
1. 根据线段垂直平分线的性质：
若PA=PB，则点P在AB边的垂直平分线上；
若PB=PC，则点P在BC边的垂直平分线上；
若PA=PC，则点P在AC边的垂直平分线上。
因此同时满足PA=PB=PC的点P，是△ABC三边垂直平分线的交点。
2. 其他选项分析：
B选项：三角形三条角平分线的交点是内心，性质是到三角形三边的距离相等，不符合要求；
C选项：三角形三条高所在直线的交点是垂心，无到三个顶点距离相等的性质，不符合要求；
D选项：三角形三条中线的交点是重心，性质是到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线性质；三角形特殊点的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点区分三角形不同特殊交点的几何性质，只要准确记忆各点的特征，结合题目的距离要求就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
4.如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2的度数为（
A.$60°$
B.$90°$
C.$100°$
D.$120°$
B
）A.$60°$
B.$90°$
C.$100°$
D.$120°$
答案
4. B
解析
【分析】
求解方格纸中两个角的度数和，首先观察两个角所处的图形特征，想到借助三角形全等来进行角的等量代换。第一步先设定小正方形边长，找到包含∠1的直角三角形，再寻找和它边长相等、夹角为直角的另一个直角三角形，证明二者全等后，就能把∠1转化为和∠2互余的角，进而求出两个角的和。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
观察图形可得：包含∠1的直角三角形，两条直角边长度分别为1和2；另有一个直角三角形，两条直角边长度也为1和2，且两个三角形的夹角均为直角。
根据三角形全等的SAS判定定理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，可知这两个直角三角形全等。
由全等三角形对应角相等可得，∠1和∠2的余角相等，即∠1 = 90° - ∠2，因此∠1 + ∠2 = 90°。
【答案】
B
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是方格中角度计算的典型题型，解题核心是通过观察图形找到全等的直角三角形，利用全等性质实现角的等量转化，将未知角度和转化为已知的直角度数，解题时需注意细心观察图形的边长特征。
【难度系数】
0.7
求解方格纸中两个角的度数和，首先观察两个角所处的图形特征，想到借助三角形全等来进行角的等量代换。第一步先设定小正方形边长，找到包含∠1的直角三角形，再寻找和它边长相等、夹角为直角的另一个直角三角形，证明二者全等后，就能把∠1转化为和∠2互余的角，进而求出两个角的和。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
观察图形可得：包含∠1的直角三角形，两条直角边长度分别为1和2；另有一个直角三角形，两条直角边长度也为1和2，且两个三角形的夹角均为直角。
根据三角形全等的SAS判定定理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，可知这两个直角三角形全等。
由全等三角形对应角相等可得，∠1和∠2的余角相等，即∠1 = 90° - ∠2，因此∠1 + ∠2 = 90°。
【答案】
B
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是方格中角度计算的典型题型，解题核心是通过观察图形找到全等的直角三角形，利用全等性质实现角的等量转化，将未知角度和转化为已知的直角度数，解题时需注意细心观察图形的边长特征。
【难度系数】
0.7
5.如图,在$△ ABC$中,$BD+DC=10\mathrm{cm}$,DE是AB的中垂线,则AC的长为
10
cm。答案
5. 10
解析
【分析】
解题时首先观察到DE是AB的中垂线，先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，由此可得点D到A、B的距离相等，即AD=BD。再观察AC的组成，AC是AD与DC的和，将AD用等量BD替换，就能把AC的长度转化为已知的BD+DC的和，代入数值即可求出结果。
【解析】
∵DE是AB的中垂线，点D在DE上
∴根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD
又
∵AC = AD + DC
将AD替换为BD，得AC = BD + DC
已知BD + DC = 10cm
∴AC = 10cm
【答案】
10
【知识点】
线段中垂线的性质；等量代换
【点评】
本题属于基础几何题，核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将未知线段长度转化为已知的线段和，只要熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.85
解题时首先观察到DE是AB的中垂线，先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，由此可得点D到A、B的距离相等，即AD=BD。再观察AC的组成，AC是AD与DC的和，将AD用等量BD替换，就能把AC的长度转化为已知的BD+DC的和，代入数值即可求出结果。
【解析】
∵DE是AB的中垂线，点D在DE上
∴根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD
又
∵AC = AD + DC
将AD替换为BD，得AC = BD + DC
已知BD + DC = 10cm
∴AC = 10cm
【答案】
10
【知识点】
线段中垂线的性质；等量代换
【点评】
本题属于基础几何题，核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将未知线段长度转化为已知的线段和，只要熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.85
6.在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“x型转动钳”按如图方法进行测量，其中$OA=OD$，$OB=OC$，测量AB的长度即可知道CD的长度。此方法用到了一个重要的和两个三角形有关的数学知识是
$△ AOB≌△ DOC$
；这个数学知识成立的依据是SAS
。答案
6. $△ AOB≌△ DOC$ SAS
解析
【分析】
解题时首先明确目标：要通过AB的长度得到CD的长度，需判断包含AB、CD的两个三角形的关系。首先梳理已知条件：题目给出OA=OD，OB=OC，再观察两个三角形的夹角，∠AOB和∠DOC是对顶角，天然相等，刚好符合边角边的全等判定条件，由此可推出两个三角形全等，根据全等三角形对应边相等的性质就能得到AB=CD，因此测量AB即可得到CD的长度。
【解析】
在$△ AOB$和$△ DOC$中：
$\begin{cases}OA = OD（已知）\\∠ AOB = ∠ DOC（对顶角相等）\\OB = OC（已知）\end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ DOC(\mathrm{SAS})$
由全等三角形的性质可得$AB=CD$，因此测量$AB$的长度即可知道$CD$的长度。
【答案】
$△ AOB≌△ DOC$；SAS
【知识点】
SAS判定定理，全等三角形性质，对顶角相等
【点评】
本题结合实际测量的生活场景，考查三角形全等的判定与性质的应用，引导学生学会将数学知识迁移到实际问题中，侧重基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确目标：要通过AB的长度得到CD的长度，需判断包含AB、CD的两个三角形的关系。首先梳理已知条件：题目给出OA=OD，OB=OC，再观察两个三角形的夹角，∠AOB和∠DOC是对顶角，天然相等，刚好符合边角边的全等判定条件，由此可推出两个三角形全等，根据全等三角形对应边相等的性质就能得到AB=CD，因此测量AB即可得到CD的长度。
【解析】
在$△ AOB$和$△ DOC$中：
$\begin{cases}OA = OD（已知）\\∠ AOB = ∠ DOC（对顶角相等）\\OB = OC（已知）\end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ DOC(\mathrm{SAS})$
由全等三角形的性质可得$AB=CD$，因此测量$AB$的长度即可知道$CD$的长度。
【答案】
$△ AOB≌△ DOC$；SAS
【知识点】
SAS判定定理，全等三角形性质，对顶角相等
【点评】
本题结合实际测量的生活场景，考查三角形全等的判定与性质的应用，引导学生学会将数学知识迁移到实际问题中，侧重基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
7.如图,已知$∠A=∠CDE,AB=DE$,若要证明$△ ABC≌△ DEC$,需要补充的一个条件,可以是
(写出一个即可)
$CD=AC$(答案不唯一)
。(写出一个即可)
答案
7. $CD=AC$(答案不唯一)
解析
【分析】
要证明△ABC≌△DEC，首先梳理已知条件：已知∠A=∠CDE，AB=DE，即已有一组对应角相等、一组对应边相等。结合三角形全等的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS），我们可以根据不同的判定规则补充缺失的条件：若选用SAS判定（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等），则需要补充夹已知角的另一组对应边相等，即AC=CD；若选用ASA判定，可补充∠B=∠E；若选用AAS判定，可补充∠ACB=∠DCE，任选其一即可。
【解析】
已知∠A=∠CDE，AB=DE，以补充条件AC=CD为例：
在△ABC和△DEC中：
$\begin{cases}AB=DE(\mathrm{已知})\\∠A=∠CDE(\mathrm{已知})\\AC=DC(\mathrm{补充的条件})\end{cases}$
∴△ABC≌△DEC（SAS）
也可补充∠B=∠E（ASA判定）或∠ACB=∠DCE（AAS判定），均符合要求。
【答案】
CD=AC（答案不唯一）
【知识点】
全等三角形的判定、SAS判定定理
【点评】
本题为开放性基础题，主要考查对全等三角形判定定理的掌握和灵活运用能力，解题时需注意对应边、对应角要匹配，避免使用SSA这类不成立的判定规则。
【难度系数】
0.7
要证明△ABC≌△DEC，首先梳理已知条件：已知∠A=∠CDE，AB=DE，即已有一组对应角相等、一组对应边相等。结合三角形全等的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS），我们可以根据不同的判定规则补充缺失的条件：若选用SAS判定（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等），则需要补充夹已知角的另一组对应边相等，即AC=CD；若选用ASA判定，可补充∠B=∠E；若选用AAS判定，可补充∠ACB=∠DCE，任选其一即可。
【解析】
已知∠A=∠CDE，AB=DE，以补充条件AC=CD为例：
在△ABC和△DEC中：
$\begin{cases}AB=DE(\mathrm{已知})\\∠A=∠CDE(\mathrm{已知})\\AC=DC(\mathrm{补充的条件})\end{cases}$
∴△ABC≌△DEC（SAS）
也可补充∠B=∠E（ASA判定）或∠ACB=∠DCE（AAS判定），均符合要求。
【答案】
CD=AC（答案不唯一）
【知识点】
全等三角形的判定、SAS判定定理
【点评】
本题为开放性基础题，主要考查对全等三角形判定定理的掌握和灵活运用能力，解题时需注意对应边、对应角要匹配，避免使用SSA这类不成立的判定规则。
【难度系数】
0.7
