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学校打算用长16 m 的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔. 生物园的面积能为 12 m²吗？能为 30 m²吗？
答案
生物园的面积可以是12 m²,但不能为30 m²
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确篱笆总长就是长方形生物园的周长，由此可先求出长与宽的和；再设长为未知数，用含未知数的式子表示宽，结合长方形面积公式分别针对两个目标面积列一元二次方程；最后通过判断方程是否有符合实际意义的正实数解，就能确定对应面积是否存在。具体步骤：①由周长得长+宽=8m；②设长为x m，得到宽为(8-x)m，明确x的取值范围是0＜x＜8；③分别代入面积值列方程；④用根的判别式判断根的存在性，有实根的情况下再验证解是否符合实际意义；⑤得出最终结论。
【解析】
解：设长方形生物园的长为$ x \, \mathrm{m} $，由篱笆总长为16m，可得宽为$ (8 - x) \, \mathrm{m} $，其中边长为正，因此$ 0 ＜ x ＜ 8 $。
1. 判断面积能否为$ 12 \, \mathrm{m}^2 $：
根据面积公式列方程：
$ x(8 - x) = 12 $
整理为标准一元二次方程：
$ x^2 - 8x + 12 = 0 $
计算判别式$ \Delta = (-8)^2 - 4 × 1 × 12 = 16 ＞ 0 $，方程有两个不相等的实数根。
解方程得：$ x = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} $，即$ x_1 = 6 $，$ x_2 = 2 $。
当$ x=6 $时，宽为$ 8-6=2 \, \mathrm{m} $，符合实际意义，因此存在长6m、宽2m的长方形，面积为$ 12 \, \mathrm{m}^2 $。
2. 判断面积能否为$ 30 \, \mathrm{m}^2 $：
根据面积公式列方程：
$ x(8 - x) = 30 $
整理为标准一元二次方程：
$ x^2 - 8x + 30 = 0 $
计算判别式$ \Delta = (-8)^2 - 4 × 1 × 30 = -56 ＜ 0 $，方程没有实数根，因此不存在符合要求的长方形。
【答案】
生物园的面积可以是12 m²,但不能为30 m²
【知识点】
一元二次方程的应用，根的判别式，一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程结合实际场景的基础应用题，解题时除了判断方程根的情况，还要注意验证解是否符合边长为正的实际要求，体现了数学知识解决生活问题的实用性。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先明确篱笆总长就是长方形生物园的周长，由此可先求出长与宽的和；再设长为未知数，用含未知数的式子表示宽，结合长方形面积公式分别针对两个目标面积列一元二次方程；最后通过判断方程是否有符合实际意义的正实数解，就能确定对应面积是否存在。具体步骤：①由周长得长+宽=8m；②设长为x m，得到宽为(8-x)m，明确x的取值范围是0＜x＜8；③分别代入面积值列方程；④用根的判别式判断根的存在性，有实根的情况下再验证解是否符合实际意义；⑤得出最终结论。
【解析】
解：设长方形生物园的长为$ x \, \mathrm{m} $，由篱笆总长为16m，可得宽为$ (8 - x) \, \mathrm{m} $，其中边长为正，因此$ 0 ＜ x ＜ 8 $。
1. 判断面积能否为$ 12 \, \mathrm{m}^2 $：
根据面积公式列方程：
$ x(8 - x) = 12 $
整理为标准一元二次方程：
$ x^2 - 8x + 12 = 0 $
计算判别式$ \Delta = (-8)^2 - 4 × 1 × 12 = 16 ＞ 0 $，方程有两个不相等的实数根。
解方程得：$ x = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} $，即$ x_1 = 6 $，$ x_2 = 2 $。
当$ x=6 $时，宽为$ 8-6=2 \, \mathrm{m} $，符合实际意义，因此存在长6m、宽2m的长方形，面积为$ 12 \, \mathrm{m}^2 $。
2. 判断面积能否为$ 30 \, \mathrm{m}^2 $：
根据面积公式列方程：
$ x(8 - x) = 30 $
整理为标准一元二次方程：
$ x^2 - 8x + 30 = 0 $
计算判别式$ \Delta = (-8)^2 - 4 × 1 × 30 = -56 ＜ 0 $，方程没有实数根，因此不存在符合要求的长方形。
【答案】
生物园的面积可以是12 m²,但不能为30 m²
【知识点】
一元二次方程的应用，根的判别式，一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程结合实际场景的基础应用题，解题时除了判断方程根的情况，还要注意验证解是否符合边长为正的实际要求，体现了数学知识解决生活问题的实用性。
【难度系数】
0.7
例 如图1-2，一块矩形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个正方形，制成高是$5\ \mathrm{cm}$、容积是$500\ \mathrm{cm}^3$的无盖长方体容器.求这块铁皮的长和宽.
图1-2
图1-2
答案
设这块铁皮的宽是x cm.根据题意,得5(x-10)(2x-10)=500,即x²-15x=0.解方程,得x₁=15,x₂=0(不合题意,舍去).所以x=15,2x=30.所以这块铁皮的长是30 cm,宽是15 cm
解析
【分析】
解题时首先明确：无盖长方体的高就是截去的小正方形的边长，即5cm，因此原铁皮的长和宽各需要减去两个5cm（左右、上下各截去一个正方形）才能得到长方体容器的长和宽。我们可以设原铁皮的宽为x cm，那么长就是2x cm，再结合长方体容积=长×宽×高的公式列出一元二次方程，求解后要根据实际意义舍去不符合的根，最终得到铁皮的长宽。
【解析】
设这块铁皮的宽是$ x\ \mathrm{cm} $，则铁皮的长为$ 2x\ \mathrm{cm} $。
制成的无盖长方体容器的高为$ 5\ \mathrm{cm} $，容器的长为$ (2x - 2×5)=(2x-10)\ \mathrm{cm} $，容器的宽为$ (x - 2×5)=(x-10)\ \mathrm{cm} $。
根据长方体容积公式，列方程得：
$ 5(x-10)(2x-10)=500 $
整理方程：
两边同时除以5得$ (x-10)(2x-10)=100 $
展开化简得$ x^2 -15x = 0 $
因式分解得$ x(x-15)=0 $
解得$ x_1=15 $，$ x_2=0 $。
因为铁皮的宽度不可能为0，所以$ x_2=0 $不符合题意，舍去。
则铁皮的宽为$ 15\ \mathrm{cm} $，长为$ 2x=2×15=30\ \mathrm{cm} $。
【答案】
这块铁皮的长是$ 30\ \mathrm{cm} $，宽是$ 15\ \mathrm{cm} $
【知识点】
一元二次方程的应用；长方体容积计算；一元二次方程求解
【点评】
本题是用方程解决实际问题的典型题型，解题的关键是找准无盖容器的长宽与原铁皮长宽的数量关系，列方程求解后切记要结合实际情境检验根的合理性，舍去不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确：无盖长方体的高就是截去的小正方形的边长，即5cm，因此原铁皮的长和宽各需要减去两个5cm（左右、上下各截去一个正方形）才能得到长方体容器的长和宽。我们可以设原铁皮的宽为x cm，那么长就是2x cm，再结合长方体容积=长×宽×高的公式列出一元二次方程，求解后要根据实际意义舍去不符合的根，最终得到铁皮的长宽。
【解析】
设这块铁皮的宽是$ x\ \mathrm{cm} $，则铁皮的长为$ 2x\ \mathrm{cm} $。
制成的无盖长方体容器的高为$ 5\ \mathrm{cm} $，容器的长为$ (2x - 2×5)=(2x-10)\ \mathrm{cm} $，容器的宽为$ (x - 2×5)=(x-10)\ \mathrm{cm} $。
根据长方体容积公式，列方程得：
$ 5(x-10)(2x-10)=500 $
整理方程：
两边同时除以5得$ (x-10)(2x-10)=100 $
展开化简得$ x^2 -15x = 0 $
因式分解得$ x(x-15)=0 $
解得$ x_1=15 $，$ x_2=0 $。
因为铁皮的宽度不可能为0，所以$ x_2=0 $不符合题意，舍去。
则铁皮的宽为$ 15\ \mathrm{cm} $，长为$ 2x=2×15=30\ \mathrm{cm} $。
【答案】
这块铁皮的长是$ 30\ \mathrm{cm} $，宽是$ 15\ \mathrm{cm} $
【知识点】
一元二次方程的应用；长方体容积计算；一元二次方程求解
【点评】
本题是用方程解决实际问题的典型题型，解题的关键是找准无盖容器的长宽与原铁皮长宽的数量关系，列方程求解后切记要结合实际情境检验根的合理性，舍去不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
1. 《九章算术》中记载:今有户不知高广,竿不知长短,横之不出四尺,从之不出二尺,邪之适出.问户高广袤各几何? 其大意是:现有一扇不知高、宽的门,以及一根不知长度的竹竿.若竹竿横放,则比门宽多4尺;若竹竿竖放,则比门高多2尺;若竹竿斜放,则刚好与对角线相等.问门高、宽、对角线各是多少.请你解决这个问题.
答案
1. 设竹竿的长度为x尺.根据题意,得x²=(x-4)²+(x-2)².解得x₁=10,x₂=2. x₂=2不合题意,舍去.所以竹竿的长度为10尺.10-2=8(尺),10-4=6(尺),所以门框的高为8尺,宽为6尺,对角线为10尺
解析
【分析】
首先，门为矩形，其高、宽和对角线恰好构成直角三角形，满足勾股定理的应用条件。题目中门高、门宽、对角线的长度都与竹竿长度直接相关，因此我们可以设竹竿长度为未知数x，分别表示出门高(x-2)尺、门宽(x-4)尺、对角线长x尺，再根据勾股定理列出一元二次方程求解，最后结合实际意义舍去不符合要求的根，即可求出各个量的长度。
【解析】
解：设竹竿的长度为x尺，则门宽为(x-4)尺，门高为(x-2)尺，门的对角线长为x尺。
根据直角三角形勾股定理，可得方程：
$x^2=(x-4)^2+(x-2)^2$
展开并整理方程：
$x^2=x^2-8x+16+x^2-4x+4$
$x^2-12x+20=0$
因式分解得：$(x-10)(x-2)=0$
解得$x_1=10$，$x_2=2$。
当$x=2$时，门宽为$2-4=-2$尺，不符合实际意义，故舍去。
因此竹竿长度为10尺，即门的对角线长为10尺。
门高：$10-2=8$（尺）
门宽：$10-4=6$（尺）
【答案】
门高8尺，宽6尺，对角线长10尺。
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的实际应用；解一元二次方程
【点评】
本题取材于我国古代数学典籍《九章算术》，核心是通过几何性质建立方程模型，将实际问题转化为数学问题求解，解题时需注意结合实际情境检验方程根的合理性。
【难度系数】
0.7
首先，门为矩形，其高、宽和对角线恰好构成直角三角形，满足勾股定理的应用条件。题目中门高、门宽、对角线的长度都与竹竿长度直接相关，因此我们可以设竹竿长度为未知数x，分别表示出门高(x-2)尺、门宽(x-4)尺、对角线长x尺，再根据勾股定理列出一元二次方程求解，最后结合实际意义舍去不符合要求的根，即可求出各个量的长度。
【解析】
解：设竹竿的长度为x尺，则门宽为(x-4)尺，门高为(x-2)尺，门的对角线长为x尺。
根据直角三角形勾股定理，可得方程：
$x^2=(x-4)^2+(x-2)^2$
展开并整理方程：
$x^2=x^2-8x+16+x^2-4x+4$
$x^2-12x+20=0$
因式分解得：$(x-10)(x-2)=0$
解得$x_1=10$，$x_2=2$。
当$x=2$时，门宽为$2-4=-2$尺，不符合实际意义，故舍去。
因此竹竿长度为10尺，即门的对角线长为10尺。
门高：$10-2=8$（尺）
门宽：$10-4=6$（尺）
【答案】
门高8尺，宽6尺，对角线长10尺。
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的实际应用；解一元二次方程
【点评】
本题取材于我国古代数学典籍《九章算术》，核心是通过几何性质建立方程模型，将实际问题转化为数学问题求解，解题时需注意结合实际情境检验方程根的合理性。
【难度系数】
0.7
2. 如图，一块矩形草地中间有一条小路，小路宽为1.5 m，草地的长AB是宽AD的1.5倍.已知草地的面积(除小路外)为5 310 m²，求AB和AD的长.
答案
2. 设AD为x m.根据题意,得1.5x²-1.5x=5 310.解得x₁=60,x₂=-59. x₂=-59不合题意,舍去.所以AD=60(m),AB=90(m)
解析
【分析】
解题时首先明确等量关系：草地面积=矩形ABCD的面积-中间小路的面积。我们先设AD的长为x m，根据AB是AD的1.5倍，可得AB的长为1.5x m；观察小路形状为平行四边形，它的底为1.5m，高等于矩形的宽AD即x m，分别表示出矩形面积和小路面积后，结合已知草地面积列一元二次方程求解即可，注意最后要舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
解：设AD的长为x m，则AB的长为1.5x m。
矩形ABCD的面积为：$ AB × AD = 1.5x · x = 1.5x^2 \, \mathrm{m}^2 $
小路为平行四边形，底为1.5m，高为AD的长x m，因此小路面积为：$ 1.5 × x = 1.5x \, \mathrm{m}^2 $
根据草地面积为$ 5310 \, \mathrm{m}^2 $，列方程得：
$ 1.5x^2 - 1.5x = 5310 $
化简求解得：$ x_1 = 60, x_2 = -59 $
因为长度不能为负数，所以$ x_2=-59 $不符合题意，舍去。
因此$ AD=60 \, \mathrm{m} $，$ AB=1.5 × 60 = 90 \, \mathrm{m} $。
【答案】
AD的长为60 m，AB的长为90 m
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算、平行四边形面积计算
【点评】
本题属于典型的面积类实际应用题，解题的关键是准确识别小路的形状并正确计算其面积，求解方程后要注意结合实际情况对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确等量关系：草地面积=矩形ABCD的面积-中间小路的面积。我们先设AD的长为x m，根据AB是AD的1.5倍，可得AB的长为1.5x m；观察小路形状为平行四边形，它的底为1.5m，高等于矩形的宽AD即x m，分别表示出矩形面积和小路面积后，结合已知草地面积列一元二次方程求解即可，注意最后要舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
解：设AD的长为x m，则AB的长为1.5x m。
矩形ABCD的面积为：$ AB × AD = 1.5x · x = 1.5x^2 \, \mathrm{m}^2 $
小路为平行四边形，底为1.5m，高为AD的长x m，因此小路面积为：$ 1.5 × x = 1.5x \, \mathrm{m}^2 $
根据草地面积为$ 5310 \, \mathrm{m}^2 $，列方程得：
$ 1.5x^2 - 1.5x = 5310 $
化简求解得：$ x_1 = 60, x_2 = -59 $
因为长度不能为负数，所以$ x_2=-59 $不符合题意，舍去。
因此$ AD=60 \, \mathrm{m} $，$ AB=1.5 × 60 = 90 \, \mathrm{m} $。
【答案】
AD的长为60 m，AB的长为90 m
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算、平行四边形面积计算
【点评】
本题属于典型的面积类实际应用题，解题的关键是准确识别小路的形状并正确计算其面积，求解方程后要注意结合实际情况对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
