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3. 如图,要建一个面积为$130\ \mathrm{m}^2$的仓库,仓库的一边靠墙(墙长为16 m),在与墙平行的一边开一扇1 m宽的门,现用32 m长的木板围成仓库,求仓库的长和宽.
答案
3. 设仓库的宽为x m,则长为(33-2x)m.根据题意,得x(33-2x)=130.整理,得2x²-33x+130=0.解得x₁=10,x₂=13/2.
∵当x=13/2时,33-2x=20＞16(墙长为16 m),
∴x=13/2(不合题意,舍去).
∴仓库的长为13 m,宽为10 m
∵当x=13/2时,33-2x=20＞16(墙长为16 m),
∴x=13/2(不合题意,舍去).
∴仓库的长为13 m,宽为10 m
解析
【分析】
本题属于利用一元二次方程解决实际几何围建问题，解题思路如下：1. 设元选择：设垂直于墙的边长（宽）为未知数更简便，因为平行于墙的边仅1条；2. 推导平行于墙的边长：现有木板总长32m，平行墙的位置有1m宽的门不需要木板，因此平行墙的边长等于木板总长度加门的宽度，再减去2个垂直边的长度；3. 根据矩形面积公式列方程求解；4. 结合墙长16m的限制条件，对求出的根进行检验，舍去不符合实际情况的解，最终得到正确的长宽。
【解析】
解：设仓库垂直于墙的宽为$x\ \mathrm{m}$，则平行于墙的长为$(32+1-2x)=(33-2x)\ \mathrm{m}$。
根据仓库面积为$130\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(33-2x)=130$
整理得：
$2x^2-33x+130=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=\frac{13}{2}$。
检验根的合理性：
当$x=\frac{13}{2}$时，长$33-2x=20＞16$，超过墙的长度，不符合实际，舍去；
当$x=10$时，长$33-2x=13＜16$，符合实际。
【答案】
仓库的长为$\boldsymbol{13\ \mathrm{m}}$，宽为$\boldsymbol{10\ \mathrm{m}}$
【知识点】
一元二次方程的应用；解一元二次方程；实际问题根的取舍
【点评】
本题是典型的围建类实际应用题，解题核心是准确表示出各边的长度，尤其注意门的宽度对平行于墙边长的影响，同时要牢记实际问题必须检验根是否符合现实限制条件，避免出现错解。
【难度系数】
0.7
本题属于利用一元二次方程解决实际几何围建问题，解题思路如下：1. 设元选择：设垂直于墙的边长（宽）为未知数更简便，因为平行于墙的边仅1条；2. 推导平行于墙的边长：现有木板总长32m，平行墙的位置有1m宽的门不需要木板，因此平行墙的边长等于木板总长度加门的宽度，再减去2个垂直边的长度；3. 根据矩形面积公式列方程求解；4. 结合墙长16m的限制条件，对求出的根进行检验，舍去不符合实际情况的解，最终得到正确的长宽。
【解析】
解：设仓库垂直于墙的宽为$x\ \mathrm{m}$，则平行于墙的长为$(32+1-2x)=(33-2x)\ \mathrm{m}$。
根据仓库面积为$130\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(33-2x)=130$
整理得：
$2x^2-33x+130=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=\frac{13}{2}$。
检验根的合理性：
当$x=\frac{13}{2}$时，长$33-2x=20＞16$，超过墙的长度，不符合实际，舍去；
当$x=10$时，长$33-2x=13＜16$，符合实际。
【答案】
仓库的长为$\boldsymbol{13\ \mathrm{m}}$，宽为$\boldsymbol{10\ \mathrm{m}}$
【知识点】
一元二次方程的应用；解一元二次方程；实际问题根的取舍
【点评】
本题是典型的围建类实际应用题，解题核心是准确表示出各边的长度，尤其注意门的宽度对平行于墙边长的影响，同时要牢记实际问题必须检验根是否符合现实限制条件，避免出现错解。
【难度系数】
0.7
4. 用一根 120 cm 长的细绳,能否分别围出满足下列条件的矩形?
（1）面积为 500 cm²； （2）面积为 675 cm²；
（3）面积为 900 cm²； （4）面积大于 900 cm².
根据上列各小题的结果,你能猜出什么结论?
（1）面积为 500 cm²； （2）面积为 675 cm²；
（3）面积为 900 cm²； （4）面积大于 900 cm².
根据上列各小题的结果,你能猜出什么结论?
答案
4. （1）矩形一边为10 cm,另一边为50 cm （2）矩形一边为15 cm,另一边为45 cm （3）边长为30 cm的正方形 （4）不可能,周长为定值4a的矩形中,面积最大值为a²,此时对应的矩形是正方形
解析
【分析】
解题时首先明确细绳长度为矩形的周长，先由周长算出矩形相邻两边的长度和为60cm；接下来设矩形的一边长为x cm，即可用含x的式子表示出邻边长，再结合矩形面积公式列一元二次方程；最后通过判断方程是否存在正实数根，即可确定能否围出对应面积的矩形，再整理各小题结果归纳出通用结论。
【解析】
设围成的矩形一边长为x cm，由周长为120cm可得，其邻边长为$\frac{120}{2}-x=(60-x)$ cm，矩形面积为$S=x(60-x)$。
（1）当面积为$500\ \mathrm{cm}^2$时，列方程：
$x(60-x)=500$
整理得$x^2-60x+500=0$
判别式$\Delta=(-60)^2-4×1×500=1600＞0$
解方程得$x=\frac{60\pm\sqrt{1600}}{2}=\frac{60\pm40}{2}$，即$x_1=10$，$x_2=50$
对应邻边长分别为50cm、10cm，因此可以围出。
（2）当面积为$675\ \mathrm{cm}^2$时，列方程：
$x(60-x)=675$
整理得$x^2-60x+675=0$
判别式$\Delta=(-60)^2-4×1×675=900＞0$
解方程得$x=\frac{60\pm\sqrt{900}}{2}=\frac{60\pm30}{2}$，即$x_1=15$，$x_2=45$
对应邻边长分别为45cm、15cm，因此可以围出。
（3）当面积为$900\ \mathrm{cm}^2$时，列方程：
$x(60-x)=900$
整理得$x^2-60x+900=0$
判别式$\Delta=(-60)^2-4×1×900=0$
解方程得$x_1=x_2=30$，即邻边长也为30cm，为边长30cm的正方形，因此可以围出。
（4）当面积大于$900\ \mathrm{cm}^2$时，列不等式：
$x(60-x)＞900$
整理得$x^2-60x+900＜0$，即$(x-30)^2＜0$
由于平方数具有非负性，该不等式无实根，因此不可能围出面积大于$900\ \mathrm{cm}^2$的矩形。
综上可得出结论：周长为定值的矩形中，面积最大值为$(\frac{\mathrm{周长}}{4})^2$，此时对应的图形为正方形。
【答案】
（1）能，矩形一边为10 cm，另一边为50 cm；
（2）能，矩形一边为15 cm，另一边为45 cm；
（3）能，为边长为30 cm的正方形；
（4）不可能；
结论：周长为定值的矩形中，面积最大值为$(\frac{\mathrm{周长}}{4})^2$，此时对应的矩形是正方形。
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形周长与面积计算；根的判别式应用
【点评】
本题结合实际围矩形的场景，考察将实际问题转化为一元二次方程问题的能力，同时引导学生自主归纳周长固定时矩形面积的最值规律，有助于提升数学建模思维和归纳总结能力。
【难度系数】
0.75
解题时首先明确细绳长度为矩形的周长，先由周长算出矩形相邻两边的长度和为60cm；接下来设矩形的一边长为x cm，即可用含x的式子表示出邻边长，再结合矩形面积公式列一元二次方程；最后通过判断方程是否存在正实数根，即可确定能否围出对应面积的矩形，再整理各小题结果归纳出通用结论。
【解析】
设围成的矩形一边长为x cm，由周长为120cm可得，其邻边长为$\frac{120}{2}-x=(60-x)$ cm，矩形面积为$S=x(60-x)$。
（1）当面积为$500\ \mathrm{cm}^2$时，列方程：
$x(60-x)=500$
整理得$x^2-60x+500=0$
判别式$\Delta=(-60)^2-4×1×500=1600＞0$
解方程得$x=\frac{60\pm\sqrt{1600}}{2}=\frac{60\pm40}{2}$，即$x_1=10$，$x_2=50$
对应邻边长分别为50cm、10cm，因此可以围出。
（2）当面积为$675\ \mathrm{cm}^2$时，列方程：
$x(60-x)=675$
整理得$x^2-60x+675=0$
判别式$\Delta=(-60)^2-4×1×675=900＞0$
解方程得$x=\frac{60\pm\sqrt{900}}{2}=\frac{60\pm30}{2}$，即$x_1=15$，$x_2=45$
对应邻边长分别为45cm、15cm，因此可以围出。
（3）当面积为$900\ \mathrm{cm}^2$时，列方程：
$x(60-x)=900$
整理得$x^2-60x+900=0$
判别式$\Delta=(-60)^2-4×1×900=0$
解方程得$x_1=x_2=30$，即邻边长也为30cm，为边长30cm的正方形，因此可以围出。
（4）当面积大于$900\ \mathrm{cm}^2$时，列不等式：
$x(60-x)＞900$
整理得$x^2-60x+900＜0$，即$(x-30)^2＜0$
由于平方数具有非负性，该不等式无实根，因此不可能围出面积大于$900\ \mathrm{cm}^2$的矩形。
综上可得出结论：周长为定值的矩形中，面积最大值为$(\frac{\mathrm{周长}}{4})^2$，此时对应的图形为正方形。
【答案】
（1）能，矩形一边为10 cm，另一边为50 cm；
（2）能，矩形一边为15 cm，另一边为45 cm；
（3）能，为边长为30 cm的正方形；
（4）不可能；
结论：周长为定值的矩形中，面积最大值为$(\frac{\mathrm{周长}}{4})^2$，此时对应的矩形是正方形。
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形周长与面积计算；根的判别式应用
【点评】
本题结合实际围矩形的场景，考察将实际问题转化为一元二次方程问题的能力，同时引导学生自主归纳周长固定时矩形面积的最值规律，有助于提升数学建模思维和归纳总结能力。
【难度系数】
0.75
5. 某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图,原广场长 50 m,宽 40 m,要求扩充后的矩形广场长与宽的比为$3:2$,扩充区域的扩建费用每平方米 30 元,扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖,铺设地砖费用每平方米 100 元.如果计划总费用 642 000 元,扩充后广场的长和宽应分别是多少米?
答案
5. 解:设扩充后广场的长为3x m宽为2x m.根据题意,得3x·2x·100+30(3x·2x-50×40)=642 000.解得x₁=30,x₂=-30(不合题意,舍去).所以3x=90,2x=60.答:扩充后广场的长和宽应分别为90 m和60 m
解析
【分析】
解题时首先根据扩充后广场长宽比为3:2的条件，采用比例设元法，设长为3x m、宽为2x m，可简化计算。接下来梳理总费用的构成：总费用包含两部分，一是整个扩充后广场铺设地砖的费用，按总面积×每平方米地砖费计算；二是扩充区域的扩建费用，按扩充面积×每平方米扩建费计算，其中扩充面积=新广场面积-原广场面积。根据总费用为642000元的等量关系列出一元二次方程，求解后结合实际意义舍去负根，最后计算得到扩充后广场的长宽即可。
【解析】
解：设扩充后广场的长为$3x\ \mathrm{m}$，宽为$2x\ \mathrm{m}$。
根据题意列方程：
$3x· 2x· 100 + 30(3x· 2x - 50× 40) = 642000$
整理得：
$600x^2 + 180x^2 - 60000 = 642000$
$780x^2 = 702000$
$x^2 = 900$
解得$x_1=30$，$x_2=-30$，因为广场的长宽为正数，故$x=-30$不合题意，舍去。
因此$3x=3×30=90$，$2x=2×30=60$。
【答案】
扩充后广场的长为90 m，宽为60 m
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，比例设元
【点评】
本题是结合生活场景的方程应用题，解题核心是准确梳理费用的组成结构，找准等量关系列方程，利用比例设元可降低计算难度，同时要注意结合实际意义对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.65
解题时首先根据扩充后广场长宽比为3:2的条件，采用比例设元法，设长为3x m、宽为2x m，可简化计算。接下来梳理总费用的构成：总费用包含两部分，一是整个扩充后广场铺设地砖的费用，按总面积×每平方米地砖费计算；二是扩充区域的扩建费用，按扩充面积×每平方米扩建费计算，其中扩充面积=新广场面积-原广场面积。根据总费用为642000元的等量关系列出一元二次方程，求解后结合实际意义舍去负根，最后计算得到扩充后广场的长宽即可。
【解析】
解：设扩充后广场的长为$3x\ \mathrm{m}$，宽为$2x\ \mathrm{m}$。
根据题意列方程：
$3x· 2x· 100 + 30(3x· 2x - 50× 40) = 642000$
整理得：
$600x^2 + 180x^2 - 60000 = 642000$
$780x^2 = 702000$
$x^2 = 900$
解得$x_1=30$，$x_2=-30$，因为广场的长宽为正数，故$x=-30$不合题意，舍去。
因此$3x=3×30=90$，$2x=2×30=60$。
【答案】
扩充后广场的长为90 m，宽为60 m
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，比例设元
【点评】
本题是结合生活场景的方程应用题，解题核心是准确梳理费用的组成结构，找准等量关系列方程，利用比例设元可降低计算难度，同时要注意结合实际意义对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.65
