8.如图，$AE ⊥ AB$，$AF ⊥ AC$，$AE = AB$，$AF = AC$，求证：$△ ABF ≌ △ AEC$。

8. 证明: 因为 $AE ⊥ AB,AF ⊥ AC$, 所以 $∠BAE=∠CAF=90°$, 所以 $∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC$, 即 $∠EAC = ∠BAF$。在 $△ABF$ 和 $△AEC$ 中, 因为 $\begin{cases} AB=AE, \\ ∠BAF=∠EAC, \\ AF=AC, \end{cases}$ 所以 $△ABF≌△AEC(SAS)$。

【分析】
要证明△ABF≌△AEC，首先梳理已知条件：题目已给出AE=AB、AF=AC两组对应边相等，若选用SAS判定定理证明全等，还需要证明两组对应边的夹角相等，即∠EAC=∠BAF。结合已知的垂直条件，由垂直定义可得∠BAE和∠CAF均为90°，两个等角同时加上公共角∠BAC，即可推导出所需的夹角相等，最后代入SAS判定定理即可完成证明。
【解析】
证明：因为 $AE ⊥ AB,AF ⊥ AC$, 所以 $∠BAE=∠CAF=90°$, 所以 $∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC$, 即 $∠EAC = ∠BAF$。在 $△ABF$ 和 $△AEC$ 中, 因为 $\begin{cases} AB=AE, \\ ∠BAF=∠EAC, \\ AF=AC, \end{cases}$ 所以 $△ABF≌△AEC(SAS)$。
【答案】
$△ABF≌△AEC$，证明过程如上。
【知识点】
垂直的定义，SAS判定全等，等式的性质
【点评】
本题是三角形全等判定的基础题型，解题关键是通过垂直条件和角的和差关系推导得到全等所需的对应夹角相等，熟练掌握SAS判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8

9. 如图，已知△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AC=DE，AB//EF，AB=EF。求证：BC=FD。

9. 证明: 因为 $AB // EF$, 所以 $∠A = ∠E$。在 $△ABC$ 和 $△EFD$ 中, 因为 $\begin{cases} AB=EF, \\ ∠A=∠E, \\ AC=ED, \end{cases}$ 所以 $△ABC≌△EFD(SAS)$, 所以 $BC=FD$。

【分析】
要证明线段BC=FD，可通过证明两条线段所在的△ABC和△EFD全等，利用全等三角形对应边相等的性质推导结论。首先由AB//EF的条件，根据平行线“两直线平行，内错角相等”的性质可得∠A=∠E；再结合题目给出的AB=EF、AC=DE的已知条件，刚好满足两边及其夹角对应相等的SAS全等判定要求，证明三角形全等后即可得到待证结论。
【解析】
证明：
∵ $AB// EF$，
∴ $∠A = ∠E$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ ABC$和$△ EFD$中：
$\begin{cases}AB=EF(\mathrm{已知}), \\∠A=∠E(\mathrm{已证}), \\AC=DE(\mathrm{已知}),\end{cases}$
∴ $△ ABC≌△ EFD(\mathrm{SAS})$，
∴ $BC=FD$（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
$BC=FD$，得证。
【知识点】
平行线的性质；SAS判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础常规题型，解题核心是先通过平行线性质得到相等的夹角，再结合已知的等边条件用SAS判定三角形全等，进而推出对应边相等，对巩固全等判定的基础应用有较好的训练价值。
【难度系数】
0.8

10.如图,在四边形ABCD中,AC⊥BD于点E,BE=DE。若AC=15cm,BD=8cm,则阴影部分的面积为

()

A.$30cm^2$
B.$32.5cm^2$
C.$45cm^2$
D.$60cm^2$

10. A

【分析】
首先观察图形条件：AC垂直BD，且BE=DE，可先通过SAS证明AC两侧的对应三角形全等，得出四边形关于AC轴对称的结论。利用轴对称的性质，左侧阴影和右侧对应空白面积相等，因此阴影总面积等于四边形面积的一半。再根据对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，算出四边形总面积后除以2即可得到阴影面积，无需分别计算各块阴影的面积。
【解析】
解：
∵AC⊥BD，
∴∠AEB=∠AED=∠CEB=∠CED=90°，
在△ABE和△ADE中，
$\{\begin{array}{l}BE=DE\\ ∠ AEB=∠ AED\\ AE=AE\end{array} $
∴△ABE≌△ADE（SAS），
同理可证△BCE≌△DCE，
因此四边形ABCD关于直线AC轴对称，对称轴两侧对应图形面积相等，将左侧阴影沿AC翻折后可与右侧对应空白部分重合，即阴影部分总面积为四边形ABCD面积的$\frac{1}{2}$。
∵对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，
∴$S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×15×8=60\mathrm{cm}^2$，
∴$S_{阴影}=\frac{1}{2}×60=30\mathrm{cm}^2$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
SAS判定三角形全等，轴对称的性质，垂直四边形面积计算
【点评】
本题结合全等判定、轴对称性质和面积计算考查，解题关键是通过全等发现图形的轴对称性，将分散的阴影面积转化为整体面积的一半，简化计算过程，体现了几何题中转化思想的应用，要求学生具备一定的图形观察能力和全等判定的基础。
【难度系数】
0.7

11.如图,在$△ ABC$中,E为边AB的中点,$ED ⊥ AB$,交BC于点D,且$∠ CAD=6°$,$∠ B=48°$,则$∠ BAC=$。

11. $54°$

【分析】
解题时首先从已知条件入手：E是AB中点且ED⊥AB，可判断ED是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得到AD=BD，再利用等腰三角形等边对等角的性质求出∠DAB的度数，最后将∠DAB与已知的∠CAD相加即可得到∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵E为AB的中点，ED⊥AB，
∴DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠DAB=∠B=48°（等边对等角），
又
∵∠CAD=6°，
∴∠BAC=∠CAD + ∠DAB = 6° + 48° = 54°。
【答案】
$54°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是根据垂直平分线的性质得到边相等，进而转化为角相等，再结合已知角度计算即可，难度不大。
【难度系数】
0.8

12.如图，$△ ABC$中，$DE$是$AC$的垂直平分线，$AE=4\mathrm{cm}$，$△ ABD$的周长为$13\mathrm{cm}$，则$△ ABC$的周长为。

12. $21\mathrm{cm}$

【分析】
解题时首先从已知条件“DE是AC的垂直平分线”出发，回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等，且垂直平分线平分对应线段。由此可得AD=CD，AC=2AE；再观察△ABD的周长组成：AB+BD+AD，将AD替换为CD，即可将△ABD的周长转化为AB+BC的长度；最后结合AC的长度，将AB+BC与AC相加就能得到△ABC的周长。
【解析】
解：
∵DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，
∴AD=CD，AC=2AE=2×4=8cm，
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+AD=13cm，
将AD=CD代入得：AB+BD+CD=AB+BC=13cm，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=13+8=21cm。
【答案】
21cm
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是通过线段等量代换将未知周长相关的线段和转化为已知的三角形周长，这类题型是几何基础部分的常考题，需熟练掌握线段垂直平分线的性质并灵活运用等量代换思想。
【难度系数】
0.8

13. 已知:如图1,在$△ AOB$和$△ COD$中,$OA=OB$,$OC=OD$,$∠ AOB=∠ COD=50°$。
(1)求证:①$AC=BD$；
②$∠ APB=50°$。
(2)如图2,在$△ AOB$和$△ COD$中,$OA=OB$,$OC=OD$,$∠ AOB=∠ COD=α$,则$AC$与$BD$间的等量关系为, $∠ APB$的大小为。

13.(1)证明:①因为$∠AOB=∠COD=50°$,所以$∠AOB + ∠BOC = ∠COD + ∠BOC$,即$∠AOC=∠BOD$。在$△AOC$ 和$△BOD$ 中,因为$\begin{cases} OA=OB, \\ ∠AOC=∠BOD, \\ OC=OD, \end{cases}$所以$△AOC≌△BOD$(SAS),所以 $AC = BD$；
②如图,设 $AC$ 交 $OB$ 于点 $M$, 因为 $△AOC ≌△BOD$, 所以 $∠CAO = ∠DBO$。因为 $∠CAO+∠AOB+∠AMO=180°$,$∠DBO+∠APB+∠BMP=180°$,$∠AMO=∠BMP$,所以$∠APB=∠AOB=50°$。
(2)因为$∠AOB=∠COD=α$,所以$∠AOC=∠BOD$。在$△AOC$ 和$△BOD$中, 因为$\begin{cases} OA=OB, \\ ∠AOC=∠BOD, \\ OC=OD, \end{cases}$所以$△AOC≌△BOD$(SAS),所以 $AC = BD$,$∠CAO = ∠DBO$。设$AC$与$OB$交于点$M$,因为$∠CAO+∠AOB+∠AMO=180°$,$∠BMP+∠DBO+∠APB=180°$,$∠AMO=∠BMP$,所以$∠APB=∠AOB=α$。故答案为相等;α。

【分析】
要证$AC=BD$，可通过证明$AC$、$BD$所在的$△ AOC$和$△ BOD$全等来推导：首先由已知$∠ AOB=∠ COD$，两角同时加公共角$∠ BOC$即可得到全等所需的夹角$∠ AOC=∠ BOD$，结合已知的$OA=OB$、$OC=OD$，用SAS判定定理即可证得两三角形全等，进而得到$AC=BD$。求$∠ APB$的度数时，利用全等三角形对应角相等得到$∠ CAO=∠ DBO$，再结合对顶角相等、三角形内角和为$180°$，可推出$∠ APB$与$∠ AOB$相等。第二问将特殊角度换成一般的$α$，解题思路与第一问完全一致，即可得到通用结论。
【解析】
(1)①证明：$\because ∠ AOB=∠ COD=50°$，
$\therefore ∠ AOB + ∠ BOC = ∠ COD + ∠ BOC$，即$∠ AOC=∠ BOD$。
在$△ AOC$和$△ BOD$中，
$\begin{cases} OA=OB, \\ ∠ AOC=∠ BOD, \\ OC=OD, \end{cases}$
$\therefore △ AOC≌△ BOD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AC = BD$。
②如图，设$AC$交$OB$于点$M$，

$\because △ AOC ≌△ BOD$，
$\therefore ∠ CAO = ∠ DBO$。
$\because ∠ CAO+∠ AOB+∠ AMO=180°$，$∠ DBO+∠ APB+∠ BMP=180°$，$∠ AMO=∠ BMP$（对顶角相等），
$\therefore ∠ APB=∠ AOB=50°$。
(2)解：$\because ∠ AOB=∠ COD=α$，
$\therefore ∠ AOB + ∠ BOC = ∠ COD + ∠ BOC$，即$∠ AOC=∠ BOD$。
在$△ AOC$和$△ BOD$中，
$\begin{cases} OA=OB, \\ ∠ AOC=∠ BOD, \\ OC=OD, \end{cases}$
$\therefore △ AOC≌△ BOD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AC = BD$，$∠ CAO = ∠ DBO$。
设$AC$与$OB$交于点$M$，
$\because ∠ CAO+∠ AOB+∠ AMO=180°$，$∠ BMP+∠ DBO+∠ APB=180°$，$∠ AMO=∠ BMP$（对顶角相等），
$\therefore ∠ APB=∠ AOB=α$。
【答案】
(1)①$AC=BD$，证明见解析；②$∠ APB=50°$，证明见解析；
(2)相等（或$AC=BD$）；$α$

【知识点】
全等三角形SAS判定，全等三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是典型的“手拉手”全等模型的基础应用，解题核心是通过角的和差关系推导全等所需的夹角相等，再利用全等性质转化边、角关系，从特殊角度到一般角度的推导体现了从特殊到一般的数学思想，熟练掌握该模型可快速解决同类几何问题。
【难度系数】
0.7