3. 小颖解一元二次方程$x^2 -4x +1=0$，得出方程的两个根是$x_1=2-\sqrt{3}$，$x_2=3+\sqrt{3}$。小亮看了一眼，就认为她做错了。
小颖说：“我已经验证过其中的一个根$x=2-\sqrt{3}$是正确的。”
小亮不假思索地说：“那么另一个根肯定是$x=2+\sqrt{3}$！”
你能说出小亮的理由吗？

可根据一元二次方程根与系数的关系说明,方程的两个根满足$x_1+x_2=4$,$x_1· x_2=1$.已知一个根$x_1=2-\sqrt{3}$,则$x_2=4-x_1=2+\sqrt{3}$

【分析】
要说明小亮判断的依据，首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一元二次方程，若两根为$x_1$、$x_2$，则两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$。本题已知方程和其中一个根，无需重新解方程，直接利用两根之和的关系就能快速算出另一个根，这就是小亮能立刻得出答案的原因。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 -4x +1=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=1$。
根据一元二次方程根与系数的关系，设方程两根为$x_1$、$x_2$，可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{1}=4$，$x_1·x_2=\frac{c}{a}=1$。
已知其中一个根$x_1=2-\sqrt{3}$，代入两根之和的公式得：
$x_2=4-x_1=4-(2-\sqrt{3})=2+\sqrt{3}$。
也可通过乘积验证：$(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=4-3=1$，符合根与系数的乘积关系，因此另一个根为$2+\sqrt{3}$。
【答案】
可根据一元二次方程根与系数的关系说明,方程的两个根满足$x_1+x_2=4$,$x_1· x_2=1$.已知一个根$x_1=2-\sqrt{3}$,则$x_2=4-x_1=2+\sqrt{3}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，二次根式运算
【点评】
本题考查一元二次方程根与系数关系的直接应用，熟练掌握该定理可以避免重复解方程，快速求出未知根，是解决一元二次方程相关问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8

4. 已知矩形相邻两边的长是一元二次方程$x^2 -12x +9=0$的两个根，求这个矩形的周长和面积。

这个矩形的周长为24,面积为9

【分析】
要求矩形的周长和面积，首先回忆矩形周长公式为2×(长+宽)，面积公式为长×宽。已知矩形相邻两边长是给定一元二次方程的两个根，因此无需解方程求出根的具体值，只需利用一元二次方程根与系数的关系，直接求出两根之和与两根之积，再代入对应公式计算即可。
【解析】
解：设矩形相邻两边的长分别为$x_1$、$x_2$，由题意得$x_1$、$x_2$是方程$x^2 -12x +9=0$的两个根。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根据根与系数的关系可得：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
在方程$x^2 -12x +9=0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-12$，常数项$c=9$，因此：
$x_1+x_2=-\frac{-12}{1}=12$，$x_1x_2=\frac{9}{1}=9$。
矩形周长：$2×(x_1+x_2)=2×12=24$
矩形面积：$x_1x_2=9$
【答案】
这个矩形的周长为24，面积为9
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 矩形周长计算
3. 矩形面积计算
【点评】
本题属于代数与几何结合的基础题型，通过运用根与系数的关系可简化计算，避免求解方程根的繁琐步骤，解题的关键是熟记韦达定理内容和矩形的周长、面积计算公式。
【难度系数】
0.8

5. 求证:关于$x$的方程$(x-1)(x+2)=m^2$（$m$为常数）有一个正的根,一个负的根.

$x_1x_2=-2-m^2＜0$

【分析】
要证明方程有一个正根和一个负根，可按两步思考：第一步先证明方程是一元二次方程且有两个不相等的实数根，可通过根的判别式判断；第二步证明两个根的乘积为负，结合根与系数的关系计算两根之积，再利用$m^2$的非负性判断乘积符号，两根乘积为负即说明两根异号，对应一个正根、一个负根。
【解析】
先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
原方程展开得：$x^2 + 2x - x - 2 = m^2$，整理为$x^2 + x - (2 + m^2) = 0$。
设方程的两个根为$x_1$、$x_2$：
1. 判断根的个数：
根的判别式$\Delta = 1^2 - 4 × 1 × [-(2 + m^2)] = 1 + 8 + 4m^2 = 9 + 4m^2$，
$\because m^2 ≥ 0$，$\therefore 9 + 4m^2 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根。
2. 判断两根的符号：
根据根与系数的关系，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -(2 + m^2) = -2 - m^2$，
$\because m^2 ≥ 0$，$\therefore -2 - m^2 ≤ -2 ＜ 0$，即$x_1x_2 ＜ 0$，说明两根异号。
综上，方程有一个正的根，一个负的根。
【答案】
$x_1x_2=-2-m^2＜0$，故方程有一个正根、一个负根
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于一元二次方程根的性质的基础题型，解题核心是利用判别式确认根的存在性，再结合韦达定理通过两根乘积的符号判断根的正负，能很好地考察对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.8

6. 设 $x_1,x_2,x_3$ 是方程 $ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0)$ 的三个根，猜想方程根与系数的关系。

$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a},\\x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\frac{c}{a},\\x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}\end{cases}$

【分析】
我们可以类比一元二次方程根与系数关系的推导思路解题：已知三个根是三次方程的解，因此三次多项式可以因式分解为含三个根的一次因式的乘积形式，再将因式分解后的式子展开，和原三次方程的各项系数对应相等，即可推导出三次方程根与系数的关系。
【解析】
已知$x_1,x_2,x_3$是方程$ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0)$的三个根，因此三次多项式可因式分解为：
$ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$
分步展开右侧的因式乘积：
1. 先计算前两个一次式的乘积：
$(x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2$
2. 将上述结果乘第三个一次式，合并同类项得：
$\begin{aligned}(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)&=x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)x -x_1x_2x_3\end{aligned}$
因此右侧整体展开为：
$ax^3 -a(x_1+x_2+x_3)x^2 +a(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)x -a x_1x_2x_3$
左右两侧为恒等多项式，对应同类项系数相等，整理得：
二次项系数对应：$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$
一次项系数对应：$x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\frac{c}{a}$
常数项对应：$x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}$
【答案】
$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a},\\x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\frac{c}{a},\\x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}\end{cases}$
【知识点】
多项式因式分解、多项式恒等条件、根与系数关系
【点评】
本题是一元二次方程韦达定理的拓展延伸，核心考查类比推理的能力，将二次方程根与系数的推导思路迁移到三次方程中，掌握多项式乘法和恒等变形规则即可顺利推导。
【难度系数】
0.6